7.3 三角函数的图象和性质（十六大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页7．3三角函数的图象和性质课程标准学习目标（1）借助单位圆能画出三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值，提升直观想象和逻辑推理素养．（2）借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质，正切函数在上的性质，提升逻辑推理和数学抽象素养．（1）能根据正弦的定义，借助单位圆，在直角坐标系中作出图象上任意一点，并且能利用这一点的作图原理画出整个图象；（2）能利用正弦函数与余弦函数解析式的关系，得出其图象之间的关系，通过平移正弦曲线得到余弦曲线；能通过几何作图与代数运算两个角度得出三角函数的周期性与奇偶性；能根据图象得到正、余弦函数的最值；会画一些简单三角函数的图象并会求其简单的性质．知识点01周期函数函数，定义域为，当时，都有，其中是一个非零的常数，则是周期函数，是它的一个周期．知识点诠释：1、定义是对中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说是的一个周期．2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期．【即学即练1】（2023·广东茂名·高一统考期中）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，在中，，∴，故选：D.知识点02正弦函数图像与性质1、正弦曲线（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数．2、正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．【即学即练2】（2023·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）已知为偶函数，则（

）A． B．6 C． D．3【答案】D【解析】因为为偶函数，所以，解得，所以，．故选：D.知识点03正弦型函数的性质函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．【即学即练3】（2023·高一课时练习）函数图象的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，由，得，，则不是函数图象的一个对称中心，故A错误；对于B，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故B错误；对于C，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故C错误；对于D，，得，，则是函数图象的一个对称中心，故D正确.故选：D.知识点04余弦函数图像与性质1、余弦曲线（1）定义：余弦函数的图象分别叫做余弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题．2、余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点最小值点对称中心对称轴知识点诠释：（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．【即学即练4】（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，则是为奇函数的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，可得，定义域为R，此时，故为奇函数，故充分性成立，而当为奇函数时，得，故不一定为，故必要性不成立，是为奇函数的充分不必要条件.故选：B知识点05余弦型函数的性质函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．知识点诠释：判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．若，则函数不一定有对称轴和对称中心．【即学即练5】（2023·新疆·高二统考学业考试）已知函数，则的一个单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数，由正弦函数的性质知，函数在、上都不单调，在上单调递减，即选项BCD都不是，函数在上单调递增，A是.故选：A知识点06正切函数的图象与性质1、正切函数的图像正切函数，且，图象：2、正切函数的性质（1）定义域：（2）值域：由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．（3）周期性：周期函数，最小正周期是（4）奇偶性：奇函数，即．（5）单调性：在开区间，内，函数单调递增知识点诠释：（1）观察正切函数的图象还可得到：点是函数，，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴（2）正切函数在开区间，内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．【即学即练6】（2023·云南红河·统考二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两个对称中心之间的距离为，知，，又因为，所以，即，则．故选：B．知识点07正切型函数的性质1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域：3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．4、周期：【即学即练7】（2023·高一课时练习）已知函数，则（

）A．增区间为，B．增区间为，C．减区间为，D．减区间为，【答案】C【解析】由解得.因此，函数的单调递减区间为，.故选：C.知识点08五点作图法用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．【即学即练8】知识点09伸缩变换1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径知识点诠释：一般地，函数，的图象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把的图象上所有的点向左（）或右（）平行移动个单位；（2）再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）；（3）再把所得各点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）．【即学即练9】（多选题）（2023·新疆阿克苏·高一兵团第一师高级中学校考阶段练习）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为；B．的图象关于对称；C．是的一个零点；D．在单调递减；【答案】ABC【解析】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故A正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故B正确；由，得，是的一个零点，故C正确；当时，，在上单调递增，故D错误.故选：ABC题型一：含绝对值的三角函数例1．（2023·全国·高三专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？(1)；(2).【解析】（1），将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象..（2），将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象..例2．（2023·全国·高三专题练习）画出函数的简图．【解析】，的图象如下图所示，例3．（2023·高一课时练习）作出函数，的大致图像．【解析】函数，其图如下所示：

