2025版新教材高中数学本册素养测评卷新人教A版必修第二册

本册素养测评卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，设复数z满意(3＋4i)z＝5，则复数z所对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是()A．投掷一枚硬币1000次，肯定有500次“正面朝上”B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定C．为了解我国中学生的视力状况，应实行全面调查的方式D．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是53．袋子中装有大小相同2个红球，4个蓝球，搅拌匀称后从中随机摸出3个球，现在用数字0，1表示红球，数字2，3，4，5表示蓝球，通过计算器随机模拟10次该试验，得到如下数据：024234213012034125035345134304三个数为一组，代表摸到三个球的结果，以此估计，摸到三个球都是蓝球的概率为()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.54．已知某圆锥的侧面积为eq\r(5)π，该圆锥侧面的绽开图是圆心角为eq\f(2\r(5)π,5)的扇形，则该圆锥的体积为()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．2πD．eq\f(8π,3)5．已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，则最大的边c的取值范围是()A．c>5B．5<c<7C．5≤c<7D．eq\r(5)<c≤eq\r(7)6．设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是()A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，n∥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α7．将一枚质地匀称的骰子连续投掷两次，设M＝“第一次出现奇数点”，N＝“其次次出现偶数点”，则M与N()A．互斥但不对立B．相互对立C．相互独立D．独立且互斥8．在△ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，点D是线段AF(不含端点)内的随意一点，eq\o(AD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AE,\s\up6(→))，则()A．m∈(0，1)B．n∈(0，2)C．n＝2mD．m＋n＝1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是()A．某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体能健康测试，则应抽取男生6人B．某人将一枚质地匀称的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为2D．某学员射击10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则命中环数的标准差为210．在△ABC中，下列说法正确的是()A．与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量为±eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),｜\o(AB,\s\up6(→))｜)B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，则△ABC为钝角三角形D．若△ABC是等边三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列选项中说法正确的是()A．A1C1⊥BDB．B1C与BD所成的角为60°C．二面角A1­BC­D的平面角为45°D．AC1与平面ABCD所成的角为45°12．设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b－a＝2acosC，则下列结论正确的是()A．A＝eq\f(C,2)B．A的取值范围为(0，eq\f(π,4))C．sinC的取值范围为(0，1)D．eq\f(c,a)的取值范围为(eq\r(2)，eq\r(3))三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z＝(m2－4)＋(m2－m－2)i(m∈R)为纯虚数，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝________．14．甲、乙、丙三名运动员的投篮命中率分别为0.8、0.6和0.5，现甲、乙、丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率为________．15．《易经》是阐述天地世间关于万象改变的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为________．16．如图，四棱台ABCD­A1B1C1D1上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且eq\f(A1B1,AB)＝eq\f(1,2).设E、F、G分别是棱AB、BC、C1D1的中点，过E、F、G的平面与AA1交于点H，则eq\f(AH,AA1)值为________；若四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知向量a＝(1，－2).(1)若向量b＝(m，3)，且a⊥b，求与b同方向的单位向量；(2)若向量b满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝1，且(a－2b)·(2a＋b)＝3，求a与b夹角的余弦值．18．(本小题12分)在某中学实行的电脑学问竞赛中，随机抽取若干个学生成果(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，其次小组的频数是8.(1)求其次小组的频率，并补全这个频率分布直方图，求抽取了多少个学生成果？(2)在第三和第五小组的学生成果中随机抽取2个，求第五小组恰好没有被抽中的概率．19．(本小题12分)在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC⊥平面VAB，VA⊥VB，设平面VAB与平面VCD的公共直线为l.(1)写出图中与l平行的直线，并证明；(2)求证：平面VAD⊥平面VBC.20．(本小题12分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知________．在①2cos2C－8cos(A＋B)＋5＝0，②sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为eq\r(3)，且c＝eq\r(14)，求△ABC的周长．21．(本小题12分)甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮竞赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q.且在M，N两点处投中与否互不影响．设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次竞赛中甲得2分的概率为eq\f(1,2)，乙得5分的概率为eq\f(1,6).(1)求p，q的值；(2)求“星队”在一次竞赛中的总得分为5分的概率．22．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3.(1)设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，推断l与AC的位置关系，并证明；(2)求证：A1C⊥BC1；(3)若A1C与平面BCC1B1所成的角为30°，求三棱锥A1­ABC内切球的表面积S.本册素养测评卷1．