机械控制理论基础 课件 第6、7章 控制系统的稳定性、控制系统的校正与设计

FundamentalsofMechanicalControlTheory机械控制理论

基础StabilityAnalysisofControlSystems控制系统的稳定性CHAPTER61本章主要内容(MainContents)稳定性概念与判稳准则

(DefinitionofStability)劳斯-胡尔维茨稳定性判据(Routh-HurwitzCriterion)乃奎斯特稳定性判据

(NyquistCriterion)系统的相对稳定性(RelativeStabilityofsystems)*根轨迹法(RootLocusMethod)本章总结21.稳定性的概念6.1稳定性概念与判稳准则系统在受到外界干扰作用时，其被控制量将偏离平衡位置，当这个干扰作用去除后，若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来的平衡状态或者趋于一个给定的新的平衡状态，则该系统是稳定的。反之，则系统是不稳定的。3（a）稳定（b）临界（c）不稳定4线性系统稳定与否，取决于系统内部条件，而与输入或扰动无关。（非线性系统的稳定性是与输入有关的）控制理论所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下（即输入为零，而初始状态不为零时）的稳定性。初始条件不为零时引起的初始输出不为零初始条件为零时，对系统施加瞬间干扰，即输入单位脉冲函数。注意：这里所讲的“外界扰动作用”可以分为两种情况：稳定性的例子：战斗机，麦克风，海湾大桥，单足与双足机器人，倒立摆，Segway等等52.判断稳定性的基本准则对于n阶定常线性系统，其微分方程为进行拉氏变换后整理得：其中为系统的传递函数再进行拉氏反变换后得到：6稳定性就是研究初始状态下的输出情况。上式右边的第一项即系统在初始状态下的输出。当特征方程的根各不相同时，系统的输出为

若系统的特征方程的根实部均为负值，即Re[si]<0，则零输入响应最终将衰减为零。这样系统就是稳定的。由此可见：系统传递函数的零点（即其输入项参数）对系统的稳定性无影响。

7若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数，单位脉冲响应的形式与零输入响应形式相同。综上所述，系统稳定的充要条件：系统的全部特征根都具有负实部。即系统闭环传递函数的全部极点均位于[s]平面的左半平面，则系统稳定。这是判断系统稳定性的基本准则。随着时间t趋于无穷，当单位脉冲响应趋于零时，则系统稳定。

8[s]平面的划分：（1）特征根在复平面的左半平面（包含原点），系统对于干扰的响应为衰减振荡；（2）特征根在虚轴上，系统对于干扰的响应为等幅振荡；（3）特征根在复平面的右半平面，系统对于干扰的响应为扩散振荡。思考：当系统有一个、两个特征根在原点时，系统的稳定性？96.2Routh（劳斯）稳定性判据1.系统稳定的必要条件如上一节所述，线性定常系统的稳定性分析，本质上就是确定其特征方程的根在复平面上的位置分布。它可以采用直接对特征方程求解的形式，但这并不是在任何情况下都容易做到的。Routh和Hurwitz判据就是采用间接方法确定特征方程根的，它们都是利用特征方程系数之间的代数关系来实现对特征根位置分布的判断，因而属于代数判据。下面重点讲述Routh判据。该判据由英国科学家E.J.Routh在1877年提出。1011要使全部特征根均具有负实部，必须满足两个条件，即必要条件：

1）特征方程的各项系数ai（a0除外）都不为零。因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，此时系统为临界稳定或不稳定。

2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。

122.系统稳定的充要条件（1）Routh数列13（2）Routh稳定性判据因此，系统稳定的充要条件是：特征方程的系数全为正，且Routh数列中第一列各元素的符号均为正。若Routh数表中第一列各元不全为正，则其符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根（即不稳定特征根）的个数。例如：

没有不稳定根（稳定）

有一个不稳定根（不稳定）

有两个不稳定根（不稳定）14例1：(1)(2)(3)

（4）一项为负，不稳定缺项，不稳定满足必要条件，可能稳定由于特征方程中有一系数为负，所以系统不稳定。Routh数列满足充要条件，稳定15对于三阶系统a3s3+a2s2+a1s+a0=0只要a1a2>a0a3

则系统稳定对于二阶系统a2s2+a1s+a0=0所有系数全为正，系统

稳定。16例2：Routh数列：第一列中有两次符号变化，系统有两个极点在【s】平面的右半平面，不稳定。

17在Routh数表中某一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地不为零，可以用一个很小的正数ε来代替第一列等于零的元，然后计算Routh数表的其余各元。Routh数表的某一行中的所有元素均为零时，系统不稳定。可利用该行上一行的元素构成一个辅助方程，其解即系统的不稳定特征根。3.应用Routh判据的两种特殊情况18特殊情况:（1）Routh数表第一列出现零元素例3系统不稳定。第一列元素两次变号，有两个不稳定根。19特殊情况