变式1．（2023·全国·高一随堂练习）请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图）【解析】由题意，当时；当时，故可作图：

由图象可得，函数具有如下性质：①定义域；②值域；③偶函数；④最小值正周期为；⑤在上单调递增，上单调递减；在上；⑥当时函数取最大值0，当时函数取最小值.变式2．（2023·全国·高三专题练习）作出函数的图象【解析】，，作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图

【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题题型二：解三角不等式问题例4．（2023·全国·高一随堂练习）利用三角函数图象，分别求出的取值范围：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）作出正切函数在上的图象，如图：

由图象可知，当时，.（2）作出余弦函数的图象，如图：

由图象可知，当时，.（3）作出正弦函数的图象，如图：

由图象可知，当时，或.例5．（2023·全国·高一随堂练习）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【解析】（1）不等式，化为，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是，所以使不等式成立的x的集合为.（2）不等式，化为，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是.所以使不等式成立的x的集合为.例6．（2023·全国·高一随堂练习）根据正弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值范围：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）

即，当时，或，故由正弦函数的图象可得解得.（2）即，当时，或，故解得（3）即，故当时，或，故，解得.（4）即，故当时，或，故，解得变式3．（2023·全国·高一随堂练习）分别求出使下列各组条件成立的x的集合：(1)；(2)．【解析】（1）对于，考虑在区间内的性质，得，所以的解集为，对于，考虑在区间内的性质，得，所以的解集为，所以满足的角的集合为上述两个解集的交集，即.（2）对于，考虑在区间内的性质，得，所以则满足的角的集合是.【方法技巧与总结】用三角函数的图象解（或）的方法（1）作出直线，作出（或）的图象．（2）确定（或）的x值．（3）确定（或）的解集．题型三：识图问题例7．（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】函数的定义域为，，即函数为奇函数，故CD错误；由可知，C错误，A正确；故选：A例8．（2023·浙江绍兴·统考三模）函数的部分图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】定义域为R.∵，∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示，取，有，∵，∴.排除C；故选：D例9．（2023·高一课时练习）函数的简图是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用余弦函数的图象平移可得．把的图象向上平移1个单位即可.故选：D变式4．（2023·四川广元·高一广元中学校考阶段练习）已知函数，则其部分大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】函数，定义域为R，，函数为奇函数，AC选项排除；当时，，D选项排除；故选：B变式5．（2023·湖南·高一专题练习）如图所示，函数（且）的图像是（

）.A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】，根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，

故选：C.变式6．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】图1的函数为，周期为.图2的函数周期为，所以横坐标缩短为原来的，函数解析式为.又由题可得图2对应的函数解析式为，所以函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标均不改变，即可得到图2对应的图象，所以图2对应的函数解析式为.故选：D.变式7．（2023·江西抚州·高一校联考阶段练习）函数在区间内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】当时，即，所以在区间上的图象与的图象相同，当时，即，所以在区间和上的图象是的图象关于轴的对称图形.故选：B.【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．题型四：三角函数的周期问题例10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数对，，有，且，，则（

）A．0 B．1 C． D．2022【答案】A【解析】令，得，则令，得，由，得，又，故.令，知，得.令得，即，故存在，使得，所以是周期函数，周期，所以，故选：A例11．（2023·江西九江·高一校考期中）函数的周期不可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能；当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能；当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能；而对于选项D：，则若时，，令，所以与题设矛盾，故函数的最小正周期不可能是；故选：D.例12．（2023·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期.故选：B.变式8．（2023·高一单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【答案】D【解析】A.y＝sinx的最小正周期为，故错误；B.y＝cosx的最小正周期为，故错误；C.y＝sin的最小正周期为，故错误；D.y＝cos，故正确；故选：D变式9．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）若，（），则（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】是周期为3的周期函数，，，，．故选：B．变式10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，设函数的最小正周期为，则，由题意得，解得，故，得，即，的图象过点，即，∵，则，

