湍流与湍动能耗散率关系

1/1湍流与湍动能耗散率关系第一部分湍流的特征及尺度范围 2第二部分湍动能耗散率的定义 4第三部分湍流动力学方程的推导 6第四部分Kolmogorov谱定律与湍动能级联 8第五部分K4理论：湍动能耗散率与涡流粘度 10第六部分大涡模拟中湍动能耗散率的计算 12第七部分湍流模型中湍动能耗散率方程 16第八部分实验和数值模拟验证 18

第一部分湍流的特征及尺度范围湍流的特征及尺度范围

湍流是一种流体运动的特征，以不规则、随机和混沌运动为特征。它由流体中的速度、压力和温度的剧烈波动引起。湍流与层流相反，后者是一种平滑、有规律的流体运动。

湍流具有以下主要特征：

*不规则性：湍流运动不遵循任何特定的模式或规律。它是一种高度随机的现象，难以预测。

*混沌性：湍流运动对初始条件极其敏感。微小的扰动会导致湍流模式发生巨大变化。

*涡旋性：湍流运动包含各种尺度的涡旋。这些涡旋不断形成、相互作用和破裂。

湍流的尺度范围跨越从毫米到数千公里。以下是一些关键的尺度：

*Kolmogorov微尺度（η）：这是湍流中最小的尺度，在该尺度上粘性力与惯性力达到平衡。

*积分尺度（L）：这是湍流中最大涡旋的特征尺度。

*Taylor微尺度（λ）：这是湍流中涡旋平均尺寸的特征尺度。

*能量包含范围：这是湍流能量谱中包含大部分能量的尺度范围。

湍流的尺度范围取决于流体的特性（例如粘度和密度）和流动条件（例如速度和压力梯度）。在高雷诺数（Re）流中，湍流的尺度范围更宽，而粘性力在更小的尺度上变得更加重要。

湍流的尺度范围与湍动能耗散率（ε）密切相关。ε代表湍流动能的耗散率，单位为m³/(s³)。根据Kolmogorov理论，ε与湍流中最小涡旋的尺寸有关：

```

ε=(ν³/⁴)u'³/L¹/²

```

其中：

*ν是流体的动力粘度

*u'是湍流速度波动

*L是积分尺度

这个公式表明，ε与L⁻¹/²成正比。因此，随着积分尺度的增加，ε将减小。

此外，ε与湍流动能（k）的耗散率成正比，单位为m²/s³：

```

ε=(ν³/²)(∂uᵢ/∂xⱼ)²

```

其中：

*uᵢ是速度分量

*xⱼ是空间坐标

这个公式表明，ε与k²成正比。因此，随着k的增加，ε也将增加。

理解湍流的特征和尺度范围至关重要，因为这有助于我们了解流体运动并预测流体力学系统中的行为。湍流在工程、地球物理和天体物理学等各种领域都有着广泛的应用。第二部分湍动能耗散率的定义湍动能耗散率的定义

