山东省日照市名校2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

山东省日照市名校2025届九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B． C． D．2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围（）A． B． C．且 D．且3．如图，的顶点均在上，若，则的度数为（）A． B． C． D．4．在中，，，则的值是（）A． B． C． D．5．下列说法中，正确的个数（）①位似图形都相似:②两个等边三角形一定是位似图形；③两个相似多边形的面积比为5:1．则周长的比为5:1；④两个大小不相等的圆一定是位似图形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．用配方法解方程x2+4x+1=0时，方程可变形为（）A． B． C． D．7．如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为()A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米8．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为()A．2 B．3 C．4 D．59．在中，，，，那么的值等于（）A． B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′∥AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（）A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.6二、填空题(每小题3分,共24分)11．当x_____时，|x﹣2|＝2﹣x．12．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝_____．13．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．15．分解因式____________．16．一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________．17．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=1．将扇形OAB沿过点B的直线折叠．点O恰好落在延长线上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积_____．18．在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是______（填序号）．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求四边形的面积．20．（6分）甲、乙、丙、丁共四支篮球队要进行单循环积分赛（每两个队间均要比赛一场），每天比赛一场，经抽签确定比赛场次顺序．（1）甲抽到第一场出场比赛的概率为；（2）用列表法或树状图计算甲、乙两队抽得第一场进行比赛的概率．21．（6分）如图，中，弦与相交于点，，连接．求证:．22．（8分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）（1）解方程：.（2）如图，四点都在上，为直径，四边形是平行四边形，求的度数.24．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠P=，AD=6，求线段AE的长．25．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.（1）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少？26．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC=,∴PA=tan60°×1=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.2、D【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可．【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，

∴且，

解得：1且，

故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．3、D【分析】根据同弧所对圆心角等于圆周角的两倍，可得到∠BOC=2∠BAC，再结合已知即可得到此题的答案.【详解】∵∠BAC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，∴∠BOC=2∠BAC.∵∠BAC=35°，∴∠BOC=70°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键.4、C【分析】作出图形，设BC=2k，AB=5k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解．【详解】解：如图，∴设BC=2k，AB=5k，∴由勾股定理得∴故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．5、B【分析】根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）分别对①②④进行判断，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比对③进行判断．【详解】解：①位似图形都相似，故该选项正确；②两个等边三角形不一定是位似图形，故该选项错误；③两个相似多边形的面积比为5:1．则周长的比为，故该选项错误；④两个大小不相等的圆一定是位似图形，故该选项正确．正确的是①和④，有两个，故选：B【点睛】本题考查的是位似图形、相似多边形性质，掌握位似图形的定义、相似多边形的性质定理是解决此题的关键．6、C【解析】根据配方法的定义即可得到答案.【详解】将原式变形可得：x2＋4x＋4－3＝0,即（x＋2）2＝3，故答案选C.【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解本题的要点在于将左边配成完全平方式，右边化为常数.7、D【解析】过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA2-π•OC2=π（OA2-OC2）=π•AC2，即可圆环的面积．【详解】过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，∴AC=BC，而AB=20，∴AC=10，∵AB与小圆相切，∴OC为小圆的半径，∴圆环的面积=π•OA2-π•OC2=π（OA2-OC2）=π•AC2=100π（平方米）．故选D．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．8、B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴AE=（舍负），∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．9、A【解析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得.【详解】解：如图，.故选：A.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.10、D【解析】如图，过点D作DF⊥AB，可证四边形EFDC'是矩形，可得C'E＝DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得，可求DF＝2.4＝C'E，即可求解．【详解】如图，过点D作DF⊥AB，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，∴AC＝A'C'＝6，∠C＝∠C'＝90°，CD＝BD＝4，∵AB∥C'B'∴∠A'EB＝∠A'C'B'＝90°，且DF⊥AB，∴四边形EFDC'是矩形，∴C'E＝DF，∵∠B＝∠B，∠DFB＝∠ACB＝90°，∴△BDF∽△BAC∴，∴∴DF＝2.4＝C'E，∴A'E＝A'C'﹣C'E＝6﹣2.4＝3.6，故选：D．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.二、填空题(每小题3分,共24分)11、≤2【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.故答案为：≤2.【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.12、60°．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．13、【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，即，，．所以两盏警示灯之间的水平距离为：14、-1.【解析】分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．