∴，解得．∴∴.故选：A变式11．（2023·高一课时练习）已知函数的周期不大于2，则正整数k的最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】由题设，,又，正整数k的最小值为13.故选：D变式12．（2023·内蒙古包头·高一统考期末）若函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2，则对称中心到对称轴距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象与直线的两个相邻公共点之间的距离等于2，可得函数的最小正周期为，则对称中心到对称轴距离的最小值为.故选：B.【方法技巧与总结】（1）定义法，即利用周期函数的定义求解．（2）公式法，对形如或（，，是常数，，）的函数，（3）观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．（4）一般地，函数的最小正周期为，常常利用此公式来求周期．题型五：三角函数的奇偶问题例13．（2023·高一课时练习）函数（

）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】由可知是奇函数．故选:A例14．（2023·北京丰台·高一统考期中）下列函数中，最小正周期是的奇函数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的周期为，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为奇函数，A正确；函数的周期为，设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，B错误；函数的周期为，C错误；设，函数的定义域为，定义域关于原点对称，则，故函数的周期为，又，所以函数为偶函数，D错误；故选：A.例15．（2023·高一课时练习）使函数为偶函数的最小正数φ＝（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函数为偶函数，∴，∴使函数为偶函数的最小正数．故选：B变式13．（2023·高一课时练习）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】由题知，，则则故选：B变式14．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，为奇函数，，，，.故选:C变式15．（2023·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期中）若为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】为奇函数，则，，故.故选：C.变式16．（2023·山东济宁·高三校考期中）函数是偶函数，则a，b的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，，因为函数是偶函数，，即，即，则有，分析选项，只有D选项满足.故选：D变式17．（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数）是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数）是奇函数，所以，解得，所以的最小值为，故选：A变式18．（2023·高一课时练习）已知（其中为常数且），如果，则的值为（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】设，则，则函数是奇函数；，则函数是周期为的周期函数；由，可得，则，所以，则故选：B.【方法技巧与总结】判断函数奇偶性的方法（1）利用定义判断一个函数的奇偶性，要考虑两方面：①函数的定义域是否关于原点对称；②与的关系；（2）判断函数的奇偶性常用方法是：①定义法；②图象法．题型六：三角函数的对称问题例16．（2023·广西南宁·高一校考阶段练习）函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的对称轴满足，解得，令，则，故选：A.例17．（2023·陕西西安·高一统考期末）下列是函数的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，，所以，函数的对称中心的是，.对于A项，由，可得，故A项错误；对于B项，由，可得，故B项错误；对于C项，由，可得，故C项错误；对于D项，由，可得，故D项正确.故选：D.例18．（2023·河南开封·统考三模）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则.【答案】/【解析】因为函数的最小正周期为，所以；又因为函数图象关于直线对称，可得，可得，且，所以，所以，所以．故答案为：.变式19．（2023·辽宁丹东·高一校考期中）已知函数满足条件：的最小正周期为，且，则函数的解析式是.【答案】或【解析】由题意，则，又，即的图象关于直线对称，所以，则，当为偶数时，则，当为奇数时，则.故答案为：或.变式20．（2023·北京·高一校考期中）设函数，若的图象关于点对称，则的值可以是．（写出一个满足条件的值即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因为函数，且的图象关于点对称，所以，，解得，，所以的值可以是，，，，，（写出一个即可）．故答案为：（答案不唯一）．变式21．（2023·北京昌平·高一北京市昌平区前锋学校校考期中）直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则【答案】2【解析】因为直线和是曲线的相邻的两条对称轴，所以，得周期，所以，得，故答案为：2变式22．（2023·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）函数的图象关于对称，则的最小值为．【答案】/【解析】因为函数的图像关于对称，所以，所以并且，所以，故答案为：变式23．（2023·高一课时练习）已知关于的函数（）的一条对称轴是，则．【答案】【解析】函数，其对称轴方程为，（）∵函数图象的一条对称轴是直线，∴，即，（）∵，当时，可得．故答案为：．变式24．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．【答案】【解析】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：变式25．（2023·陕西商洛·高一统考期末）已知函数的图象关于直线对称，则．【答案】/【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，即，又，所以．故答案为：变式26．（2023·高一课时练习）已知，若函数为奇函数，则最小正数m的值为.【答案】【解析】因为，若函数为奇函数，且正数m取到最小值，即把位于y轴右侧的第一个对称中心平移至坐标原点，令，解得，当时，则，即位于y轴右侧的第一个对称中心为，所以正数m取到最小值.故答案为：.变式27．（2023·河南·高一校联考阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是.【答案】（答案不唯一）【解析】因为的图象关于点中心对称，所以，，则，.当时，故答案为：变式28．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是.【答案】1【解析】由于的周期为,由于相邻两个对称中心距离是,所以,则,故答案为：1【方法技巧与总结】（1）正弦曲线（余弦曲线）既是轴对称图形，也是中心对称图形；（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0．（4）正切曲线与轴的交点及其渐近线与轴的交点都是正切曲线的对称中心，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．题型七：三角函数的单调问题例19．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）函数，的增区间为．【答案】（开闭均可）【解析】由，可得，令，解得，即函数在的单调增区间为.故答案为：.（开闭均可）例20．（2023·全国·高三专题练习）在上的单调递减区间为.【答案】和【解析】，令得则的单调递减区间为令,∴在上的单调递减区间为和.故答案为：和.例21．（2023·重庆·高一校联考期末）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令,所以，当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D变式29．（2023·高一课时练习）下列各组函数中，在区间上都是增函数的为（

