新教材适用2024-2025学年高中数学第2章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1.1平均变化率1.2瞬时变化率素养作业北师大版选择性必修第二册

其次章§11.11.2A组·基础自测一、选择题1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率为(D)A．x0＋Δx B．1＋ΔxC．2＋Δx D．2[解析]由题意，可得平均改变率eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(2x0＋Δx－2x0,Δx)＝2，故选D.2．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均改变率为3，则实数m的值为(B)A．3 B．2C．1 D．4[解析]由已知得：eq\f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2.3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋eq\f(3,t)(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(B)A.eq\f(123,16)米/秒 B．eq\f(125,16)米/秒C．8米/秒 D．eq\f(67,4)米/秒[解析]因为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4＋Δt2＋\f(3,4＋Δt)－16－\f(3,4),Δt)＝eq\f(Δt2＋8Δt＋\f(－3Δt,44＋Δt),Δt)＝Δt＋8－eq\f(3,16＋4Δt).所以当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于eq\f(125,16).4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，则三者的大小关系为(B)A.eq\x\to(v1)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3) B．eq\x\to(v3)>eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)C.eq\x\to(v2)>eq\x\to(v1)>eq\x\to(v3) D．eq\x\to(v2)>eq\x\to(v3)>eq\x\to(v1)[解析]eq\x\to(v1)＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq\x\to(v2)＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v3)＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由图象知kOA<kAB<kBC，选B.5．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(ABD)A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70[解析]A项该物体在1≤t≤3时的平均速度是eq\f(s3－s1,3－1)＝eq\f(71－15,2)＝28，A正确；B项，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s4＋Δt－s4,Δt)＝56＋7Δt，当Δt趋向于0时，eq\f(Δs,Δt)趋向于56，故B正确；C项，当t＝5时，s(t)有最大值，s(t)max＝s(5)＝183，C错误；D项，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(75＋Δt2＋8－7×52－8,Δt)＝7Δt＋70，当Δt趋向于0时，eq\f(Δs,Δt)趋向于70，D正确．二、填空题6．由瞬时改变率的探讨方法可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的瞬时改变率为_0__.[解析]eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－21＋Δx＋1,Δx)＝Δx，当Δx趋近于0时，瞬时改变率趋近于0.7．设f(x)＝2ax＋4，若f(x)在(1，f(1))处的瞬时改变率为2，则a＝_1__.[解析]eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(2a1＋Δx＋4－2a－4,Δx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.8．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均改变率最大的一个区间是_[x3，x4]__.[解析]由平均改变率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均改变率分别为：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，结合图象可以发觉函数y＝f(x)的平均改变率最大的一个区间是[x3，x4]．三、解答题9．已知函数f(x)＝3x2＋2，求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均改变率的值．[解析]因为f(x)＝3x2＋2，所以f(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3xeq\o\al(2,0)＋6x0Δx＋3(Δx)2＋2，则f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0Δx＋3(Δx)2，故f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx，则当x0＝2，Δx＝0.1时，平均改变率为6×2＋3×0.1＝12.3.10．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋eq\f(x,10)＋eq\f(x2,100)，总成本的单位是元．(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均改变率是多少？它代表什么实际意义？(2)求x＝200时的瞬时改变率，并说明它代表什么实际意义．[解析](1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝120＋eq\f(200,10)＋eq\f(2002,100)＝540(元)变到c(220)＝120＋eq\f(220,10)＋eq\f(2202,100)＝626(元)．此时总成本c关于产量x的平均改变率为eq\f(c220－c200,220－200)＝eq\f(86,20)＝4.3(元/件)．它表示产量x从200件变到220件时平均多生产一件产品时，总成本平均增加4.3元．(2)在x＝200处的平均改变率为eq\f(Δc,Δx)＝eq\f(120＋\f(1,10)200＋Δx＋\f(1,100)200＋Δx2－120－\f(1,10)×200－\f(1,100)×2002,Δx)＝4.1＋eq\f(Δx,100)，当Δx趋于0时，eq\f(Δc,Δx)趋于4.1元/件．即x＝200时的瞬时改变率为4.1元/件，它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，成本需增加4.1元．B组·实力提升一、选择题1．一物体的运动方程是s＝eq\f(1,2)at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是(A)A．at0 B．－at0C．eq\f(1,2)at0 D．2at0[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝eq\f(1,2)aΔt＋at0，当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于at0.故选A.2．一质点按运动方程s(t)＝eq\f(1,t)做直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(B)A．－1 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．2[解析]eq\x\to(v)＝eq\f(s2－s1,2－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2).3．(多选)函数f(x)＝x3－1在x1＝1和x2＝m之间的平均改变率为7，则m的值为(AB)A．2 B．－3C．4 D．5[解析]依据题意，函数f(x)＝x3－1在x1＝1和x2＝m之间的平均改变率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(m3－1－13－1,m－1)＝m2＋m＋1，则有m2＋m＋1＝7，即m2＋m－6＝0，解得m＝－3或2.二、填空题4．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是_15__；在t＝2.5时的瞬时速度是_15__.[解析]在2≤t≤3这段时间内，Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(15,3－2)＝15.∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(32.5＋Δt2＋1－3×2.52－1,Δt)＝15＋3Δt，∴当Δt趋于0时，eq\f(Δs,Δt)趋于15.5．若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5(t>0)，则在t＝_4__时的瞬时速度为0.[解析]设t＝t0时，瞬时速度为0，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([t0＋Δt3－6t0＋Δt2＋5]－t\o\al(3,0)－6t\o\al(2,0)＋5,Δt)＝eq\f(Δt3＋3t0－6Δt2＋3t\o\al(2,0)－12t0Δt,Δt)＝(Δt)2＋(3t0－6)Δt＋3teq\o\al(2,0)－12t0.当Δt趋近于0时，3teq\o\al(2,0)－12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0>0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0.三、解答题6．若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[解析](1)∵物体在t∈[3,5]内的时间改变量为Δt＝5－3＝2，位移改变量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵物体在t＝0旁边位移的平均改变率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于－18，∴物体在t＝0处位移的瞬时改变率为－18，即物体的初速度v0＝－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时改变率．∵物体在t＝1旁边位移的平均改变率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－32,Δt)＝3Δt－12，当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)趋近于－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.C组·创新拓展在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均改变率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.时间t/min0102030405060降雨量y/mm061418202324则下列四个时段降雨强度最小的是(D)A．0min到10min B．10min到30minC．30min到50min D．50min到60min[解析]0min到10min的降雨强度为