（2）Routh数表中某一行全为零例4辅助方程某一行全为零，说明存在对称于原点的根。系统不稳定例520Routh判据的应用：确定稳定的参数范围解：闭环特征方程为例5：已知单位反馈系统的开环传递函数为试确定系统闭环稳定的K的取值范围。21Routh数列：S3T1T21S2T1+T2KS10S0K0为闭环稳定的条件22例6：已知ξ=0.2，ωn=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。23解：系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程为由稳定的充要条件可知：0<K<34.6

24例7系统的特征方程

由系统稳定的充要条件可知：

25Hurwitz判据（1895年，德国数学家）系统稳定的充要条件：系统特征方程：①特征方程的系数全为正②Hurwitz行列式全为正，即该方法对六阶以上系统很少使用。266.3Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据由美籍瑞典人H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到了广泛的应用。它奠定了频率法控制理论的基础，属于几何判据。Routh判据：利用特征方程系数之间的代数关系判断系统的稳定性，是代数判据。可以判断系统稳定与否，给出不稳定的特征根的个数，但不能给出稳定或不稳定程度的判断；Nyquist判据：利用开环频率特性的Nyquist图来判断闭环系统的稳定性，是几何判据。不但能判断闭环系统稳定与否，给出不稳定的特征根的个数，而且能判断稳定或不稳定的程度，并从中找出改善系统性能的途径。与Routh判据的比较：27一、基本原理闭环系统稳定闭环特征方程的根全部位于[s]平面的左半平面。判断稳定性的基本准则：闭环特征方程为：28设系统的开环传递函数为：闭环特征函数为：系统的闭环传递函数29（1）A(s)的零点z1,z2…,zn，即为系统闭环传递函数GB(s)的极点，亦即系统特征方程的根；（2）A(s)的极点p1,p2…,pn，即为系统开环传递函数GK(s)的极点；

（3）A(s)的零点个数与其极点个数相同。则闭环特征函数可表示为：

301.闭环特征方程、闭环传递函数、闭环特征函数以及开环传递函数的关系为：

线性定常系统稳定的充要条件：其闭环特征方程1+G(s)H(s)=0的根全部具有负实部，即GB(s)在[s]平面的右半平面没有极点，亦即A(s)在[s]平面的右半平面没有零点。

312.幅角原理（Cauchy’sTheorem）

对于复变函数设其n个零点（即闭环特征方程的根）与n个极点（即开环传递函数的极点）均已知，它们在[s]平面上的分布如图6-5所示。图中用“○”表示零点，“×”表示极点。

图6-5[s]平面与A(s)平面的映射关系

32A(s)在[A(s)]平面上（除有限个奇异点外）为单值的连续正则函数。[s]平面上解析点s映射到[A(s)]平面上为点A(s)，或为从原点指向此映射点的向量A(s)。[s]平面上任意选定一封闭曲线，只要此曲线不经过A(s)的奇点，则在[A(s)]平面上必有一对应的映射曲线，也是一封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，向量A(s)将按逆时针方向旋转N周，即A(s)以原点为中心逆时针旋转N周，这就等于曲线逆时针包围原点N次。33假设包围于内的A(s)的零点数为z，包围于

内的A(s)的极点数为p，则当s沿顺时针方向移动一周时，每个被包围于的向量(s-zi)与（s-pj）的相位角变化-2π弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即向量A(s)的相位角变化为-2π（z-p)，或者说A(s)在[A(s)]平面上沿绕原点顺时针转了（z-p）周。

两边同除以，得

所以34即将扩展为一条包围整个[s]右半平面的封闭曲线，而[A(s)]

平面通过坐标平移后可转换为GH平面，如下图。即因此，为闭环特征方程在[s]右半平面的特征根的个数；为开环传递函数在[s]右半平面的极点的个数；为在GH平面上的开环频率特性逆时针包围（-1,j0）的圈数。353.Nyquist稳定性判据由于闭环系统稳定的充要条件是A(s)（或1+G(s)H(s)=0）在[s]平面的右半平面没有零点（或特征根），即所以Nyquist稳定判据为：当ω由-∞到+∞变化时，若[GH]平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针方向包围（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。p为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有p=0，此时闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性G(jω)H(jω)的乃奎斯特图不包含（-1，j0）点，即N=0。