详解：把x=0代入方程得：

|a|-1=0，

∴a=±1，

∵a-1≠0，

∴a=-1．

故选A．

点睛：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．15、【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．【详解】故答案为：．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．16、【分析】移项，配方，即可得出选项．【详解】x2﹣x﹣=0x2﹣x=x2﹣x+=+故填：.【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．17、9π﹣12．【详解】解：连接OD交BC于点E，∠AOB=90°，∴扇形的面积==9π，由翻折的性质可知：OE=DE=3，在Rt△OBE中，根据特殊锐角三角函数值可知∠OBC=30°，在Rt△COB中，CO=2，∴△COB的面积=1，∴阴影部分的面积为=9π﹣12．故答案为9π﹣12．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）及扇形面积的计算，掌握图形之间的面积关系是本题的解题关键．18、①【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此【详解】解：圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，

圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，所以三视图中有三角形的是①.故答案为①【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．三、解答题(共66分)19、(1)见详解；（2）四边形ABCF的面积S=6.【分析】（1）根据平行四边形的判定推出即可．（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案．【详解】证明：（1）∵点E是BD的中点，在中，∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABDF是平行四边形；（2）过C作于H，过D作于Q，∵四边形ABCD和四边形ABDF都是平行四边形，，∴四边形ABCF的面积S=【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.20、(1)；(2)【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得．【详解】解答】解：（1）甲抽到第一场出场比赛的概率为，故答案为：；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两队的有2种情况，∴甲、乙两队抽得第一场进行比赛的概率为．【点睛】本题考查了用列表法或树状图计算概率的方法，概率=所求情况数与总情况数之比21、见解析【分析】由AB=CD知，得到，再由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．【详解】解：，，即，；，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA），.【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．22、（1）；（-2，）；（1,0）；（2）N点的坐标为（0，），（0，）；（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可【详解】（1）∵，a=，则抛物线的“衍生直线”的解析式为；联立两解析式求交点，解得或，∴A（-2，），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在中，令y=0可求得x=-3或x=1，∴C（-3,0），且A（-2，），∴AC=由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，∵OD=，∴ON=或ON=，∴N点的坐标为（0，），（0，）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，∴当F点的横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH-OF=-=，即E的纵坐标为-，∴E（-1，-）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（-3,0），且A（-2，），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=，∴x=-4，y=-t，-t=-×（-4）+，解得t=，∴E（-1，），F（-4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题23、（1）；（2）【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；（2）根据圆内接四边形求角度，再根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆周角的一半解答即可.【详解】（1）解：，，即，即，解得.（2）解：∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，即是等边三角形，∴，∴.【点睛】本题主要考察了解一元二次方程以及圆的相关性质，熟练掌握圆周角定理和圆的内接四边形的性质是解题的关键.24、（1）PC是⊙O的切线；（2）【解析】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．（2）由OC∥AD，推出，即，解得r=，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴，即，解得r=．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=×=．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25、（1）每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利=每件的利润×数量建立方程求出其解即可；

（2）根据盈利=每件的利润×数量表示出y与x的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．【详解】解：（1）设每件衬衫降价元根据题意，得整理，得解得答：每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）设商场每天的盈利为元.根据题意，得∵∴当时，有最大值，最大值为1250.答:每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键．26、（2）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为2；（3）点Q坐标为：(﹣2，2)或(﹣2+，2﹣)或(﹣2﹣，2+)或(2，﹣2)．【分析】（2）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）如图2，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程