湍动能耗散率（$\varepsilon$）是湍流中湍动能（$k$）耗散为内能的速率。它是湍流的重要统计量，反映了湍流的耗散特性。

数学定义

湍动能耗散率可通过以下公式定义：

其中：

*$\nu$为流体的运动黏度

应变率张量定义为速度梯度的对称部分：

无迹运算符表示张量的对角线元素之和为零：

公式（1）中，角括号表示湍流平均：

物理意义

湍动能耗散率代表了湍流中由于粘性作用而将湍动能转化为热能的速率。它与湍流尺度和速度梯度有关：

*湍流尺度：湍动能耗散率与湍流尺度（如泰勒微尺度）成正比。这表明湍流中的小尺度结构对能量耗散至关重要。

*速度梯度：湍动能耗散率与速度梯度的平方成正比。速度梯度越大，湍流的耗散率越高。

Kolmogorov尺度

湍动能耗散率与Kolmogorov尺度（$\eta$）有密切关系：

Kolmogorov尺度是湍流中最小尺度的量级，它表示湍动能耗散为热能的最小尺度。

湍流平衡

在稳态湍流中，湍动能耗散率与湍流产生的速率相平衡。这被称为湍流能量平衡：

$$\varepsilon=P_k-T_k$$

其中：

*$P_k$为湍动能产生率

*$T_k$为湍动能传递率

测量方法

湍动能耗散率可以通过实验或数值模拟方法测量。常见的实验方法包括：

*热丝风速仪

*激光多普勒测速仪

*粒子图像测速仪

数值模拟方法包括：

*大涡模拟（LES）

*直接数值模拟（DNS）

应用

湍动能耗散率在湍流建模和工程应用中具有广泛的应用，例如：

*湍流模型的验证和改进

*湍流传热和传质的研究

*航空航天工程中的流体动力学分析

*环境工程中的湍流扩散预测第三部分湍流动力学方程的推导关键词关键要点湍流动力学方程的推导

主题名称：湍流动力学方程的演化

1.动量方程：描述流体动量的守恒，包含湍动能产生项和耗散项，反映湍流运动对流体的影响。

2.连续性方程：描述流体质量的守恒，考虑湍流引起的流体密度和速度的波动。

3.能量方程：描述流体能量的守恒，包括湍动能方程，反映湍流运动对流体能量的转化和耗散。

主题名称：湍流动力学方程的求解

湍流动力学方程的推导

湍流动力学方程描述了湍流流动的运动规律，它可以从纳维-斯托克斯方程推导得到。

纳维-斯托克斯方程

纳维-斯托克斯方程是一个偏微分方程组，描述了牛顿流体的流动。对于不可压缩、无粘性的流体，其方程为：

```

ρ(∂u/∂t+u·∇u)=-∇p+ρg

```

其中：

*ρ是流体的密度

*u是流体的速度

*t是时间

*p是压力

*g是重力加速度

雷诺分解

湍流流动的特点是其速度和压力的瞬时变化非常剧烈。为了将湍流的瞬时变化量与平均量分开，采用雷诺分解的方法：

```

u=U+u'

p=P+p'

```

其中：

*U、P是平均速度和平均压力

*u'、p'是湍流脉动速度和湍流脉动压力

代入纳维-斯托克斯方程

将雷诺分解后的速度和压力代入纳维-斯托克斯方程，得到：

```

ρ(∂U/∂t+U·∇U+u'·∇U+u'·∇u')=-∇P-∇p'+ρg

```

时间平均

对上述方程进行时间平均，得到：

```

ρ(∂U/∂t+U·∇U)=-∇P+ρg-ρ(u'·∇u')

```

其中，-ρ(u'·∇u')项称为雷诺应力，它表示湍流脉动对平均流动的影响。

湍流动力学方程

雷诺应力是一个与速度梯度相关的对称张量。湍流动力学方程就是一组微分方程，用于求解雷诺应力：

```

ρ(∂R/∂t+U·∇R+u'·∇R+R·∇U)=-2ρ(u'·∇u')+∇·(μ(∇U+(∇U)^T))

```

其中：

*R是雷诺应力张量

*μ是流体的动力粘度

湍流动力学方程是湍流流动的基本方程。它们描述了雷诺应力与速度梯度、平均速度和湍流脉动速度之间的关系。第四部分Kolmogorov谱定律与湍动能级联科尔莫戈罗夫谱定律与湍动能级联

科尔莫戈罗夫谱定律

科尔莫戈罗夫谱定律建立在湍流的连续能量谱的概念之上，该定律描述了湍动能随波数谱分布的规律。在惯性范围（介于最小和最大涡流尺度之间），科尔莫戈罗夫谱定律表明，单位质量湍动能谱密度与波数的三次方成正比：

```

E(k)=CK^−5/3

```

其中C为常数，k为波数。

湍动能级联

湍动能级联是湍流中能量从大涡流向小涡流传递的过程。这一过程遵循科尔莫戈罗夫谱定律的分布。大涡流通过不稳定性破裂成较小的涡流，这些较小的涡流进一步破裂成更小的涡流，以此类推。随着涡流变得越来越小，它们的能量也变得越来越小，直到能量耗散到分子尺度。

