2023-2024学年广东省中山市高一下学期期末统一考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省中山市高一下学期期末统一考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin63A.32 B.12 C.−2.已知a、b为不共线的向量，且AB=a+5b，BC=−2aA.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线

C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A.若m//α，m//β，则α//β B.若m⊥α,m⊥n，则n//α

C.若m⊥α，m//n，则n⊥α D.若α⊥β,m⊥α，则m//β4.某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为(

)

A.150.5 B.152.5 C.154.5 D.156.55.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率p.先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：

169 966 151 525 271 937 592 408 569 683

471 257 333 027 554 488 730 863 537 039

据此估计p的值为(

)A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.756.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知AB=a，AD=b，AF=2FE，则A.34a+12b B.12257.已知cosθ=14，则cosA.−1116 B.1116 C.−8.设长方体ABCD−A1B1C1D1的对角线AC1与顶点A出发的三条棱所成的角分别为α、β、γ，与顶点A出发的三个面所成的角分别为α′A.sin2α+sin2β+sin2γ=1二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=−12+A.z+z=1 B.z−z=1 C.10.下列化简正确的是(

)A.sin15∘sin30∘sin711.如图，已知二面角α−l−β的棱l上有A，B两点，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，且AC=AB=BD=1，则下列说法正确的是(

)．

A.当α⊥β时，直线CD与平面β所成角的正弦值为33

B.当二面角α−l−β的大小为60∘时，直线AB与CD所成角为45∘

C.若CD=2，则二面角C−BD−A的余弦值为217

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.把函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2⩽φ⩽π2)的图象上所有的点向右平移π13.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且a=x，b=2，B=45∘，符合条件的三角形有两个，则实数x的取值范围是

14.记一组数据x1,x2,⋯,xn的平均数为1.6，方差为1.44四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知平面向量a，b满足|a|=1，|b(1)求|a(2)若向量b与λa+b的夹角为锐角，求实数16.(本小题12分)第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分(包括2分)，即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为2(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得1117.(本小题12分)已知函数f(x)=2(1)解不等式f(x)≥1；(2)若mf(x)≤g(x)对任意的x∈[0,π4]恒成立，求18.(本小题12分)如图，AB为半球M的直径，C为AB⌢上一点，P为半球面上一点，且AC⊥PC(1)证明：PB⊥PC；(2)若AC=AM=2，PB=6，求直线PC与平面PAB19.(本小题12分)在▵ABC中，B=π3，点D在边AB上，BD=2,(1)若▵BCD的面积为23，求边(2)若AC=23，求∠DCA．参考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.C

7.A

8.D

9.AD

10.ABD

11.ABD

12.π613.2,214.4

15.解：(1)∵(a+2b)⋅(2a−b)=2a2−a⋅b+4a⋅b−2b2

=3a⋅b−6=−3，

∴a⋅b=1，

则(a−b)16.解：(1)设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件A，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以PA(2)设“该局比赛甲得11分获胜”为事件B，甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲11:8获胜；甲得3分，乙得1分，则甲11:9获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以PB17.解：(1)依题意，f(x)=2=sinx+cosx=则2kπ+π4≤x+所以不等式f(x)≥1的解集为[2kπ,2kπ+π(2)由mf(x)≤g(x)，得m(sin由x∈[0,π4]，得π令t=sinx+cos原不等式化为mt≤t2−1，即m≤t2则当t=1时，ymin=0，因此所以m的

取值范围m≤0．18.解：(1)证明：因为AB为半球M的直径，C为AB⌢所以AC⊥BC，又因为AC⊥PC，BC∩PC=C，BC,PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AC⊥PB，又因为P为半球面上一点，所以PA⊥PB，PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以PB⊥PC；(2)因为三角形ABC为直角三角形，AB=2AM=4,AC=2，所以BC=2又因为PB=6，PB⊥平面所以PC=又因为三角形PAB也是直角三角形，所以PA=所以S▵PACS▵PAB设点C到平面PAB的距离为ℎ，则有VC−PAB即13所以ℎ=S设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=19.解：(1)在▵BCD中，由题意有S▵BCD且注意到BD=2，∠DBC=π所以有12×2×BC×如图所示：在▵BCD中，由余弦定理有CD代入数据得CD所以CD=2(2)由题意DA=DC，所以设∠DCA=θ,θ∈0,则∠DAC=θ,∠BDC=2θ,∠B