）.A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A中，函数在区间为单调递增函数，函数在间单调递增，在区间单调递减，不符合题意；对于B中，函数和在区间均为单调递增函数，符合题意；对于C中，，函数在间单调递增，在区间单调递减，不符合题意；对于D中，函数在区间为单调递减函数，不符合题意；故选：B.变式30．（2023·上海长宁·高一统考期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误，对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确，对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误，对于D，的最小正周期为，所以D错误，故选：B变式31．（2023·高一单元测试）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，令，，解得，，所以函数的单调递减区间为.故选：D.变式32．（2023·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】设的最小正周期为，可知，即，且当时，取到最小值，由周期性可知：与最近的最大值点为，如图所示，

所以的单调递减区间为，.故选：D.变式33．（2023·全国·高一随堂练习）函数和都单调递增的区间是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的单调递增的区间是，函数的单调递增的区间是，由，可得函数和都单调递增的区间是.故选：A.【方法技巧与总结】（1）用“基本函数法”求函数（，）或（，）的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数（或）的相应单调区间；第二步：将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”；第三步：解关于的不等式．（2）对于形如的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数的单调性讨论同上．另外，值得注意的是这一条件不能省略．（3）求函数（，，都是常数）的单调区间的方法若，由于在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令，，解得的范围即可．若，可利用诱导公式先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可．题型八：根据三角函数单调性求参数的范围问题例22．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为恒成立，则，所以，，则，当时，，因为，则，因为在区间上恰有个零点，则，即，，解得，，假设不存在，则或，解得或，因为存在，则，因为，则.所以，，可得，故选：A.例23．（2023·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，解得，．因为函数在区间上恰有两个零点，所以或解得或，即．故选：C.例24．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.变式34．（2023·河南·统考模拟预测）若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得：函数在上恰有两个零点，，解得：①，又在上单调递增，，解得：②，由①②式联立可知的取值范围是.故选：B变式35．（2023·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，所以.当时，由在区间上单调递增可知，得；当时，由解得；当时，无实数解.易知，当或时不满足题意.综上，ω的取值范围为.故选：D变式36．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以，所以．令，当时，，于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．由知，，，因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以解得．答案：B.变式37．（2023·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的简图如下：