能量级联过程

在湍动能级联过程中，能量以级联的形式从大涡流传递到小涡流：

1.惯性范围：在大涡流破裂形成较小的涡流时，这些较小的涡流具有相似的能量和寿命。这一范围称为惯性范围。在这个范围内，科尔莫戈罗夫谱定律成立。

2.耗散范围：随着涡流变得越来越小，粘性力变得越来越重要，导致涡流的耗散和能量的损失。在这个范围内，科尔莫戈罗夫谱定律不再成立。

3.注入范围：在大气或海洋等外部能量源的存在下，能量会不断注入湍流系统，形成大涡流。这些大涡流是湍动能级联的起点。

级联速率

湍动能级联速率，也称为ε，代表单位时间单位质量体系能量耗散的速率。它可以通过以下方式计算：

```

ε=ν∫k^2E(k)dk

```

其中ν为流体的运动粘度。

应用

科尔莫戈罗夫谱定律和湍动能级联在湍流研究和多种领域有着广泛的应用，包括：

*大气和海洋科学

*工程

*生物流体动力学

*材料科学

*宇宙学

这些定律有助于理解湍流能量的分布和传递机制，并为湍流模型和预测提供了基础。第五部分K4理论：湍动能耗散率与涡流粘度K4理论：湍动能耗散率与涡流粘度

湍动能耗散率（ε）和涡流粘度（νt）之间的关系在湍流建模和模拟中至关重要。K4理论是一种广泛用于描述这种关系的半经验模型，由Kolmogorov、Obukhov、Corrsin和Monin提出。

理论基础

K4理论基于以下假设：

*湍流是局部均匀和各向同性的。

*湍动能谱遵循Kolmogorov的-5/3次方定律。

*涡流粘度正比于湍动能耗散率和特征长度。

公式推导

根据这些假设，K4理论推导出以下公式：

```

νt=C₁K³/ε

```

其中：

*νt：涡流粘度(m²/s)

*ε：湍动能耗散率(m²/s³)

*K：湍动能(m²/s²)

*C₁：常数，经验值为0.09

物理意义

该公式表明，涡流粘度与湍动能耗散率成正比，与湍动能成反比。也就是说，湍流越剧烈（ε越大），涡流粘度越大，反之亦然。

应用

K4理论已广泛应用于湍流建模和模拟中。它用于封闭雷诺平均纳维尔-斯托克斯(RANS)方程组和计算大涡模拟(LES)中的亚格子尺度模型。

局限性

尽管K4理论在许多情况下得到了合理的实验验证，但它也有以下局限性：

*对各向同性假设敏感：该理论假设湍流是各向同性的，这在实际应用中可能不成立。

*常数C₁的经验性：C₁的经验值是基于有限的实验数据，在不同的流场条件下可能会有所不同。

*不适用于高雷诺数湍流：K4理论在高雷诺数湍流中会失效，因为在这种情况下涡流粘度不再与ε成正比。

其他模型

除K4理论外，还有其他模型描述ε与νt之间的关系，例如：

*Prandtl混合长度模型：νt=l²|∂U/∂y|

*Smagorinsky大涡模拟模型：νt=(C₁Δ)²|S|

*动态涡流粘度模型：νt=f(Re,ε)

这些模型各有优缺点，根据特定应用选择合适的模型至关重要。第六部分大涡模拟中湍动能耗散率的计算关键词关键要点大涡模拟中湍动能耗散率的计算

1.涡粘模型在大涡模拟（LES）中широкоиспользуется来模拟亚网格湍流，但需要利用湍动能耗散率（ε）对涡粘性进行建模。

2.LES的湍动能耗散率计算可使用亚网格尺度涡旋粘性模型（SGS模型），该模型将ε表示为与亚网格尺度流动相关变量的函数。

亚网格尺度模型

1.最简单的SGS模型是Smagorinsky-Lilly模型，它将ε与亚网格尺度应变率张量（Sij）的范数联系起来。

2.改进的SGS模型，如动态Smagorinsky模型和动量方程模型，可以提供更精确的ε估计，从而提高LES的准确性。

墙面附近ε的计算

1.在靠近墙壁的区域，湍流受边界条件的影响，导致ε的分布发生变化。

2.壁面函数方法使用解析公式在墙面附近计算ε，而壁面求解方法则直接求解湍流方程来获得ε。

非均质和可压缩湍流

1.在非均质湍流中，ε分布受速度和密度梯度的影响，需要考虑这些因素对ε计算的影响。

2.在可压缩湍流中，ε的计算需要考虑声波的影响，这可以通过修正Smagorinsky-Lilly模型或使用专门的可压缩SGS模型来实现。

过渡模型

1.过渡模型结合了LES和雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方法，在靠近墙壁的区域使用RANS，而在远离墙壁的区域使用LES，从而可以有效地解决壁面附近湍流问题。