364.关于Nyquist判据的几点说明Nyquist判据并不是在[s]平面而是在[GH]平面判别闭环系统的稳定性，即根据G(jω)H(jω)轨迹包围（-1，j0）点的情况来判别闭环系统的稳定性。Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。在p=0，即GK(s)在[s]平面的右半平面无极点时，习惯称为开环稳定。否则开环不稳定。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。在整个实数域内开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当-ω变为+ω时，G(-jω)H(-jω)与G(jω)H(jω)的模相同，而相位异号。37例8：0型系统二、Nyquist判据的应用38例9：I型系统39例10：II型系统40例11：判断图示闭环系统的稳定性。41积分环节数=1在无穷远处顺时针绕半圈；

=2在无穷远处顺时针绕一圈；

=3在无穷远处顺时针绕一圈半。×Nyquist判据：是在已知开环极点在[s]右半平面的个数p和积分环节个数（这意味着必须已知系统传递函数）以及Nyquist图绕(-1,j0)点圈数N的情况下，求闭环特征根在[s]右半平面的个数z。小结：426.4系统的相对稳定性相对稳定性，是对稳定或不稳定的程度的衡量——以稳定裕量表示。幅值穿越频率幅值裕量：相位裕量：相位穿越频率43相位裕量幅值裕量系统稳定系统不稳定为负值系统稳定系统不稳定442.Nyquist图和Bode图的对应关系Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的0分贝线确定幅值穿越频率（剪切频率）ωcNyquist图上的负实轴相当于Bode图上的-180°线确定相位穿越频率ωg45稳定（ωg＞

ωc

）不稳定（ωg<ωc

）46例12低频转折频率47关于相位裕量和幅值裕量的几点说明：①上述定义是对最小相位系统而言，对非最小相位系统不适用。②衡量一个系统的相对稳定性，必须同时用相位裕量和幅值裕量这两个指标。③适当地选择相位裕量和幅值裕量，可以防止系统中参数变化导致系统不稳定的现象。一般取。④对于最小相位系统，开环的幅频特性和相频特性有一定的关系，要求系统具有30°～60°的相位裕量，因此在ωc

处应以－20dB/dec斜率穿越为好，因为斜率为－20dB/dec穿越时，对应的相位角在-90°左右。考虑到还有其它因素的影响，就能满足γ

=30°～60°。⑤一阶和二阶系统，理论上不可能不稳定。但是实际上其数学模型是在忽略了一些次要因素之后建立的，当系统参数变化时，比如开环增益太大，这些系统仍有可能不稳定。48例13:496.5

根轨迹方法分析系统性能（TheRootLocusMethod）判断控制系统稳定与否的根本出发点是判断闭环特征方程的根在S平面上的位置分布。对于图示闭环控制系统闭环特征方程为：设系统的开环传递函数为：开环增益50当系统的开环增益K=0~∞或根轨迹增益K*=0~∞变化时，1+G(s)H(s)=0的根在s平面上的移动轨迹，即为根轨迹（RootLocus）。根轨迹方法由伊凡思（W.R.Evans）在1948年提出。该方法对于控制系统的设计很有用也很方便。它指明了开环零、极点及开环增益或根轨迹增益变化时，闭环极点的变化情况，从而指明了如何调整开环零、极点及增益大小来满足闭环系统响应所要求的性能指标，可以用于系统的分析与综合。6.5

根轨迹法分析系统性能根轨迹增益系统的开环传递函数也可以写为：开环增益与根轨迹增益关系：开环增益51[引例1]

如图所示的监控摄像头跟踪系统，跟踪系统可以监控像素变化并驱动摄像头定位到变化后的场景中心，其跟踪控制系统的方框图如图b，图c为闭环系统传递函数。下面讨论闭环极点（即闭环特征根）在复平面上的位置随着K值（即根轨迹增益）改变而变化的情况

开环传递函数：闭环传递函数：

52其闭环特征方程：的解为

当K取不同值时的闭环特征根如下表所示，其在复平面的位置如右下图示53将K取不同值时的闭环特征根变化轨迹连起来形成的根轨迹如下图：当K=0时，根轨迹分别起始于0，-10，此时系统为过阻尼情况；当K=25时，根轨迹在-5，此时系统为临界阻尼情况；当K>25时，根轨迹从实轴的-5处分别垂直向上和向下走，此时系统为欠阻尼情况从根轨迹的变化可以得到结论：无论K如何变化，该二阶系统总是稳定的，但瞬态性能有变化，其变化规律？54由根轨迹定义，根轨迹上的每一点都满足方程：1.

