第09讲 函数的基本性质（7大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第09讲函数的基本性质(7大考点)

U考点考向

区间与无穷的概念

【知识点的认识】

设〃〈方，①开区间：{x|“<x<6}=(a,b)

②闭区间：=b]

③半开半闭区间：{x[a<xW6}=Ca,句{x|aWx<b}=[a,b)

正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，

但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值.符号为+8.数轴上可表示为向右箭头无限远的点.

负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的

数值.符号为-8.

{x|aWx}=[a,+°°)

{x[a<x}=(a,+8)

{x|xWa}=(-8,a]

{x\x<a]=(-8,a)

{x|x6R}=(-°°,+°°)

【解题方法点拨】通常情况下，解答不等式，函数的单调性的问题利用单调性的定义，或者函数的导数等

知识，注意函数的定义域，变量的取值范围，集合一般利用区间表示，函数的单调性多个区间时，区间之

间必须用“，”分开；不能利用并集符号连接.解题时注意区间的端点的数值的应用.

【命题方向】区间上的最值，函数的单调性，函数的导数在闭区间上的最值，恒成立等知识有关问题，高

考常考题目.

二.函数的单调性及单调区间

【知识点的认识】

一般地，设函数f(x)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI,X2,

当加<%2时，都有了(XI)</(%2),那么就说函数/(X)在区间。上是增函数；当X1<X2时，都有一(XI)

>/(X2),那么就说函数/(X)在区间。上是减函数.

若函数/(X)在区间。上是增函数或减函数，则称函数/(X)在这一区间具有(严格的)单调性，区间。

叫做y=/(x)的单调区间.

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意xi,x2E[a,句且X1#X2,那么

①'在出，句上是增函数；

xl-x2

f(X)-f(X)

----------------<()«•/(X)在[4,句上是减函数.

xrx2

②(XI-X2)If(xi)-f(X2)]>0«y(x)在[a,切上是增函数；

Cxi-X2)If(xi)-f(%2)]<0<=>/(x)在[a,句上是减函数.

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性

定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值

问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调

性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等

价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性

及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

三.函数单调性的性质与判断

【知识点的认识】

一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间力上的任意两个自变量XI,短，

当XI<X2时，都有了(XI)<f(X2),那么就说函数/(x)在区间。上是增函数；当XI>X2时，都有了(XI)

</(X2),那么就说函数/(X)在区间O上是减函数.

若函数/(X)在区间。上是增函数或减函数，则称函数/(X)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间。叫做y=/(x)的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考

虑定义域.

第二步：求函数f(x)的导数/(x),并令/(%)=0,求其根.

第三步：利用/(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表.

第四步：由/(x)在小开区间内的正、负值判断/(x)在小开区间内的单调性；求极值、最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为/(x)〃皿或/(x)min^a,解不等式求参数的取值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选

择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，

主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，乂注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思

想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取

值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

四.复合函数的单调性

【知识点的认识】

所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑

整体的单调性.平常常见的一般以两个函数的为主.

【解题方法点拨】

求复合函数y=/(g(x))的单调区间的步骤：

(1)确定定义域；

(2)将复合函数分解成两个基本初等函数：

(3)分别确定两基本初等函数的单调性；

(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.

【命题方向】

理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性.

五.函数的最值及其几何意义

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵

坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

【解题方法点拨】

①基本不等式法：如当x>0时，求2x+B的最小值，有2x+9221bx«^3=8；

②转化法：如求Lr-5|+|x-3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和，易知最小

值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较.

【命题方向】

本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视.本知识点未

来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的

自变量或者参数的范围.常用方法有分离参变量法、多次求导法等.

六.奇函数、偶函数

【奇函数】

如果函数/(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有F(-x)=-/(x),那么函数

/(%)就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.

解题方法点拨：

①如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②若定义域不包括原点，那么运用/(x)=-f(-x)解相关参数；

③已知奇函数大于。的部分的函数表达式，求它的小于。的函数表达式，如奇函数/(X),当x>0时，/(x)

=x2+x

那么当时，-X>0,有/(-X)=(-X)2+(-%)=>-/(x)—X2-x=>f(x)=-7+x

命题方向：

奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查

形式主要也就是上面提到的这两种情况--求参数或者求函数的表达式.