答案：D解析：设复数z的代数形式为z＝a＋bi，∵(3＋4i)z＝5，∴(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i＝5，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝5,4a＋3b＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5),b＝－\f(4,5)))，∴z＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i，∴复数z所对应的点为(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，在第四象限．故选D.2．答案：B解析：对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事务，所以不肯定有500次“正面朝上”，故A错误；对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；对于C，为了解我国中学生的视力状况，应实行抽样调查的方式，故C错误；对于D，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故D错误．故选B.3．答案：A解析：摸到三个球都是蓝球的有234，345，估计摸到三个球都是蓝球的概率为eq\f(2,10)＝0.2.故选A.4．答案：A解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，由eq\f(1,2)×eq\f(2\r(5)π,5)l2＝eq\r(5)π，得l＝eq\r(5).因为2πr＝eq\f(2\r(5)π,5)×eq\r(5)，所以r＝1，所以该圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×eq\r(5－1)＝eq\f(2π,3).故选A.5．答案：B解析：由题意，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，故c2>a2＋b2＝9＋16＝25，故c>5，又三角形两边之和大于第三边，故c<3＋4，故5<c<7.故选B.6．答案：C解析：对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；对于B，若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β或α，β相交，故B错误；对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，当n⊄β时，n不肯定垂直于α，故D错误．故选C.7．答案：C解析：掷一枚质地匀称的骰子两次，出现的可能的状况共有36种，事务M包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)共18种，事务N包含(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18种，事务MN包含(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9种，所以依据互斥事务与对立事务的定义，均不满意，由于P(M)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)，所以P(MN)＝P(M)P(N)，所以M与N的关系为相互独立．故选C.8．答案：C解析：因为点D是线段AF(不含端点)内的随意一点，所以可设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))(0<λ<1)，因为E，F分别为AC，BC的中点，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AE,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AE,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(λ,2)∈(0，eq\f(1,2))，n＝λ∈(0，1)，n＝2m，m＋n＝eq\f(3,2)λ，所以A，B，D错误，C正确．故选C.9．答案：AD解析：对于A，男生应抽取10×eq\f(30,30＋20)＝6人，故A正确；对于B，某人将一枚质地匀称的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，但是无论掷硬币多少次，再一次掷硬币，硬币正面朝上的概率均0.5，故B错误；对于C，这组数据从小到大排列依次为1、2、2、2、3、3、3、4、5、6，因为10×80%＝8，所以80%分位数为eq\f(4＋5,2)＝4.5，故C错误；对于D，命中环数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，命中环数的方差为s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以命中环数的标准差为s＝2，故D正确．故选AD.10．答案：AC解析：对于A，与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的单位向量为±eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),｜\o(AB,\s\up6(→))｜)，故A正确；对于B，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，故B错误；对于C，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))))cosA<0，所以cosA<0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；对于D，若△ABC是等边三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为120°，故D错误．故选AC.11．答案：ABC解析：对于A，连接AC，由题意，则AC⊥BD.∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，连接A1D，∵B1C∥A1D，∴∠A1DB即为B1C与BD所成的角，∵△A1DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1,A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B.∵AB⊥BC，∴∠ABA1是二面角A1­BC­D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误.故选ABC.12．答案：AD解析：因为b－a＝2acosC，所以sinB－sinA＝2sinAcosC，则sin(A＋C)－sinA＝2sinAcosC，即sinAcosC＋cosAsinC－sinA＝2sinAcosC，则cosAsinC－sinAcosC＝sin(C－A)＝sinA，因为A，B，C∈(0，eq\f(π,2))，所以C－A∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，所以C－A＝A，所以C＝2A，即A＝eq\f(C,2)，故A正确；由锐角△ABC得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2),0<C＝2A<\f(π,2),0<B＝π－3A<\f(π,2)))，解得eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，即A的取值范围为(eq\f(π,6)，eq\f(π,4))，故B错误；则C＝2A∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，所以sinC∈(eq\f(\r(3),2)，1)，故C错误；eq\f(c,a)＝eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(sin2A,sinA)＝2cosA∈(eq\r(2)，eq\r(3))，故D正确．故选AD.13．