函数在区间上恰有3个零点，则，解之得.故选：C变式38．（2023·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数．当时，令，则，若在有且仅有3个零点和3条对称轴，则在有且仅有3个零点和3条对称轴，则，解得.故选：A．

变式39．（2023·全国·高一课堂例题）设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得．根据函数的图象在区间上恰有三条对称轴，知，得．根据函数在区间上恰有两个零点，知，得．综上，的取值范围为．故选：C变式40．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数，其中，当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以，当时，，由可得或，则在上，有一个零点，所以在内有3个零点，即在内有3个零点，因为，所以，，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：C.【方法技巧与总结】已知三角函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．题型九：三角函数比较大小问题例25．（2023·江西南昌·高一南昌二中校考期中）若，则，，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，，则，则故选：C例26．（2023·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习），，的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：在上单调递增，又易知，所以.故选：B例27．（2023·贵州遵义·高一阶段练习）将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，又当时，是减函数，所以.故选：D．变式41．（2023·山西运城·高二校联考阶段练习）不求值，比较下列各组数的大小，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A.因为，且在上递增，所以，故正确；B.因为，且，在上递减，所以，故错误；C.因为，且，在上递增，所以，即，故错误；D.因为，且，在上递减，所以，即，故错误；故选：A变式42．（2023·辽宁大连·高一大连市第三十六中学校考阶段练习）已知，比较与的大小（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定【答案】B【解析】因为，则，即，又因为函数在上为增函数，则，故选：B.【方法技巧与总结】比较两个三角函数值的大小（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．题型十：三角函数的最值与值域问题例28．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为.【答案】【解析】令，，因为函数在上单调递增，当时，，即，又因为函数在上单调递增，当时，，所以，函数，的值域为.故答案为：.例29．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则.【答案】【解析】依题意，函数在区间上的值域为，由于，所以，此时，当时取得最小值，符合题意，所以.故答案为：例30．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则．【答案】【解析】当时，，正弦函数在上递增，在上递减，于是函数在上单调递增，在上单调递减，因此，即函数的值域为，所以.故答案为：变式43．（2023·安徽·高二合肥市第六中学校联考阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，函数的值域为.【答案】【解析】因为的图象关于直线对称，所以，可得，又因为，所以，即，当时，，所以.变式44．（2023·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）函数的值域为．【答案】【解析】将两边平方可得：，因为，所以，，则，则，即，即函数的值域为.故答案为：变式45．（2023·甘肃天水·高一校联考期末）函数，的值域为．【答案】【解析】令，则，当时，则函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为，故函数的值域为.故答案为：变式46．（2023·四川眉山·高一校考期中）当函数取得最大值时的的集合为．【答案】【解析】依题意令，，解得，，所以函数取得最大值时的的集合为.故答案为：变式47．（2023·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】2【解析】，令，易知，，即为奇函数，所以结合奇函数性质有.故答案为：2变式48．（2023·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）函数的最大值为.【答案】1【解析】当时，，所以，故最大值为1，故答案为：1变式49．（2023·高一课时练习）函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为.【答案】/【解析】函数在上单调递增，则当时，，因此，解得，所以实数a为.故答案为：变式50．（2023·福建泉州·高一校联考期中）函数（）在区间上存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，，所以，因为函数在区间上存在最小值，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.变式51．（2023·山东烟台·高二莱州市第一中学校考阶段练习）函数在区间上的最小值是．【答案】【解析】由和在区间上单调递增，可知在区间上单调递增，故.故答案为：变式52．（2023·湖南邵阳·高二统考期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最小值为.【答案】/.【解析】依题意可得，得，所以.令，则，因为，所以，所以当时，取得最小值为.所以在区间上的最小值为.故答案为：.【方法技巧与总结】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：（1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）．（3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论．题型十一：根据函数图象求解析式例31．（2023·四川自贡·高一统考期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数图象可知，又，所以，解得，将代入得到，，因为，所以，故，解得，所以.故选：B例32．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（