【偶函数】

如果函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/(-X)=/(x),那么函数/

(x)就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

解题方法点拨：

①运用/(x)—f(-x)求相关参数，如丫=/+匕/+5+4,那么a+c是多少？

②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数/(-2)=0,周期

为2,那么在区间(-2,8)函数与x轴至少有几个交点.

命题方向：

与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的

灵活运用.

七.函数奇偶性的性质与判断

【知识点的认识】

①如果函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X,都有/(-X)=-/(》)，那么函数/(X)

就叫做奇函数，其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数/(%)的定义域关于原点对称，且定义域内

任意一个x,都有/(-x)=f(x),那么函数就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(x)--x)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(X)=/(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

例题：函数y=x|x|+px,x€R是()

A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶D.与p有关

解：由题设知/(x)的定义域为R,关于原点对称.

因为/(-X)=-x|-x|-px=-x\x\-px=-f(x),

所以/(x)是奇函数.

故选B.

【命题方向】函数奇偶性的应用.

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确

率.

八.奇偶函数图象的对称性

【知识点的认识】

奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是/(无)=加时，

/(-x)=-m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f(X)="时，/(-x)=n.

【解题方法点拨】

由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反.

eg：若奇函数/(x)在区间［1,3］内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4,求函数/(X)在区间［-

3,-1］内的最值.

解：由奇函数的性质可知，在［-3,-1］上位单调递增函数，

那么最小值为/(-3)-f(3)=-7；最大值为/(-1)-f(1)=-4

【命题方向】

本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函

数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更

大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意.

九.函数的周期性

【知识点的认识】

函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x,使f(x)=/(x+n恒成立，则/(x)

叫做周期函数，丁叫做这个函数的一个周期.常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数.

【解题方法点拨】

周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富.

①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，

例：求/(x)=,1、的最小正周期.

f(x-2)

解：由题意可知，f(x+2)=——-——f(%-2)=T=4

f(x)

②与对称函数或者偶函数相结合求函数与X轴的交点个数.如已知函数在某个小区间与X轴有八个交点，求

函数在更大的区间与X轴的交点个数.

思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，

注意端点的值.

【命题方向】

周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，

为了高考将仍然以小题为主.

十.函数的值

【知识点的认识】

函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域.函数的值域和定义域一样，都是常考

点，也是易得分的点.其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围.

【解题方法点拨】

求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种:

①基本不等式法：如当为＞0时，求2x+6的最小值，有2x+昆》2x•&

XXVX

②转化法：如求|x-5|+|x-3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x=5和x=3的距离之和，易知最小

值为2；

③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较

例题：求/■(x)=/〃x-x在(0,+°°)的值域

解：f(x)=1-1=1ZX

XX

...易知函数在(0,1]单调递增，(1,+8)单调递减

二最大值为：/«1-1=-1,无最小值；

故值域为(-8,-1)

【命题方向】

函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望

同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主.

Q考点精讲

一.区间与无穷的概念(共4小题)

1.(2021秋•惠阳区校级期中)集合｛x|x<0或xNl｝用区间表示为()

A.(-8,0)U(1,+8)B.(-8,0)U[1,+8)

c.(-8,o)n[i,+8)D.(0,1]

【分析】将不等式转化为区间，原不等式中带“=”的数字，转化后就是“[”，没有带“=”的，转化后就

是

【解答】将不等式转化为区间，原不等式中带“=”的数字，转化后就是“[”，没有带“=”的，转化后就

是

故选：B.

【点评】此题属于集合集合与区间的转化题，属于易做题.

2.(2021秋•僧州月考)用区间表示数集：-1且x¥21=(-1,2)U(2,+8).

【分析】由区间的概念求解即可.

【解答】解：｛x|x>-1且xW2｝=(-1,2)U(2,+8).

故答案为：(-1,2)U(2,+8).

【点评】本题主要考查区间的概念，集合的表示法，属于基础题.

3.(2021秋•凉州区校级期中)某天某地最高气温为3℃,最低气温为-2℃,则该地当天的气温用区间表

不为|-2,3].

【分析】该地当天的气温用区间表示为[-2,3].

【解答】解：由题意得，

该地当天的气温用区间表示为[-2,3J；

故答案为：[-2,3J.

【点评】本题考查了区间的概念的应用.

4.(2021秋•湖北期中)定义区间(a,b),(a,b],[a,6),[a,b]的长度均为b-a.已知m>n,满足--

x-mx-n

的x构成的区间的长度之和为2.