基本原理（BasicPrinciple）或即幅值条件只要同时满足幅值条件和相位条件的s值就是闭环特征方程的根，也即闭环极点相位条件（6-38）

（6-39）

（6-40）

（6-41）

55根轨迹的起点和终点根轨迹的分支数实轴上的根轨迹段根轨迹的渐近线根轨迹的分离点和会合点根轨迹在无穷远处的状态根轨迹离开复极点或进入复零点时的出射角或入射角根轨迹穿过虚轴的点绘制根轨迹时，并不需要在s平面上找很多点描绘其精确曲线，而是根据根轨迹的一些特征进行近似作图。这些特征包括：下面我们根据开环传递函数的零、极点和闭环特征方程的根之间的关系，给出反映以上特征的根轨迹作图法则。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）56法则1.根轨迹对称于实轴。这一点很容易理解，因为闭环极点若为实数，则必定位于实轴上；若为复数，则一定是以共轭复数成对出现，所以根轨迹必然对称于实轴。法则2.根轨迹起始于开环极点（起始点对应于K或K*＝0），终止于开环零点（终止点对应于K或K*＝∞）。若开环零点数m少于开环极点数n，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。法则3.根轨迹的分支数等于闭环极点数n（亦即开环极点数，系统阶数）。这可以由根轨迹的幅值条件来证明：当时，只有令s取p1，p2，…，pn的值才能满足；当时，只有令s取z1，z2，…，zm的值才能满足。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）57例1：例2：如何判断s平面上某点是否在根轨迹上？例如s=-2±j358法则4.实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点的总数应为奇数。此结论可用相位条件来说明。

由于复数零点和复数极点均为共轭的，因此它们与s点形成的矢量的相位角大小相等，符号相反，对相位没有影响。而位于s点左侧的零、极点到s点的矢量，其相位角总是为零，只有位于s点右侧的零、极点到s点的矢量，其相位角才是-π，因此根据相位条件，只有当实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点总数为奇数时，才能符合根轨迹的相位条件。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）59例6-16已知开环传递函数，请画出K*从0～∞变化时的根轨迹。

解：系统有三个开环极点：两个开环零点：60法则5.当K或K*→∞时，有（n-m）条根轨迹趋于无穷远处，这些根轨迹的渐近线和实轴正方向的夹角α称为渐近角，并且（6-44）

其中k依次取0，±1，±2，…直到获得（n-m）个夹角为止。而根轨迹渐近线与实轴的交点位于开环零、极点的重心处，由下式决定：（6-45）

2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）证明略

61法则6.根轨迹的分离点和会合点的坐标若用d表示，则其值可由下式给出

①式（6-49）同样适用于系统的开环零、极点为复数的情况；②当开环无零点时，则式（6-49）中③由式（6-49）解出的值，并非都是根轨迹上的点，因此必须舍弃不在根轨迹上的值；④由于根轨迹的共轭对称性，根轨迹的分离点和会合点或位于实轴上，或为共轭复数对。（6-49）2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）说明：62如果根轨迹位于相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于实轴上两个相邻的零点（其中一个零点可以位于）之间，则在这两个相邻的零点之间至少存在一个会合点。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点（有限零点或无限零点）之间，则在这两个相邻的极、零点之间，或者既不存在分离点也不存在会合点，或者既存在分离点又存在会合点。63例3：渐近角度：渐近线与实轴交点：与实轴分离点：如何求根轨迹与虚轴交点？64法则7.根轨迹自复数极点的pi

出射角（即根轨迹在复数极点处的切线与正实轴的夹角）为根轨迹进入复数零点的入射角（即根轨迹在复数零点处的切线与正实轴的夹角）为（6-55）的向量与正实轴的夹角。

（6-54）式中分别是开环零点、开环极点到所考虑点和2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）推论：根轨迹离开实轴或进入实轴时的出射角或入射角为65例6-18

已知系统开环传递函数画其根轨迹图，并分析闭环系统的稳定性。解：①确定开环零、极点。开环传递函数有：2个极点一个零点②确定实轴上的根轨迹③确定离开复极点的根轨迹出射角④确定根轨迹进入实轴的汇合点%-----Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s2+2s+3)------num=[012];den=[123];rlocus（num,den）v=[-66-66];axis(v);axis('square‘)gridtitle（'Root-locusPlotofG(s)=K*(s+1)/(s^2+2s+3）')67法则8.当根轨迹在s平面的左半平面时，闭环系统稳定，否则不稳定。若根轨迹与虚轴相交，系统处于临界稳定状态，其交点处的根（即闭环特征方程的纯虚根）与开环增益K或根轨迹增益K*可由劳斯稳定性判据或将代入特征方程分别令实部和虚部等于零求得（为什么？）。2.

