甘肃省2024届高三下学期4月月考数学试卷（解析版）

2024年甘肃省高三月考试卷（4月）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合中的最大负角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以集合中的最大负角为.2.复数分别对应复平面内的点，若将按逆时针方向旋转得对应复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，所以，所以.3.已知直角斜边的中点为O，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为点是直角斜边的中点，且，所以，则为等边三角形，，又因为是直角三角形，所以，所以，向量在向量上的投影向量为：.4.北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生里氏6.2级地震，震源深度10公里．面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关．震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级．能量E与里氏震级M的对应关系为，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（）A.100倍 B.512倍 C.1000倍 D.1012倍【答案】C【解析】由，设，则，即，.5.数列的前n项和为，设甲：;乙：为等差数列．则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于等差数列，显然有，这说明了甲是乙的必要条件；设等差数列：，共有项，，我们按如下方式重新排列等差数列中的数字：，此时该数列不是等差数列，但是它的前项和依然满足，综上所述，甲是乙的必要不充分条件.6.如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（）A.7个 B.9个 C.10个 D.14个【答案】D【解析】不妨设，则：的2划分有，，，，，，；的3划分有，，，，，；的4划分只有.综上，的划分共有个，D正确.7.计算（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】因为.8.已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以的图象关于成轴对称，注意到当时，由复合函数单调性可得在上为增函数，故在上为增函数，所以距离越远值越大，因为，距离最远的为，故最大，而，且，所以，综上所述，.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.甘肃省人民政府于2021年9月11日印发实施《甘肃省深化高等学校考试招生综合改革实施方案》，规定“从2021年秋季入学的普通高中一年级学生开始，实行基于统一高考和高中学业水平考试成绩、参考综合素质评价的高校考试招生模式”，即：统一高考科目为语文、数学、外语3门，使用全国统一试卷，不分文理科；选择性考试中首选科目为物理或历史；再选科目为思想政治、地理、化学、生物学（从4门中选择2门）．某市一高中学校为科学设定学校设置组合的种类，在高一年级进行了一次预选科，结果显示全年级选物理的学生占，选物理后再选政治的占，选历史后再选政治的占，则（）A.若记“选政治”为事件A，则B.若记“选政治”为事件A，“选物理”为事件B，则C.从全年级的学生中任选5人，记选政治的人数为随机变量X，则D.从全年级的学生中任选100人，记选政治的人数为随机变量X，则【答案】AD【解析】记“选政治”为事件A，“选物理”为事件B，则“选历史”为事件，由题意可知：，故B错误；对于A：由全概率公式可知：，故A正确；对于C：若从全年级的学生中任选5人，可知，所以，故C错误；对于D：若从全年级的学生中任选100人，可知，所以，故D正确.10.如图所示，长方体的表面积为6，，则（）A.该长方体不可能为正方体B.该长体体积的最大值为1C.若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥的体积为D.该长方体外接球表面积的最小值为【答案】BD【解析】设长方体的长、宽分别为，因为长方体的表面积为6，所以，，对于A，若，满足，所以该长方体可能为正方体，故A错误；对于B，，当且仅当时取等，所以，解得：，即，所以长方体体积的最大值为，故B正确；对于C，若长方体下底面的一条边长为2，设，则，解得：，此时长方体的体积为，因为三棱锥，，，三棱锥的体积，故C错误；对于D，长方体外接球的半径为，，所以，所以长方体外接球表面积为，因为，所以则，令，，所以，当时，，所以,故D正确.故选：BD.11.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线的焦点为F,一条光线从沿平行x轴的直线方向射出，与抛物线交于点P,经过点P反射后，与抛物线交于另一点Q,经过点Q反射后，沿直线进入光源接收器，则（）A.当点P,Q的横坐标之积为1时，抛物线的方程为B.当,且时，直线的方程为C.当直线间的最小距离为8时，该光线经过的路程为12D.点M为抛物线的准线上任意一点，设直线的斜率分别为，当时，有恒成立．【答案】ABD【解析】设直线:，，联立，，，，，，.对于A，当时，，解得，此时抛物线的方程为，A正确.对于B，①，因为在抛物线上，，所以，点也在直线上，所以，即，代入①可得，所以直线的方程为，即，B正确.