【分析】根据不等式进行化简，求出不等式对应的解集，根据区间长度的定义进行求解即可.

【解答】解：因为」_二_》1，所以2乂§切)为,

x-mx-n(x-m)(x-n)

2

即2x-(mtn).]No,则♦-(2+m+n)x+inn+m+n

(x-m)(x-n)(x-m)(x-n)

设x2-(2+m+〃)x+inn+m+n=Q的根为工1和X2.

由求根公式得用=更空对鱼起/e(〃，相)，

2

x2=atn+2+V(处二巳产+与>弘,

2

x\+x2=2+m+n,如图所示：

由穿根法得不等式的解集为[小X2],

则构成的区间的长度之和(xi-〃)+(X2-m)=XI+JC2-n-m=2+m^-n-m-n=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了区间长度的定义，求出不等式的解集是解题的关键，是中档题.

二.函数的单调性及单调区间(共2小题)

5.(2022秋•武功县校级月考)函数y=——'■的单调增区间为()

4+3x-x

B-C，1]

D.(-8,-1)U(-1,1]

【分析】令f=-7+3x+4,根据二次函数的性质求出t的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数

y=——J•的单调增区间.

4+3x-x

【解答】解：设/=-/+31+4,则有xW-1且x#4；fW(-8,o)U(0,华］,

所以函数了=-----_的定义域为：-1且xW4},

4+3x-x2

由二次函数的性质可知t的单调递增区间为(-8,-1),(-1,3,］.单调递减区间为：［3,4),(4,+

22

°°);

又因为y=在正(-CO,0)和(0,手］上单调递减，

由复合函数的单调性可知：函数y=——J■的单调增区间为：［3,4)和(4,+8).

4+3X-X22

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质及复合函数的单调性，属于基础题.

6.(2022秋•武功县校级月考)已知函数;"(X)=|-3x+a|的增区间是［2,+-),则实数a的值为6.

【分析】去绝对值将fG)=|-3x+“|转化为分段函数，再根据单调性求解a的值即可.

/

-3x+a,

【解答】解：因为函数/(x)=|-3x+a|=，，

3x-a,x

故当X〈包时，f(x)单调递减，当x>旦时，fix)单调递增.

33

因为函数f(x)=|-3x+a|的增区间是［2,+8),

所以3=2,所以4=6.

3

故答案为：6.

【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于基础题.

三.函数单调性的性质与判断(共5小题)

7.(2022春•济宇期末)已知函数f(x)［(a-2)x?+(b-8)x+cT(x£R>

(l)如果函数f(x)为基函数，试求实数a、b、C的值；

(2)如果。>0、b>0,且函数/(x)在区间［■1,3］上单调递减，试求时的最大值.

【分析】(1)根据基函数的定义得到方程组，解得即可；

(2)分〃=2、a>2、0Va<2三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得.

【解答】解：(1)由7(X)为幕函数知：

2(a-2)=1

-T(a-2)=0

或.

b-8=0b-8=l

c-l=0c-l=0

解得：Q=5,Z?=8,c=l,或〃=2,b=9,c=l.

(2)①当〃=2时，/'(x)=(6-8)x+c-1(x£R)

由题意知，0<b<S,所以a匕V16.

②当a>2时，函数/(x)图象的对称轴为屋⑶⑺,

2(a-2)

以题意得：3(8切》即2〃+/><12

所以12>2a+b>2缶U，〃店18.

当且仅当。=3,。=6时取等号.

③当0<a<2时，

以题意得：举羔即a+36W26,即0<b<^(26-a)

2Ca-2)个237

又因为0<。<2,

所以0<ab4^a(26-a)=—(a-13)2。(2-13)2+^^^-=16

综上可得，油的最大值为18.

【点评】本题主要考查募函数的定义、二次函数的性质和基本不等式，属于基础题.

8.(2022春•南阳月考)已知函数f(x)=工(m£R),且f(x)在(0,+~)上单调递增.

x-hn

(1)求，”的取值范围；

(2)若〃，b,c表示△ABC的三条边长，求证：/(“)+f(/>)>/(c).

【分析】(1)根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得答案；

(2)根据题意，由不等式的性质可得fQ)+f(b)>±L=f(a+b)，由三角形的三边关系、函数的单

a+b+m

调性分析可得答案.