）A．2， B．2， C．2， D．4，【答案】C【解析】设函数的周期为，则由图象知，，解得，；由图象点在函数的图象上，则，则，则，解得，又已知，则.故选：C.例33．（2023·山东菏泽·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，得，所以，得，所以，因为的图象过点，所以，得，所以，所以，或，所以，或，因为，所以，故选：C变式53．（2023·北京昌平·高一统考期末）设函数的部分图象如图所示，那么（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】根据图象可知，将代入得,所以，由于，所以取，故，故选：C变式54．（2023·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）函数的部分图象如图所示，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知，，所以，即，所以.由图象可知，当时，，所以，，即，，由于，所以，所以.故选：D.变式55．（2023·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】函数，的周期为，由图象可得，令，可得，，所以，即，又，所以，，，又，所以，所以，故选：A.变式56．（2023·北京顺义·高一统考期中）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，根据图像易得，因为，所以，所以，则，当时，，由得，所以，即，，因为，所以，所以；当时，，由得，所以，即，，因为，所以，所以；综上：，故A正确.故选：A变式57．（2023·河南南阳·高一统考期中）已知函数，的部分图象如图，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因为，所以，.又，所以，所以，所以，所以.故选：C.变式58．（2023·河南·沈丘县第一高级中学校考模拟预测）函数（）的部分图像如下图，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图知，由解得所以当时，.故选：A变式59．（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知函数,的部分图象如图所示,则A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，代入得，，又，，，，故选A.【方法技巧与总结】确定函数（）的解析式的步骤（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，．（2）求，确定函数的周期，则．（3）求，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．题型十二：同名函数图象的变换例34．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）要得到函数的图象，只要把函数的图象（

）A．向左平移个单位； B．向右平移个单位；C．向左平移个单位； D．向右平移个单位【答案】D【解析】由题意知：，所以只需的图像向右平移个单位就可以得到的图像，故D项正确.故选：D.例35．（2023·上海嘉定·高一校考期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象

（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【解析】将向右平移个单位，则，其它平移过程都不满足.故选：D例36．（2023·山东济宁·高一统考期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为，所以的图象向右平行移动个单位长度可得到函数，故选：D.变式60．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点（

）A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度【答案】A【解析】为了得到函数的图象，只要把图象上所有的点向右平行移动个单位长度，故选：A变式61．（2023·江西赣州·高一校联考期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】函数，只需将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.故选：A.【方法技巧与总结】对，，的三点说明（1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系．（2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系．（3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．题型十三：异名函数图象的变换例37．（2023·河南洛阳·高一统考期中）为了得到，的图象，只需把，图像上所有的点（

）．A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】由诱导公式可得，所以将函数图像上的点向右平移个单位长度，即可得到的图像.故选：B例38．（2023·浙江宁波·高三统考期中）要得到函数的图象只需将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度【答案】B【解析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可由函数，，所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得的图像，故选：B例39．（2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（