答案：4解析：因为复数z为纯虚数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－4＝0，,m2－m－2≠0，))解得m＝－2.所以z＝4i，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝4.14．答案：0.7解析：记“至少有两人命中”为事务A，则P(A)＝0.2×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.8×0.6×0.5＋0.8×0.6×0.5＝0.7.15．答案：－1解析：设M为AB的中点，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→)))·(eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝(eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→)))·(eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(MA,\s\up6(→)))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(MA,\s\up6(→))2＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－1≥－1.当且仅当点P为线段AB的中点时，等号成立，故eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值为－1.16．答案：eq\f(2,3)eq\f(49π,2)解析：如图连接FE，并延长交DA延长线于M，设A1D1的中点为P，连接GP，AC，则PG∥A1C1，而由题意可知A1C1∥AC，又EF∥AC，故PG∥EF，故P∈平面EFG，而M∈平面EFG，故连接PM，交AA1于H，H点即为过E、F、G的平面与AA1的交点，设Q为AD中点，连接FQ，则FQ∥AB，FQ＝AB，因为E为AB中点，故AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)FQ，故AM＝AQ＝eq\f(1,2)AD，因为A1P∥AD，∴A1P∥AM，则eq\f(A1H,AH)＝eq\f(A1P,AM)＝eq\f(\f(1,2)A1D1,\f(1,2)AD)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AH,AA1)＝eq\f(2,3)；设四棱台上底面棱长为a，则下底面棱长为2a，由四棱台ABCD­A1B1C1D1的高为2，体积为14，可得eq\f(1,3)(a2＋eq\r(a2·4a2)＋4a2)×2＝14，解得a＝eq\r(3)，对于四棱台，A1C1＝eq\r(6)，AC＝2eq\r(6)，∴CC1＝eq\r(（\f(\r(6),2)）2＋4)＝eq\r(\f(11,2))，则AC1＝eq\r(（2\r(6)－\f(\r(6),2)）2＋4)＝eq\r(\f(35,2))，故得ACeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋CCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－AC2＝eq\f(35,2)＋eq\f(11,2)－24<0，即∠AC1C>90°，由棱台的性质可知外接球球心位于对角面AA1C1C所在平面上，故由此可知外接球球心在棱台的外部，即底面ABCD的外部，设球心到平面ABCD的距离为h1，则到平面A1B1C1D1的距离为h1＋2，设外接球半径为R，则R2＝6＋heq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，R2＝(eq\f(\r(6),2))2＋(h1＋2)2，解得R2＝eq\f(385,64)，故外接球的表面积为4πR2＝eq\f(385π,16).17．解析：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，则m－2×3＝0，解得m＝6.所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5)，故与b同方向的单位向量为eq\f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝(eq\f(2\r(5),5)，eq\f(\r(5),5)).(2)由题意，得2a2－3a·b－2b2＝2×5－3a·b－2＝3，即3a·b＝5，所以cos〈a，b〉＝eq\f(5,3·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(\r(5),3).18．解析：(1)由频率之和为1可知：其次组的频率为1－0.30－0.15－0.10－0.05＝0.40.又因为其次小组的频数为8，所以共抽取的学生成果数为eq\f(8,0.4)＝20.频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知：第三、第五小组抽取的成果数分别为20×0.15＝3个，20×0.05＝1个，分别设为a，b，c，d，设第五小组的恰好没有被抽中为事务A，则从中抽取2个的基本领件如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共6种，其中第五小组的恰好没有被抽中的状况有(a，b)，(a，c)，(b，c)共3种．则P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).19．解析：(1)图中与l平行的直线为AB和CD，因为底面ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，因为CD⊄平面VAB，AB⊂平面VAB，所以CD∥平面VAB，因为平面VAB与平面VCD的交线l，CD⊂平面VCD，所以CD∥l，即l∥CD，进一步由平行线的传递性得，l∥AB.(2)证明：因为BC⊥平面VAB，VA⊂平面VAB，所以BC⊥VA，因为VA⊥VB，VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC，因为VA⊂平面VAD，所以平面VAD⊥平面VBC.20．解析：(1)：选择①，因为2cos2C－8cos(A＋B)＋5＝0，即2(2cos2C－1)－8cos(π－C)＋5＝0，即4cos2C＋8cosC＋3＝0，即(2cosC＋1)(2cosC＋3)＝0，∵0<C<π，则－1<cosC<1，得cosC＝－eq\f(1,2)，即C＝eq\f(2π,3)；选择②，由sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝sin2C及正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2，即a2＋b2－c2＝－ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，因为0<C<π，即C＝eq\f(2π,3).(2)由△ABC的面积eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab＝eq\r(3)，得ab＝4.由c2＝a2＋b2－2abcosc，得14＝a2＋b2＋ab，得(a＋b)2＝18，即a＋b＝3eq\r(2)，故△ABC的周长为3eq\r(2)＋eq\r(14).21．解析：(1)设A0，A2，A3，A5分别表示在一次竞赛中甲得分的事务，B0，B2，B3，B5分别表示在一次竞赛中乙得分的事务．因为在一次竞赛中甲得2分的概率为eq\f(1,2)，乙得5分的概率为eq\f(1,6)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A2）＝p（1－q）＝\f(1,2),P（B5）＝pq＝\f(1,6))).解得p＝eq\f(2,3)，q＝eq\f(1,4).(2)由已知得P(A0)＝P(B0)＝(1－eq\f(2,3))×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,4)，P(A2)＝P(B2)＝eq\f(1,2)，P(A3)＝P(B3)＝(1－eq\f(2,