【解答】解：(1)根据题意，/(X)=上，其导数V=

2

xEx-4n(xtm)

因为函数/(x)在(0,+8)上单调递增，所以当x>0时，/(x)20,

故机20,又当〃7=0时，/(x)=0恒成立，不符合题意，

则有机>0,故实数机的取值范围为(0,+8),

(2)证明：因为fQ)一一〉3—，

a-hna+b+mb+ma+b+m

故f（a）+f（a+b），

又因为在△ABC中，a+b>c,

由题意知，/（x）在（0,+8）上单调递增.

所以/（“+〃）>/（c）因此，f（a）+fCb）>f（c）.

【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的证明，属于基础题.

9.（2022秋•武功县校级月考）下列函数在Rtl为增函数的是（）

A.y—x1B.y=xC.y=~VxD.y。

【分析】利用基本初等函数的性质逐个判断各个选项即可.

【解答】解：对于A,由二次函数的性质可知，函数y=/在（-8,0）上单调递减，在（0,+8）上单

调递增，故A错误，

对于8,由一次函数的性质可知，函数y=x在R上单调递增，故B正确，

对于C,由幕函数的性质可知，函数y=｛在［0,+8）上单调递增，所以函数y=-4在［0,+8）上单

调递减，故C错误，

对于。，由反比例函数的性质可知，函数）=」在（-8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递减，故

x

。错误，

故选：B.

【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性，属于基础题.

10.（2022秋•武功县校级月考）若f（x）苫工在区间0，+8）上是增函数，则实数。的取值范围是（-

X-1

8,-1）.

【分析】利用分离常数法可得/（X）=〃+号，再结合反比例函数的单调性求解即可.

【解答】解：/（x）=ax+l=a（x-l）+a+l="+3包,

X-1X-1X-1

f（x）mtL在区间a,+8）上是增函数，

X-1

Atz+KO,

：.a<-1,

即实数〃的取值范围是（-8,-1）.

故答案为：（-8,-1）.

【点评】本题主要考查了分离常数法求函数的单调性，属于基础题.

11.(2022•句容市校级开学)函数f(x)=^2>是定义在(-3,3)上的奇函数，且

9-x24

(1)确定f(x)的解析式；

(2)证明/(X)在(-3,3)上的单调性；

(3)解关于t的不等式/(f-1)+/,(?)<0.

【分析】(1)由题意，根据/(0)=0、/(1)=X求出6和〃的值，可得函数的解析式.

4

(2)由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性.

(3)由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得/的范围.

【解答】解：⑴•••函数f但)=^鼻是定义在(-3,3)上的奇函数，贝ijf(o)口=o,解可得〃=。・

9-x29

又由f(l)=上，则有“i)=曳」，解可得。=2,故

4g4I"9_^2

(2)由(1)的结论，设-3<XI<X2<3,

9-x

22

2xi2x92x1(9-X9)-2X9(9-XI)2(9+xix9)(xi-x9)

则f(x,)-f(xc)=----------=——-------------------——=-------------———,

222222

9-Xj9-X2(9-xt)(9-X2)(9-X1)(9-X2)

再根据-3<X1<X2<3,可得9+XLT2>0,XI-X2<0,9-x：〉0，9-xg〉。)

故有了(XI)-f(X2)<0,即f(xi)<f(X2)1

可得函数/(x)在(-3,3)上为增函数.

(3)由(1)(2)知/(x)为奇函数且在(-3,3)上为增函数，

关于f的不等式f(f-1)+f(Z)VO,即式f(L1)<-f(/)=f(-r),

'-3<t-3<3

可得■，解可得：-2<t<X

2

即不等式的解集为(-2,/)•

【点评】本题主要考查奇函数、偶函数的定义和判断方法，用定义证明函数的单调性，利用函数的定义域

和单调性解不等式，考查划归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.

四.函数的最值及其几何意义(共6小题)

12.(2022秋•南昌月考)若2x-lW(x-2)2+y2,则/+/的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】化简2乂-1=46-2)2+了2得/_工=1(X》/)，即为双曲线的右支，作图求解即可.

【解答】解：.•.2x-lW(x-2)2+y2,

:.(2x-1)2=(x-2)2+y2(x>A),

2

化简得，

X2-——=1(x>A),

32

故作/-金=1(x>l)的图象如下,

故x1+y1的最小值为12+()2=i,

故选：A.