根轨迹作图（BasicrulesforRootLocus）例6-17已知控制系统的开环传递函数为画K*变化时的根轨迹，并求出根轨迹与虚轴的交点。开环传递函数有：4个极点，一个零点，两种求与虚轴交点和K*的方法68求其与虚轴交点：方法1写出其劳斯数列闭环特征方程解得K*＝160，代入s2行组成的辅助方程，有由第一列中s1项系数等于零，得：解得。69求其与虚轴交点：方法2将s=jω代入特征方程得闭环特征方程解得可以得到：分别令其实部和虚部为零，得K*＝16070例6-18已知控制系统的开环传递函数为（1）画K*变化时的根轨迹，（2）求出根轨迹上阻尼比为0.45的点，及其与虚轴的交点。解：系统有2个开环极点，2个开环零点的意义根轨迹与虚轴交点的意义分离点、入射角的计算71对如图所示系统，以开环极点p1为参数，如何获得关于p1变化的根轨迹？此例中开环传递函数为写出其闭环传递函数即将其开环传递函数改变为然后做其根轨迹如图：723．利用MATLAB工具画根轨迹利用MATLAB工具可以很方便地画根轨迹。对于式（6-36）表达的闭环特征方程，可以写成下列形式式中num为分子多项式的系数从高到低，den为分母多项式的系数从高到低排列

通常采用下列MATLAB命令画根轨迹：rlocus（num，den）利用该命令，可以在屏幕上得到画出的根轨迹图，增益K*是由程序自动确定的。命令rlocus既适用于连续时间系统，也适用于离散时间系统。734.开环增益或根轨迹增益的计算对应根轨迹上某点si的根轨迹增益值，可以根据幅值条件式（6-39）来进行计算，即上式表明，与根轨迹上的点相对应的根轨迹增益可以利用该点与各开环零、极点之间的幅值得到，即（6-57）开环增益K可用下式求出

（6-58）需要注意，使用式（6-58）求开环增益K时，不计坐标原点处的开环零、极点，否则上式无意义。745．控制系统的根轨迹分析如前所述，在已知系统开环零、极点分布的基础上，依据绘制根轨迹的基本法则，可以很方便地绘出闭环系统的根轨迹，并在根轨迹上确定闭环零、极点的位置，由此可以利用主导极点等概念对系统的动态性能进行分析。根轨迹法特别方便于确定高阶系统中某个参数变化时闭环极点的分布规律，形象直观地看出参数对系统动态性能的影响，因此为系统设计和性能改善提供了依据。

例6-19

已知一单位反馈系统的开环传递函数为试画出闭环系统的根轨迹。无论K在(0，∞)区间取何值，闭环系统都不稳定75图6-35例6-19系统附加零点z1=-5时的根轨迹加零点

z=-5无论K在(0，∞)区间取何值，闭环系统稳定76图6-36例6-19系统附加零点z1=-20时的根轨迹加零点

z=-20闭环系统不稳定77例6-20

已知单位反馈系统，其前向传递函数为试作其根轨迹，并分析K*对系统性能的影响。求系统最佳阻尼比所对应的闭环极点及K*值。图6-37例6-20的根轨迹图其分离点和会合点为分离点d1，d2处的根轨迹增益为最佳阻尼比为

K*＝2

78本章总结一、基本概念1.稳定性的物理含义和数学描述2.稳定性判断的基本准则及判据判断稳定性的基本准则：直接方法稳定性判据：间接方法临界稳定的特点：①直接求特征根：特征根有成对纯虚根；②Routh判据：满足必要条件后Routh数列出现全为零行；③Nyquist判据：开环N图穿越（-1，j0）点3.相对稳定性的指标：Kg（ωg），γ（ωc）4.Nyquist作图：找特殊点（起始与终止,-90°,-180°等）Routh判据：先求闭环特征方程Nyquist判据：先作开环Nyquist图791.讨论系统参数对系统稳定性的影响例1：已知单位反馈系统的开环传递函数试讨论系统参数K，T1，T2，Ta对系统稳定性的影响。二、典型例题802.开环零点对系统稳定性的影响例2：已知单位反馈系统的开环传递函数分别为：试确定系统稳定的K取值范围。一般来说，开环零点有助于改善系统的稳定性。81画出其根轨迹823.延时环节对系统稳定性的影响