2.过渡模型需要使用混合模型来计算ε，该模型在RANS区域和LES区域之间平滑地过渡。

趋势和前沿

1.机器学习技术正在被探索以提高LES中ε的计算准确性，例如通过使用神经网络或深度学习算法。

2.LES模型的开发正朝着提高其预测能力的方向发展，例如通过使用更高阶方法或考虑湍流的非局部效应。大涡模拟中湍动能耗散率的计算

引言

湍动能耗散率（ε）是湍流系统中湍动能耗散速率的一个关键参数。在大涡模拟（LES）中，准确计算ε对于准确预测湍流特性至关重要。本文将介绍LES中计算ε的常见方法。

背景

在LES中，湍流场被分解为大尺度涡流和亚网格尺度（SGS）涡流。大尺度涡流通过求解过滤的纳维-斯托克斯（N-S）方程显式求解，而SGS涡流的影响则通过亚网格尺度模型来参数化。

湍动能耗散率ε表征了SGS涡流耗散湍动能的速率。它在LES中用于计算亚网格尺度粘度和湍流混频系数等湍流模型参数。

计算方法

LES中计算ε的常见方法包括：

*局部平衡模型(EBM)：EBM假设SGS涡流处于局部能量平衡，即ε与湍动能耗散速率之和（P_diss）相等。在这种情况下，ε可通过以下公式计算：

```

ε=P<sub>diss</sub>=τ<sub>sgs</sub>Σ<sub>ij</sub>(∂u<sub>i</sub>/∂x<sub>j</sub>∂u<sub>j</sub>/∂x<sub>i</sub>)

```

其中，τ_sgs是亚网格尺度时间尺度。

*尺度相似模型(SSM)：SSM假设SGS涡流的尺度与大尺度涡流相似。因此，ε可通过以下公式计算：

```

ε=C<sub>ε</sub>k<sup>3/2</sup>/l<sub>sgs</sub>

```

其中，C_ε是经验常数，k是湍动能，l_sgs是SGS长度尺度。

*动态模型(DSM)：DSM使用湍流输送方程来计算ε。湍流输送方程是一个偏微分方程，描述了ε在湍流场中的输运和耗散过程。求解该方程可以得到ε的时空分布。

模型选择

EBM的计算成本低廉，但对网格分辨率的要求较高。SSM对网格分辨率的要求较低，但可能低估ε。DSM可以提供最准确的ε预测，但计算成本最高。

模型的选择取决于LES计算的特定要求和可用计算资源。

其他考虑因素

除了上述方法外，还有以下一些考虑因素：

*边界条件：ε的边界条件应与湍流输送方程的边界条件一致。

*数值方法：求解ε偏微分方程的数值方法应具有足够的精度和稳定性。

*验证和验证：LES计算应通过与实验或直接数值模拟（DNS）结果进行比较来验证和验证。

结论

准确计算湍动能耗散率（ε）对于大涡模拟（LES）至关重要。本文介绍了LES中计算ε的常见方法，包括局部平衡模型（EBM）、尺度相似模型（SSM）和动态模型（DSM）。模型的选择应基于LES计算的特定要求和可用计算资源。第七部分湍流模型中湍动能耗散率方程关键词关键要点【湍动能耗散率方程】

1.方程描述了湍动能耗散率ε的输运和耗散过程。

2.方程包含湍动能耗散率ε的产生、耗散和湍流输运项。

3.方程中ε的产生项与湍流剪切应力的平方成正比，反映了湍流运动的耗散特性。

【湍动能耗散率的湍流输运】

湍流模型中湍动能耗散率方程

湍动能耗散率（ε）是湍流中能量级联过程的度量，描述了湍流动能如何耗散成热能。在湍流模型中，ε通常通过求解以下方程来确定：

```

∂ε/∂t+uᵢ∂ε/∂xᵢ=(Cε1ε-Cε2ε²/k)P+Cε3εk/L+Dε