【点评】本题考查了圆锥曲线的性质的应用及数形结合的思想方法的应用，属于中档题.

13.(2022秋•河南月考)如图，“爱心”图案是由函数/(%)=-7+左的图象的一部分及其关于直线y=x

的对称图形组成.若该图案经过点(/，0),点M是该图案上一动点，N是其图象上点历关于直线y

=x的对称点，连接MM则的最大值为()

A..纸遍.B.2.5匹C.672D.872

84

【分析】先根据题意求出”的值，设直线y=x+6与/(x)=-7+6相切，联立方程求出6的值，再根据平

行线间距离公式求解即可.

【解答】解：函数/(x)=-，+&经过点(-瓜,0),

二-6+k=0,:.k=6,

:・f(x)=-7+6,

设直线y=x+b与f(x)=-W+6相切，

联立<’X：,消去y得，x2+x+b-6=0,

y=-x2+6

.*.△=1-4(/?-6)=0,

解得6=至，

4

25_

则直线y=x+2»与直线y=x间的距离为:4=后匹,

4#+"1)28

的最大值为2义变巨=型巨，

84

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数的对称性，考查了平行线间的距离公式，属于中档题.

14.(2022•鹿城区校级开学)函数/(x)=x\x-a\.

(1)若f(x)在R上是奇函数，求。的值；

(2)当。=2时，求/(x)在区间(0,4］上的最大值和最小值；

(3)设〃>0,当相VxV九时，函数/(x)既有最大值又有最小值，求相、〃的取值范围(用。表示)

【分析】(1)根据奇函数的性质求。的值；

(2)化简函数解析式，结合二次函数性质求其最值；

(3)化简函数解析式，结合函数图象确定出〃的取值范围.

【解答】解：(1)因为f(x)在R上是奇函数，所以fC-x)=-f(x),即-小+〃|=-x\x-a恒成立.

所以|x+〃|=|x-恒成立，

所以〃=0；

-X2+2X,(0<X<2)

(2)当a=2时，f(x)=x|x-2|=-

X2-2X,(24X44)

函数y=-/+2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减,

所以y=-7+2x在(0,2］上的值得范围为［0,1］,其中工=2时，f(x)=0,

函数y=/-2x在(2,4］上单调递增，

所以函数y=/-2x在(2,4］上的值域为(0,8］,其中当x=4时，f(x)=8,

・•・当x=4时，fmax(x)=8：当X=2时，fmin(X)=0:

/c、/、II-X+ax,(x<a)

(3)f(x)=x|x-a|=<2，

x-ax,

因为a>0,

所以函数y=-/+or在(-8,A)上单调递增，在(包，a)上单调递减,

2

当工=包时，y=2_,

24_

当时，令/,可得x=1^，

42

因为当。>0,时，函数/(x)既有最大值又有最小值，

所以OW/nV且，4V〃在上

22

【点评】本题考查了奇函数的性质、分段函数的性质、二次函数的性质及数形结合思想，属于中档题.

15.(2022秋•南昌月考)若2x.i二版则｛(x+2)2+y2+J(x-2)2+y2的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】化简2x-lW(x-2)2+y2得(x》£)，而J(x+2)2+y2+Y(x-2)2+y2表示了双

O/

曲线/-£=1（X》上）上的点与点（-2,0）,（2,0）的距离之和，作图求解即可.

32

【解答】解：：2x-l=m77，

:.（2x-l）2=（x-2）2+/（x2』），

2

即（x2工），

32

,但+2）2+32+4作-2）2+了2表示了双曲线/《=1（X>-1）上的点与点（-2,0）,（2,0）的距离

之和，

故当过点A时，7（x+2）2+y2+Y（x-2）2+y2取得最小值4,

故选：D.

【点评】本题考查了圆锥曲线的性质的判断与应用，属于中档题.

（多选）16.（2022秋•保定月考）函数/（x）=因称为取整函数，也称高斯函数，其中［幻表示不大于实数

x的最大整数（）

A.若印=2,则x+」、的最小值为§

B.若W+y2-2y=l,则［盯-x］的最大值为1

C.若正数x,y满足3+8=1,则工建的最小值为9

xy

D.若在（-8,0）,则［也止型式费］的最小值为-13

-Bl/

【分析】对于4,易知2Wx<3,再由函数单调性可判断；对于B,利用基本不等式可得x（y-1）W1,由

42

此可判断；对于C,举例即可判断；对于。，先求出l°x+29X+10的范围,再结合取整函数的定义可判

"+1）2

断.