）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】，将横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除；C选项：再向左平移个单位长度，得到符合要求；D选项：再向右平移个单位长度，得到，不满足要求，故D选项错误.故选：C变式62．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）要得到函数的图象，只需的图象A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）【答案】D【解析】，因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选D.【方法技巧与总结】变为同名再变换．题型十四：求图象变换前、后的解析式例40．（2023·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），再向左移动个单位得到函数的图象，若，且，则=.【答案】【解析】将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），得到，再向左移动个单位，可得：，因为，则，且直线为的对称轴，又因为，则，可得，所以.故答案为：.例41．（2023·安徽滁州·高一校考期末）已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长度后所得图像关于轴对称，则．【答案】【解析】函数的最小正周期为，，．其图象向左平移个单位后，可得的图象；根据所得图象关于轴对称，可得，，即，，又，则．所以故答案为：例42．（2023·山东威海·高一统考期末）将函数图象上的所有点向右平移个单位，再把所得到的曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则.【答案】【解析】将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再把图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.故答案为：变式63．（2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末）将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标．【答案】答案举例：，等（写出一个或一个以上就给分）【解析】由题可知则函数图象的一个对称中心的横坐标满足，所以则函数的对称中心为.故答案为：（写出一个或一个以上就给分）变式64．（2023·浙江杭州·高一统考期末）将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为.【答案】【解析】将曲线上所有点向左平移个单位，可得，因为与的图象相同，所以，因为，所以的最小值为，故答案为：变式65．（2023·北京昌平·高一北京市昌平区前锋学校校考期中）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则【答案】【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象；故答案为：.变式66．（2023·北京海淀·高三专题练习）将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则．【答案】【解析】将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数，因为为偶函数，图象关于轴对称，所以函数的图象的一条对称轴为，所以有，解得.故答案为：变式67．（2023·高一校考课时练习）把函数图象上的所有点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的解析式是，则函数的解析式为．【答案】【解析】将函数的图象横坐标缩短到原来的得到函数的图象，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向．题型十五：三角函数图象与性质的综合应用例43．（多选题）（2023·高一课时练习）设函数，则下列结论正确的是（

）A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减【答案】ABC【解析】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确；令，求得为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；对于，令，可得，故的一个零点为，故C正确；当，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上没有单调性，故D错误．故选：ABC例44．（多选题）（2023·四川广元·高一广元中学校考阶段练习）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（）A．的最小正周期为 B．的最小正周期为C． D．【答案】AC【解析】由题意知，函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，可得，所以，所以A正确、B错误；又由，可得，因为，即，解得，所以，又因为，可得，所以，所以C正确，D错误.故选：AC.例45．（多选题）（2023·广东佛山·高一校考期中）已知函数，则说法正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．为奇函数 D．为偶函数【答案】AC【解析】对于A选项，因为，所以，的图象关于点对称，所以A选项正确.对于B选项，由，知的图象不关于直线对称，所以B选项错误.对于C选项，由，知为奇函数，所以C选项正确.对于D选项，因为，，，所以不为偶函数，所以D选项错误.故选:AC.变式68．（多选题）（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）函数在一个周期内的的图象如图示，则下列结论中正确的是（

）

A．B．C．对，都有D．对，都有【答案】BCD【解析】由图象知：，，则，则，又点在图像上，所以，则，即，又因为，所以，所以，故A错误；，故B正确；，所以图象关于对称，即，故C正确；，故D正确.故选：BCD变式69．（多选题）（2023·广东茂名·高一统考期末）关于函数，下列选项错误的有（