延时环节不改变原系统的幅频特性，但使相频发生变化。一般地，延时环节会使稳定性降低，对系统的稳定性不利。83例3:系统的特征方程

当时，系统处于临界稳定状态。

解得

闭环系统稳定

闭环系统不稳定84例4：已知系统开环传递函数为：4.不稳定的惯性环节对系统稳定性的影响

试确定闭环系统稳定的Kn的取值范围。可以采用的方法：①劳斯判据②Nyquist判据③根轨迹?85总结：影响系统稳定性的因素

若系统的开环传递函数一般情况下，影响系统稳定的主要因素有：系统的型次、系统时间常数及系统开环增益K。

一般地，当系统的型次增加、系统开环极点时间常数增大、开环增益K增大，都会使系统稳定性降低；但开环零点的时间常数增大，对稳定性会有改善。

865.条件稳定系统对于图示系统，K值增大或减小到一定程度，系统都有可能趋于不稳定，只有当K值在一定范围内时，系统才稳定。这种系统称为“条件稳定系统”。对于实际的物理系统不希望其为“条件稳定”系统。

87EndofChapter6Back本章作业：6.2（2）（3）（5），6.3（b），6.4，6.6，6.7，6.10，6.11涉及根轨迹的所有题88

Chapter7TheCompensation&DesignofControlSystems

控制系统的校正与设计FundamentalsofMechanicalControlTheory机械控制理论基础89系统分析：控制系统结构参数已知分析其稳定性、准确性、快速性

系统设计：确定系统结构参数,系统稳定满足一定的稳定性、准确性和快速性要求

第4、5、6章内容本章内容90主要内容(MainContents)系统的时域、频域性能指标及其关系Performanceintimedomain&frequencydomain,andtherelationshipbetweenthem串联校正cascadecompensation并联校正parallelcompensationPID校正器PIDcompensator要求重点掌握：频率法校正的方法，4种串联校正环节、并联校正以及PID校正的传递函数及其对系统的校正作用。91系统的性能指标，按其类型可以分为（1）时域性能指标：包括瞬态性能指标和稳态性能指标；（2）频域性能指标：包括在闭环和开环频率特性上的指标7.1系统的时域与频域性能指标92（1）瞬态性能指标①延迟时间td②上升时间tr③峰值时间tp④最大超调量或最大百分比超调量Mp⑤调整时间或过渡过程时间ts（2）稳态性能指标它是指过渡过程结束后，实际的输出量与希望的输出量之间的偏差——稳态误差。1.时域性能指标93在欠阻尼情况下典型二阶系统时域性能指标的具体表达式为：（误差取2％）或（误差取5％）。图7-1典型二阶系统闭环控制方块图94频域的主要性能指标如下：（1）相位裕量γ（2）幅值裕量Kg（3）谐振频率ωr及谐振峰值Mr，Mr=Mmax（ω)/M(0)（4）截止频率ωb及截止带宽0~ωb2.频域性能指标在欠阻尼情况下典型二阶系统频域性能指标的具体表达式为：

其中95频域性能指标与时域性能指标之间有一定的关系，如峰值时间和过渡过程时间都与系统的带宽有关。3.时域与频域性能指标之间的关系可以证明，对于典型二阶系统，ωb，tp及ts都是系统阻尼比与固有频率的函数。因此当系统的阻尼比与固有频率给定后，ωb，tp及ts都是常数，而系统的截止频率ωb与tp及ts都呈反比关系，或者说，系统的带宽越大，该系统的快速性越好。这表明，带宽表征了系统的响应速度。

96或或典型二阶系统的频域与时域性能指标的关系

97由前几章内容可知，低频段可求出系统的开环增益K、系统的类型等参数，表征了闭环系统的稳态特性；中频段可求幅值穿越频率和相位裕量等指标，表征了闭环系统的动态特性；高频段表征了系统对高频干扰或噪声的抵抗能力，幅值衰减越快，系统抗干扰能力越强。4.开环频率特性曲线与系统性能关系

一般将系统开环频率特性的幅值穿越频率看成是频率响应的中心频率，并将在附近的频率区段称为中频段；把的频率区段称为低频段（一般定为第一个转折频率以前）；把的频率区段称为高频段（一般取）。98低频段的增益充分大，以保证稳态误差的要求；在幅值穿越频率附近，使对数幅频特性的斜率为-20dB/dec并占据充分的带宽，以保证系统具有较快的响应速度和适当的相位裕量、幅值裕量；在高频段的增益应尽快衰减，以便使噪声影响减到最小。用频率法设计与校正系统的本质，就是对系统的开环频率特性（一般采用渐近伯德图）作某些修改，使之变成我们所期望的曲线形状，即：99系统校正的概念与校正方式1.校正的概念所谓校正（或称补偿），就是在控制对象已知、性能指标已定的情况下，在系统中增加新的环节或改变某些参数以改变原系统性能，使其满足所定性能指标要求的一种方法。校正的实质就是通过引入校正环节，改变整个系统的零极点分布，从而改变系统的频率特性，使系统频率特性的低、中、高频段满足希望的性能或使系统的根轨迹穿越希望的闭环主导极点，从而使系统满足希望的动静态性能指标要求。