```

其中：

*t是时间

*uᵢ是平均速度分量

*xᵢ是空间坐标

*k是湍动能

*L是特征长度尺度

*Dε是耗散项的扩散项

*P是湍流产生率

*Cε1ε、Cε2ε、Cε3ε是模型常数

方程项的物理意义

方程的每一项都代表了影响ε变化的不同物理过程：

*时间导数项(∂ε/∂t)：表示ε随时间的变化。

*对流项(uᵢ∂ε/∂xᵢ)：表示ε的输运，即平均速度场将ε从一个位置输运到另一个位置。

*产生项(Cε1εP)：表示湍流产生率对ε的贡献。当湍流产生速率高时，ε的产生也会增加。

*耗散项(Cε2ε²/k)：表示湍流耗散对ε的贡献。当湍流耗散率高时，ε的耗散也会增加。

*压应力扩散项(Cε3εk/L)：表示压力应力引起的ε的扩散。这个项将ε从高浓度区域输运到低浓度区域。

*耗散项的扩散项(Dε)：表示耗散项的扩散，这会影响ε的空间分布。

模型常数

Cε1ε、Cε2ε、Cε3ε是湍流模型中必须通过实验或数值模拟来确定的模型常数。这些常数的值取决于湍流模型的类型和特定的流动条件。下面列出了几种常用的湍流模型中这些常数的典型值：

|湍流模型|Cε1ε|Cε2ε|Cε3ε|

|||||

|k-ε模型|1.44|1.92|0.09|

|k-ω模型|0.6|6.3|2.0|

|Reynolds应力模型(RSM)|1.42|1.68|0.06|

值得注意的是，这些常数并不是通用的，并且可能因湍流模型和流动条件的不同而有所不同。

湍动能耗散率和湍流动能的关系

湍动能耗散率与湍流动能之间存在以下关系：

```

ε=Cεμ³/(k²)

```

其中Cεμ是另一组模型常数，其值取决于湍流模型的类型。这个关系表明，湍动能耗散率与湍流动能的立方成正比，与湍动黏度也成正比。第八部分实验和数值模拟验证关键词关键要点【实验测量湍动能耗散率】

1.使用热线风速仪或激光多普勒风速仪等实验技术测量湍动速度，并应用雷诺应力分解或直接数值模拟（DNS）方法计算湍动能耗散率。

2.实验测量可以提供湍流特性在特定边界条件和流动条件下的详细时空分布信息，有助于理解湍流的物理机制。

3.实验结果可以用于验证数值模拟的准确性，并为湍流模型的开发和改进提供实验数据基础。

【数值模拟计算湍动能耗散率】

实验和数值模拟验证

实验验证

通过实验测量湍流能耗散率（ε）与湍流特征量（例如平均速度、湍流强度）之间的关系，来验证湍流模型的预测准确性。常用的实验方法包括：

*激光多普勒测速仪(LDV)：测量流体颗粒的瞬时速度，从而计算湍动能和湍流能耗散率。

*热线风速仪：测量流体温度波动，用于推导湍流强度和湍流能耗散率。

*粒子图像测速仪(PIV)：捕捉流场中颗粒的运动，通过图像分析计算速度场，并从中提取湍流统计量。

数值模拟验证

使用直接数值模拟(DNS)、大涡模拟(LES)或雷诺平均纳维-斯托克斯(RANS)模型等数值模拟方法，求解湍流流动方程，并与实验数据进行比较，以评估湍流模型的预测性能。

DNS验证

DNS直接求解湍流流动方程，不进行任何湍流模型假设，因此可以提供湍流最准确的数值解决方案。然而，DNS计算量大，仅限于低雷诺数流动。

LES验证

LES过滤掉小尺度湍流，使用子网格模型模拟它们对大尺度湍流的影响。LES比DNS计算量小，但对子网格模型的选择很敏感。

RANS验证

RANS模型对湍流进行平均，使用代数或输运方程来模拟湍流应力。RANS计算量最小，但对湍流模型的准确性要求较高。

验证结果

不同湍流模型在不同流动条件下的验证结果各不相同。对于简单流动（如渠道流动、圆管流动），大多数湍流模型可以提供令人满意的预测精度。对于复杂流动（如边界层分离、涡旋脱落），模型的预测精度可能会受到影响。