）A．函数最小正周期为 B．表达式可写成C．函数在上单调递增 D．的图像关于直线对称【答案】BC【解析】对于A，函数最小正周期为，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，得，所以函数在上不是单调函数，故C错误；对于D，因为，所以的图像关于直线对称，故D正确.故选：BC.变式70．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）设函数，.(1)求函数的最小正周期和对称轴方程以及单调递增区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值.【解析】（1）的最小正周期为，由，可得，则的对称轴为，由，可得，则的单调递增区间为.（2）由，可得，则，故函数在区间上的最小值为最大值为，当即时函数取得最小值为，当即时函数取得最大值为.变式71．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，当时，取得最大值2，的图象上与该最大值点相邻的一个对称中心为点．(1)求的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．【解析】（1）设的最小正周期为，由题意可知：，，则，可得，则，且图象过点，可得，则，解得，又因为，可知，所以．（2）由题意可得：，因为，则，可得，即，所以在区间上的值域为．变式72．（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数在一个周期内的图象经过，，且的图象关于直线对称．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围．【解析】（1）由题意可得，，，因为，所以．因为在的图象上，所以，所以，所以．因为，所以只有满足要求，故；（2）因为，所以．当，即时，取得最小值，最小值为．因为存在，使得不等式成立，所以，即，解得，即a的取值范围为．变式73．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知函数的图象经过点，且图象相邻的两条对称轴之间的距离是.(1)求的单调递增区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【解析】（1）由题意可得的最小正周期，则，因为的图象经过点，所以，所以，解得，因为，所以，令，解得，即的单调递增区间为；（2）因为，所以，所以，则，因为对任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范围为.【方法技巧与总结】研究函数性质的基本策略（1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．（2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域．题型十六：用五点法作函数的图象例46．（2023·河南南阳·高一统考期中）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；(2)若在上有两根，求的取值范围.【解析】（1）补充表格:由最大值为最小值为可知又，故再根据五点作图法，可得，得故（2）令，则所以=有两个根，转化为在上有两个根.即在上有两个根.由在的图像和性质可得：,所以故实数的取值范围为例47．（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知函数的部分图像如图所示：(1)求函数的解析式；(2)用“五点作图法”在给定的坐标系中做出函数在一个周期内的图像．【解析】（1）根据的图像可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，则或，解得或，数形结合可知：，即，结合，解得，显然，不满足题意，故，当且仅当时，满足题意；故．（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，如表所示．0020-20例48．（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；(2)求，的单调递增区间；(3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围.【解析】（1）因为，当时，，列表如下：0112001作图如下：（2）因为，令，解得，令，解得，所以的递增区间为（3），，又，由（1）的图象可知，，的取值范围是．变式74．（2023·安徽宿州·高一砀山中学校联考期中）已知函数．(1)用“五点（画图）法”作出在的简图；(2)求函数的单调递减区间．【解析】（1）列表如下：00020对应的图象如图：（2）令，，得，．所以函数的单调递减区间为，．变式75．（2023·江西萍乡·高一芦溪中学校考阶段练习）已知函数．(1)利用“五点画图法”完成以下表格，并画出函数在区间上的图象；(2)求函数的单调减区间．【解析】（1）根据“五点画图法”可列表如下：作出图象如下，（2）令，解得：，的单调减区间为.【方法技巧与总结】用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．一、单选题1．（2023·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，最小正周期为，，，，，，，故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.故选：A.3．（2023·河南周口·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．直线是图象的一条对称轴C．图象的对称中心为D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象【答案】C【解析】对A，由最大值为3可得，由图知，故，故，由图象最高点可得，即，又，故，故.故，故A错误；对B，，不为函数最值，故直线不是图象的一条对称轴，故B错误；对C，令，解得，故对称中心为，故C正确；对D，的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，故D错误；故选：C4．（2023·河南·高三校联考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则正实数的最小值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由题意．所以，得．又，所以正实数的最小值为．故选：B．5．（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，令，可得，由于的图象与直线相邻两个交点的距离为，，，．若对任意恒成立，则当时，，因此，，解得，，因为，所以，即．故选：C.6．（2023·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）函数相邻对称轴和对称中心之间的距离为，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，所以，，又∵且，∴，则，由题意，函数图象向左平移个单位长度可得，∵函数为偶函数，∴，解得：，.又∵，∴.故选：B.7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得，再将它的图象向右平移个单位长度，得，因为函数为奇函数，所以，即，又因，所以当时，.故选：B.8．（2023·河南驻马店·高一校联考期中）设，，，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，且在上递增，∴，而，所以，∴．故选：B．二、多选题9．（2023·广东深圳·高一校考阶段练习）若，则m的值可能是（

）A．－3 B．1 C．－2 D．5【答案】ACD【解析】因为，所以，当时，，当且仅当，即，即时取等号，所以；当时，，，即，当且仅当，即，即时取等号，所以；综上