【解答】解：对于A,由于㈤=2,则2Wx<3,

易知XF1=但-1)3七+1，而函数y=x-，“\、+1在12,3)上单调递增

2(xT7)V2(xT)2lx-1J

...当x=2时，欠+,1、的最小值为上,选项A正确；

x2(x-l)2

对于B,；/+)?-2y=1,

・,.)+(y-1)2=2,

・・・2=/+(y-1)2^2X(y-1),

.♦.x(y-l)Wl,当且仅当》=>-1,即[*=-1或[x=l时等号成立，

1y=01y=2

.\[xy-x]=L选项B正确；

对于C,不妨取x,,y-1,此时满足因+8=1，但/号=2年号<9,选项C错误；

7~2

对于。，10x4+29x2+10_10(x2+l)2+9x2

-(x2+l)2-(x2+l)2

当且仅当2y,即》=-i时等号成立，

X2

X

...［-.10X4+29x^10^>［一竽］=_13，选项。正确.

《2+1)24

故选：ABD.

【点评】本题以新定义为载体，考查了函数最值的求解以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于

中档题.

2

17.(2022•徐汇区校级开学)设。、b、c是两个两两不相等的正整数.若他+匕，b+c,c+a}={〃2,(n+l),

(〃+2)2}(〃WN+),贝ijj+/+J的最小值是()

A.2007B.1949C.1297D.1000

【分析】假设。>b>c,则a+6>a+c>/?+c.由此可得〃为奇数.分〃=3和〃=5两种情况解出b,c的

值，代入计算即可.

【解答】解：不妨设贝lja+〃>4+c>Z?+c.

因为(a+b)+(b+c)+(a+c)=2(a+b+c)为偶数，

所以〃2,(“+1)2,(〃+2)2必为两奇一偶，从而可得"为奇数.

又因为b+c>l,所以〃为不小于3的奇数.

若“=3.则伍+6b+c,c+a}={32,42,52).

故a+h+c=」(32+42+52)=52,且〃+匕=52.

2

所以c=0,不符合要求.

若"=5,则{a+4b+c,c+a}={52,62,72).

，9

a+b=7k=30

故a+c=62-解得，b=19>

b+c=52c=6

此时，a2+/>2+c2=3O2+192+62=1297.

故选：C.

【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力和分类讨论思想，得出”为奇数是关键点，属于中档题.

五.奇函数、偶函数(共3小题)

18.(2022•华州区校级开学)已知/(x)是R上的奇函数，且/(2-x)=/(x),/(1)=3,贝Uf(2022)

+f(2023)=()

A.-3B.-1C.1D.2

【分析】由已知先求出函数的周期，结合奇偶性及周期性进行转化即可求解.

【解答】解：由题意，得/(2+x)=/(-x)=-/(x),

所以f(x+4)—f(x),

所以『(x)是周期为4的周期函数，

所以F(2022)+f(2023)=/(2)4/(7),

因为F(-x+l)=/(x+l),令x=l,得/(2)=/(0),

因为f(x)为R上的奇函数，

所以7(0)=0,/(-1)=-/(1)=-3,

所以/(2022)4/(2023)=0-3=-3.

故选:A.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性在函数值求解中的应用，属于中档题.

19.(2022•宝应县开学)已知函数/(X)的定义域为R,且满足/(-x+2)=-/(x+2),又/(尤+1)为偶

函数，若/(I)=1,则f(2)4/(7)=()

A.0B.1C.2D.-1

【分析】由已知先求出函数的周期，然后利用赋值法即可求解.

【解答】解：因为函数/(X)的定义域为R,/(X+1)为偶函数，

所以函数的图象关于x=l对称，即=f(x),

因为/(2-x)=-f(JC+2),

所以f(JC)=-f(尤+2),即/(x+4)=f(x),

所以函数的周期T=4,

若f(l)=1,则/(7)=/(3)=7,

又/⑵=/(0)=

所以f(2)=0,

则/(2)+f(7)=-1.

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称轴在函数求值中的应用，属于中档题.