1002.校正的方式（1）串联校正（2）并联校正增益调整相位超前校正相位滞后校正相位滞后—超前校正反馈顺馈101（3）PID校正a.对被控对象的模型要求低，甚至在系统模型完全未知的情况下，也能进行校正。b.校正方便。在PID校正器中，其比例、积分、微分的校正作用相互独立，人们可以任意改变其中的某一校正规律，这就大大地增加了使用的灵活性。c.适用范围较广。采用一般的校正装置，当原系统参数变化时，系统的性能将产生很大变化，而PID校正器的适用范围要广得多，在一定的变化区间中，仍有很好的校正效果。特点：

1027.2串联校正串联校正按校正环节的性质分为:（1）增益调整；（2）相位超前校正；（3）相位滞后校正；（4）相位滞后—超前校正。

对于大多数控制系统的性能指标，一般从两方面进行要求：稳态特性和动态特性。稳态特性由稳态精度或稳态误差来决定，动态特性由相对稳定性指标幅值裕量和相位裕量来决定。1031．控制系统的增益调整例7-1：图示为位置控制系统，其开环传递函数为：调整增益是改进控制系统性能使其满足相对稳定性和稳态精度要求的一个有效方式。

要求改变增益，使系统有450的相位裕量。104图7-8位置控制系统的增益调整伯德图解：首先作系统开环频率特性的渐近伯德图，如图

校正后系统的传递函数为：

校正前系统的相位裕量为：γ=11°105增益校正前后的单位阶跃响应

减少系统的开环增益可以使相位裕量增加，从而使系统的稳定性得到提高，但它又降低了系统的稳态精度和响应速度。

106从根轨迹角度分析开环增益对系统的影响由于根轨迹增益（开环增益）变小（由2500变为100），固有频率变小，而阻尼比变大，使得系统稳定性提高，但响应速度变慢、稳态精度变差调整前闭环特征根为：调整后闭环特征根为：1072.相位超前校正

（1）相位超前校正环节传递函数其幅频特性与相频特性表达式为

其Bode图如右图示

108

高通滤波器对于图示无源网络，可以充当超前校正：

此超前校正网络具有高通滤波器特性！其伯德图如右图示：

109低频时，

相当于比例环节；

相当于比例微分环节；

此环节不起作用。

中频时，高频时，

仅与取值有关。值越大，相位超前越多，使被校正系统的相位裕量增加；但由于校正环节增益下降，会引起原系统开环增益减小，使稳态精度降低，因此须用提高放大器的增益来补偿超前网络的衰减损失。

110串联相位超前校正是对原系统在中频段的频率特性实施校正，它对系统性能的改善体现在以下两方面：由于＋20dB/dec的环节可加大系统的幅值穿越频率，因而它可提高系统的响应速度。由于其相位超前的特点，它使原系统的相位裕量增加，因而可提高其相对稳定性。通常取值为10左右（此时超前校正环节产生的最大相位超前约55°左右）。

超前校正网络极坐标图如下图示：

111稳态性能指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.05；稳定性指标：相位裕度γ≥50º，幅值裕度20lgKg≥10dB。（2）采用Bode图进行相位超前校正图7-13校正前开环频率特性伯德图如图所示控制系统，要求：

112校正前相位裕度γ=17º<50º，幅值裕度20lgKg≥10dB，系统稳定，但不满足要求。在这点上校正前增益为-6.2dB，校正后应为0dB，所以校正环节在这一点上的幅值为相位超前量113校正前后的开环频率特性伯德图

114为了补偿超前校正造成的幅值衰减，原开环增益需增加K1倍。校正后的系统传递函数

相位超前校正增大了相位裕量，加大了带宽。意味着提高了相对稳定性，加快了系统的响应速度，使过渡过程得到显著改善。但由于系统的增益和型次未变，所以稳态精度没有得到提高。115图7-15相位超前校正前后的单位阶跃响应用MATLAB画出系统校正前后的单位阶跃响应

116从根轨迹角度分析超前校正对系统的影响校正前开环传递函数校正前闭环特征根校正前根轨迹117校正后开环传递函数校正后闭环特征根闭环零点z=-4.348校正后根轨迹118校正后根轨迹的等阻尼线与等固有频率线119（1）相位滞后校正环节及其频率特性3.相位滞后校正其频率特性120低频时，此环节不起作用；

相当于比例积分环节加一阶微分环节；相当于比例环节。中频时，高频时，滞后校正环节是一个低通滤波器。滞后校正的机理并不是相位滞后，而是使得大于1/T的高频段的增益全部下降，但相位变化很小。因此，α和T要尽可能大。常用的为α=10和1/T=ωc/4~ωc/10