对于C，由题意直线间的距离为，可知，当且仅当时，取到等号，因为直线间的最小距离为8，所以，解得.此时的方程为，光线经过的路程为，C不正确.对于D，设，则，因为，所以，此时，，，.，所以，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.某公司人力资源部为了解员工的工作积极性和对待公司改革态度的关系，调查了75名员工，得到以下列联表：支持改革情况工作态度合计积极欠积极支持402060不支持51015合计453075根据统计结果，认为“平时工作态度积极和支持公司改革有关”犯错误的概率不超过__________．附：,其中．0.100.050.0050.0012.7063.8417.87910.828【答案】【解析】设零假设：平时工作态度积极和支持公司改革无关，，故认为“平时工作态度积极和支持公司改革有关”犯错误的概率不超过.13.过圆外一点向圆O引两条切线和（其中A,B为切点），使得，则实数a,b满足的等量关系为__________，的取值范围为__________．【答案】①.②.【解析】如图，易知：，由，可得：，在中，，所以，所以点表示以原点为圆心，半径为圆，表示到直线距离的倍，而原点到直线距离为：，所以到直线距离的最大值为，最小值为，所以.14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P为的垂心，若已知，记线段的长度分别为x，y，z，则__________．【答案】【解析】由，知是锐角三角形.如图，记是的三条高，点分别在线段上，则是线段的交点.由于，故，这里是的外接圆半径，所以，同理，.故.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数的导函数为，且在上为减函数，求ω的取值范围．【解析】【小问1详解】因为，所以，故，且，从而，此时函数在点处的切线方程，即.【小问2详解】，，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，也就是在上恒成立，注意到，且当时，有，所以当且仅当满足题意，解得，也就是说ω的取值范围为.16.如图1，菱形的边长为,将其沿折叠形成如图2所示的三棱锥．（1）证明：三棱锥中，;（2）当点A在平面的投影为的重心时，求直线与平面所成角的正弦值．【解析】【小问1详解】记的中点为，由菱形的性质，有，，所以，.而和在平面内交于点，故垂直于平面.又因为在平面内，所以.【小问2详解】设的重心为点，则垂直于平面.这表明直线与平面所成角等于，故所求正弦值即为的值.由于，，故，.从而，故.所以直线与平面所成角的正弦值是.17.设数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，求；（3）证明：．【解析】【小问1详解】因为①，当时，②，所以①②得到，即，又，满足，所以.【小问2详解】因为，所以.【小问3详解】因为，所以，即.18.民间谚语“杨柳儿活，抽陀螺；杨柳儿背，放空竹；杨柳儿死，踢毽子”，体现随着季节变化，可以进行不同健身活动，其中踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史．据考证，踢毽子起源于中国汉代，盛行于六朝、隋、唐．某市高中学校为弘扬传统文化，增强学生身体素质，在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动．在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次数，从中抽取100名学生的成绩进行统计，如图所示，得到样本的频率分布直方图．将踢毽子每分钟次数样本数据第60百分位数（精确到1），记为“达标”的指标界值．（1）请根据样本数据，求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值；（2）“团体竞赛”规则为，每班选出由3名选手组成的代表队参赛，上场的甲、乙、丙3人，由甲将毽子等可能的踢给另外两人中的1人，接到毽子的人再等可能的踢向另外两人中的1人，如此不停的传下去，直到有选手没有接到毽子则比赛结束，记录此时的传踢个数作为团队成绩．记第次传踢之前毽子在甲的概率为，易知．求第6次传踢前，毽子传到甲的概率，并讨论第i次传踢前（且）毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大．【解析】【小问1详解】设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为，由于前四组的频率之和为，前五组的频率之和为，可得，依题意有：，即.【小问2详解】设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为，则有，，所以，即有，所以为等比数列，其中首项为，公比为，所以，即，故，为偶数时，，毽子在乙、丙的概率较大，为奇数时，，毽子在甲概率较大.19.曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．（1）求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；（2）若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；（3）在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对