20.(2022秋•浙江月考)已知函数/(X)的定义域为R,且f(x+l)+/-(-V-1)=2,fCx+2)为偶函数，

n

若/(0)=0,£f(k)=lll(依N*),则〃的值为()

k=l

A.107B.118C.109D.110

【分析】由/(x+1)+/-(X-1)=2,可得/Yx)的周期为4,再结合/(x+2)为偶函数,可得/(x)为偶

函数，再通过周期性即可求解.

【解答]解：."(x+l)4/G-1)=2,

：.f(x+2)+f(x)=2,：.f(x+2)=2-f(x),

：.f(x+4)=2-/(x+2)=2-[2-/(x)]=/(x),

：.,f(x)的周期为4,

又f(x+2)为偶函数，.\y(-x+2)(x+2),

:.f(x)=f(-x+4)=f(-x),

：.f(x)为偶函数,

\\f(x+1)4/(X-1)=2,

：.f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,

：.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,

又/⑴■>/(-1)=2..,.2f(D=2,：.f(1)=1,

又/(0)+f(2)=2,f(0)=0,：.f(2)=2,

V110=27X4+2,

：.f(1)+•+/,(H0)=27X［f(1)+f(2)+f(3)+f(4)］+fC\)+f(2)

=27X4+1+2=111,

：.n的值为110.

故选：D.

【点评】本题考查抽象函数的周期性，对称性，奇偶性，属中档题.

六.函数奇偶性的性质与判断(共7小题)

21.(2022秋•宛城区校级月考)已知函数/(x)是R上的偶函数，且/(x)的图象关于点(1,0)对称，

当x€［0,1］时，/(x)=2-2',则f(0)V(1)+f<2)+•••+/(2022)的值为()

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根据题意可得到/(x)的最小正周期为4,再求出/(0),/(I),/(2),/(3)的值，利用周期性

即可得到答案.

【解答】解：•./(x)是R上的偶函数，

(x)关于直线x=0对称，

又_f(x)的图象关于点(1,0)对称，

••./(X)的最小正周期为4X|1-0|=4,

又当x6［0,1］时，/(x)=2-2',

：.f(0)=1,/(1)=0,/(2)=-f(0)=-1,/(3)=-/(-1)=-/<!)=0，

：.f(0)4/(1)+f(2)+f(3)=0,

又2022muo

4

：.f(0)+/,<!)+f<2)+•••+/(2022)=505X04/(0)+f(I)f⑵=0.

故选：C.

【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

22.(2022•深州市模拟)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且xWO时，/(x)=3?-2x+m,则/(x)在

11.2］上的最大值为()

A.1B.8C.-5D.-16

【分析】根据题意，由奇函数的性质可得/(0)=机=0,可得xWO时，/(X)的解析式，由此可得/(X)

在区间［-2,-1］上的单调性，结合奇偶性可得f(x)在口，2］上为减函数，据此分析可得答案.

【解答】解：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，且xWO时，/(x)=3?-2x+m,

则有f(0)=m=0,即m=0,

则/(x)=3,-2r,(xWO),

在区间［-2,-1］上，/(x)为减函数，则/(x)在［1,2］上为减函数，

则f(x)在［1,2］上的最大值/(I)=-/<-1)=7,

故选：C.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题.

23.(2022•荥阳市开学)己知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当xWO时，=x(x+4),则方程

f(x)=/(2-x)的所有根的和为()

A.4+73B.1C.3D.5

【分析】由xWO时，/(x)=x(x+4),利用函数/(x)是定义在R上的奇函数，求得函数的解析式，然后

根据y=/(2-x)与)，=/(x)的图象关于直线x=l对称，在同一坐标系中，作出两函数图象，利用数形结

合法求解.

【解答】解：设x>0,贝因为xWO时，/(x)=x(x+4),

所以/(-x)=-x(-x+4)=x(x-4),

又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

当xWO时，f(x)=-/(-x)=x(-x+4),

所以小)=［x(x+4),x<0

x(-x+4),x>0

又y=/(2-x)与y=/G)的图象关于直线x=l对称，

在同一坐标系中，作出两函数图象，如图所示：

由图象知：y=/(2-x)与),=/(x)的图象有3个交点，其中一个根为1,另外两个根关于x=l对称，

所以方程/(x)=/(2-x