。滞后校正环节的Bode图如下图：121（2）采用Bode图进行相位滞后校正设单位反馈系统：要求：稳态指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.2；频域指标：相位裕度γ≥40º，幅值裕度20lgKg≥10dB。校正前相位裕度γ=-20º，幅值裕度20lgKg=-8dB，系统不稳定。122采用滞后校正的开环Bode图123相位滞后校正能有效地改善系统的稳定性，但相位滞后校正后，相位裕度有所下降，对给定的相位裕度要增加5~12º做补偿。取相位裕度为50º，对应的剪切频率为0.6s-1，已校正的系统剪切频率选为0.5s-1。相位滞后校正环节的零点转角频率ωT应远低于已校正的系统剪切频率ωc，选ωc/ωT=5，

ωT=ωc/5=0.5/5=0.1s-1T=1/ωT=1/0.1=10s要使ω=0.5s-1成为已校正的系统剪切频率，须将该点的幅频特性移动-20dB，即124相位滞后校正环节的频率特性：相位滞后校正能有效地改善系统的稳定性，但由于校正后开环系统的剪切频率下降，闭环系统的频宽也随之下降。采用相位滞后校正的开环传递函数：125用MATLAB画出校正后的单位阶跃响应曲线

126从特征根角度分析滞后校正对系统的影响校正前开环传递函数校正前闭环特征根校正前根轨迹闭环特征根在复平面的右半平面127校正后开环传递函数校正后闭环特征根闭环零点：z=-0.1校正后根轨迹此闭环零点可以与闭环极点P4

相抵消128num=[10.1];den=conv(conv(conv([10],[11]),[12]),[10.01]);G=tf(num,den);rlocus(G);[K,P]=rlocfind(G)MatLab指令129（1）相位滞后—超前校正环节滞后校正超前校正

4.相位滞后—超前校正其频率特性：130滞后在先，超前在后。高频段和低频段均无衰减。滞后-超前校正环节的伯德图

超前校正可使系统带宽增加，提高时间响应速度，但对稳态误差影响较小；滞后校正则可以提高稳态性能，但使系统带宽减小，降低了时间响应速度。采用滞后—超前校正，可以同时改善系统的瞬态响应和稳态精度。131（2）采用Bode图进行相位滞后—超前校正

要求：稳态指标：单位恒速输入时的稳态误差ess=0.1；稳定性指标：相位裕度γ≥50º，幅值裕度20lgKg≥10dB。校正前相位裕度γ=-32º，幅值裕度20lgKg=-13dB，系统不稳定。已知单位反馈系统：132采用超前校正，使相位在ω=0.4s-1以上超前。但是单纯采用超前校正，则低频段衰减太大；若附加增益，则剪切频率ωc右移，ωc仍可能在频率ωg右边，系统仍然不稳定。因此，在此基础上，再采用滞后校正，可使低频段有所衰减，有利于ωc左移。

选未校正前的相位穿越频率ωg=1.5s-1为新的系统剪切频率，则相位裕度γ=40º+10º=50º。滞后环节零点转折频率远低于ω=1.5s-1，即ωT2=1.5/10=0.15s-1，T2=1/ωT2=1/0.15=6.67s。选α=10，则极点转折频率为1/(αT2)=0.015s-1，

滞后环节频率特性

133ω=1.5s-1作为校正后的剪切频率，幅值约为13dB，超前环节应产生相同的幅值。在Bode图上过点（1.5s-1，-13dB）作斜率为20dB/dec的斜率，它和零分贝线及-20dB线的交点就是超前环节的极点和零点转折频率。零点转折频率ωT1≈0.7s-1，T1=1/ωT1=1/0.7s，极点转折频率为7s-1。超前环节频率特性134135用MATLAB画滞后—超前校正Bode图136用MATLAB画滞后—超前校正后的单位阶跃响应校正后闭环零、极点？137从特征根角度分析滞后-超前校正对系统的影响校正前开环传递函数校正前闭环特征根校正前系统不稳定138从特征根角度分析滞后-超前校正对系统的影响校正后开环传递函数校正后闭环特征根闭环零点：z1=-0.15

，z2=-0.70

1397.3并联校正

控制系统采用反馈校正后，除了能收到与串联校正同样效果外，还能消除系统的不可变部分中为反馈所包围的那部分环节的参数波动对系统性能的影响。（1）位置反馈校正（2）速度反馈校正1．反馈校正140当，则从控制的观点讲，反馈校正比串联校正更有其突出的优点：利用反馈校正能有效地改善被包围环节的动态结构参数，甚至在