具体验证示例

渠道流动：

*LDV测量表明，k-ε模型和k-ω模型都可以准确预测湍动能和湍流能耗散率。

圆管流动：

*DNS和LES模拟结果显示，k-ε模型和RSM模型可以很好地预测湍流通量和湍流能耗散率。

边界层流动：

*PIV测量表明，RSM模型在复杂边界层分离流动中表现出更好的预测精度。

涡旋脱落：

*LES模拟表明，subgrid-scale模型对涡旋脱落流动的预测准确性有很大影响。

结论

通过实验和数值模拟验证，可以评估湍流模型的预测准确性。验证结果表明，不同模型在不同流动条件下表现不同。对于简单流动，大多数湍流模型可以提供令人满意的预测精度。对于复杂流动，模型选择和参数校准非常重要，以确保准确的预测。关键词关键要点【湍流的特征】

关键要点：

-湍流是一种流体运动状态，具有无规则、非线性和不稳定的特征。

-湍流的特点包括速度波动大、能量耗散快、涡流尺度范围宽广。

-湍流的产生通常需要满足一定的临界条件，例如流速、温度梯度或外力扰动。

【湍流的尺度范围】

关键要点：

-湍流中存在着不同尺度的涡流，从微小的科尔莫戈洛夫尺度到宏观的积分尺度。

-不同尺度的涡流具有不同的能量分布和动力学行为。

-湍流的能量级联过程通过大涡流向小涡流传递能量，从而导致湍动能的耗散。关键词关键要点湍动能耗散率的定义

主题名称：湍动能耗散率

关键要点：

1.湍动能耗散率（ε）是湍流中单位质量单位时间耗散的湍动能。

2.ε代表湍流运动中机械能转化为热能的过程，是湍流衰减的主要机制。

3.ε可以通过雷诺应力张量与速度梯度的内积来计算，反映了湍流剪切作用的强度和能耗率。

主题名称：雷诺应力张量

关键要点：

1.雷诺应力张量（τij）是湍流中由于速度脉动引起的额外应力，反映了湍流的黏性特性和动量传递行为。

2.τij由平均速度梯度和速度脉动相关量之积得到，表征了湍流运动中剪切应力、法向应力和体积应力的贡献。

3.雷诺应力张量是湍流动力学研究的重要工具，有助于理解湍流的输运和扩散特性。

主题名称：速度梯度

关键要点：

1.速度梯度（∂ui/∂xj）表示流体中速度的变化率，反映了流场的剪切强度和流动方向的变化。

2.速度梯度的量值决定了湍流的产生、维持和衰减，是湍动能耗散率计算的关键因素。

3.速度梯度可以通过速度场的求导得到，其大小和方向反映了湍流流动的空间格局和演化特征。

主题名称：湍流剪切作用

关键要点：

1.湍流剪切作用是指湍流运动中不同速度流体层之间的相互作用，导致能量和动量交换。

2.剪切作用强弱由速度梯度的大小决定，是湍动能耗散的主要形式，促进了湍流能量的传递和耗散。

3.剪切作用是湍流的重要物理机制，影响湍流结构、输运性质和边界层流动特性。

主题名称：机械能转化为热能

关键要点：

1.机械能转化为热能是湍流运动的重要特性，反映了湍流能量的耗散和传递过程。

2.湍流运动中，由于剪切作用、粘性阻力等因素，机械能逐渐转化为热能，导致湍流能量的损耗和流体温度的升高。

3.机械能转化为热能的速率由湍动能耗散率决定，是湍流衰减和能量传递的衡量指标。

主题名称：湍流衰减

关键要点：

1.湍流衰减是指湍流运动随着时间或空间演化而逐渐减弱的过程，导致湍流能量的耗散和流动稳定性增强。

2.湍流衰减的主要机制是湍动能耗散，通过粘性耗散和剪切作用将湍流能量转化为热能，从而抑制湍流运动的持续性。

3.湍流衰减速率由湍动能耗散率决定，反映了湍流系统平稳状态和能量传递平衡的建立过程。关键词关键要点主题名称：Kolmogorov谱定律

关键要点：

1.Kolmogorov谱定律描述了湍流能量在不同尺度上的分布规律，即湍流能量分布在各个尺度范围内的能量谱密度呈幂律分布。

2.该定律将湍流分为惯性区和耗散区。惯性区内能量可以通过涡旋的非线性相互作用从大尺度向小尺