7.2 三角函数概念（十六大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页7.2三角函数概念课程标准学习目标（1）通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．（2）能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，提升逻辑推理素养.（3）借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式，提升直观想象和数学抽象素养.（1）通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.（2）借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.（3）根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式；（4）理解诱导公式的推导过程.知识点01三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．【即学即练1】（2023·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则点到原点的距离为，则.故选：D.知识点02三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．【即学即练2】（2023·高一课时练习）已知是第二象限角，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵θ是第二象限角，∴,∴∴是第一或第三象限角，可得.故选：C.知识点03单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段．知识点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．【即学即练3】（2023·高一校考课时练习）利用三角函数线比较大小(1)与；(2)与；(3)与.【解析】（1）与对应的三角函数线分别为有向线段如下图所示：故，（2）与对应的三角函数线分别为有向线段由图可得：．（3）与对应的三角函数线分别为有向线段所以知识点04同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．【即学即练4】（2023·新疆和田·高一校考阶段练习）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值为【答案】/【解析】由是第四象限角，则，.故答案为：.知识点05诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．【即学即练5】（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值.【解析】因为，且，则，所以，，故.题型一：三角函数的定义例1．（2023·高一课时练习）已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为角终边上一点的坐标为，所以有，因为，所以角是第四象限角，所以角的最小正值为，故选：D例2．（2023·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.例3．（2023·贵州遵义·高一校联考阶段练习）已知角α的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】即，则故选：B变式1．（2023·江西抚州·高一统考期末）若角的终边经过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为角的终边经过点，则，所以，所以.故选：A变式2．（2023·四川成都·高一统考期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，所以，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：C.变式3．（2023·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C变式4．（2023·安徽芜湖·高一校联考期中）已知角的终边过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为角的终边过点，且，则，且，解得.故选：C.【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．（3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．题型二：判断三角函数值的符号例4．（2023·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）已知，则函数的值可能是（

）A．1 B． C．4 D．【答案】B【解析】若为第一象限角，则，故，若为第二象限角，则，故，若为第三象限角，则，故，B正确；若为第四象限角，则，故.故选：B例5．（2023·全国·高一专题练习）若角的终边过点，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵角的终边过点，为第三象限角，∴，，，∴故选：C．例6．（2023·云南普洱·高一校考阶段练习）的值为（

）A．负数 B．正数 C．0 D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，，，所以，故选：A变式5．（2023·安徽六安·高一校考阶段练习）若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为是第三象限角，所以，所以，A正确；所以，B错误；所以，C正确；所以，D正确.故选：B.变式6．（2023·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）若角的终边过点，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为角的终边过点，所以，即C正确；又，符号不确定，即A,B不正确；，符号不确定，即D不正确.故选：C.【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）若，，则的终边在（

）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或在x轴的非负半轴上D．第二、四象限或在x轴上【答案】D【解析】因为，可得，则是第一、四象限或x轴正半轴，又因为，可得，则是二、四象限或x轴，所以是第四象限或x轴正半轴，所以，可得，令，可得，则在二象限或x轴负半轴；令，可得，则在四象限或x轴正半轴，综上可得，的终边在第二、四象限或在x轴上.故选：D.例8．（2023·甘肃武威·高一校考期中）若且，则为第（

）象限的角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【解析】由三角函数的定义可知，时在第一、四象限；时在第二、四象限，所以且时，在第四象限.故选：D例9．（2023·山东·高一山东师范大学附中校考期中）已知，，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角的终边位于第四象限.故选：D.变式7．（2023·北京·高一北京市第九中学校考期中）在中，为钝角，则点（

）A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【解析】因为中，为钝角，所以为锐角，可得，，所以点在第四象限.故选：D．变式8．（2023·广西河池·高一校联考阶段练习）已知点是第三象限的点，则的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】∵点是第三象限的点，∴，，由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；由可得，的终边位于第一象限或第三象限，综上所述，的终边位于第三象限．故选:C变式9．（2023·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）若，，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由可知角的终边在第一象限或者第三象限，当角的终边在第一象限时，，此时，不符合要求，当角的终边在第三象限时，，此时，符合要求，所以角的终边在第三象限，故选：C变式10．（2023·江西抚州·高一校联考期中）已知是第四象限的点，则角的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为是第四象限的点，所以，，所以角的终边位于第二象限.故选：B【方法技巧与总结】确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的三角函数值的符号，确定角所在象限．题型四：三角函数线的应用例10．（2023·全国·高一随堂练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）作出单位圆，交角的终边于，过作轴，交轴于，过点作轴平行线，交角的终边于，如图：则角的正弦线为、余弦线为、正切线为；（2）作出单位圆，交角的终边于，过作轴，交轴于，过点作轴平行线，交角的终边于，如下图：则角的正弦线为、余弦线为、正切线为；（3）作出单位圆，交角的终边于，过作轴，交轴于，过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图：则角的正弦线为、余弦线为、正切线为；（4）作出单位圆，交角的终边于，过作轴，交轴于，过点作轴平行线，交角的终边的反向延长线于，如下图：则角的正弦线为、余弦线为、正切线为．例11．（2023·全国·高一随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．(1)；(2)．【解析】（1）如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，.设的终边落在射线上，的终边落在射线上，，根据三角函数的定义可知，，，，所以，，.又当的终边落在射线或上时，有，所以，满足条件的的集合为.（2）如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，.设的终边落在射线上，的终边落在射线上，，根据三角函数的定义可知，，，，所以，，.根据图2可知，当，且时，有.所以，当时，由可得，.例12．（2023·高一课时练习）求的角的取值范围.【解析】因为tan和tan都等于，利用三角函数的正切线（如图）可知，角的终边在图中阴影部分（不包含y轴），将终边所在的所有区域合并得，，即满足的角的取值范围为变式11．（2023·高一课时练习）利用三角函数线说明(1)当时，求证：；(2)若，则.【解析】（1）在直角坐标系中作出单位圆，的终边与单位圆交于P，的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则，．因为，，，又所以，即．（2）如图所示，设单位圆与角的终边分别交于，作轴于，作轴于，作于C，连接，则，所以，即．变式12．（2023·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：(1)且；(2)．【解析】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：由图（1）知当且时，角满足的集合.（2）由图（2）知：当时，角满足的集合，即；所以的解集为.变式13．（2023·高一课时练习）在单位圆中，角，的正弦线分别为，，若，求，之间的等量关系．【解析】由三角函数的定义知：，又，∴，∴，∴或，，∴或，.变式14．（2023·高一课时练习）求函数的定义域．【解析】要使原函数有意义，有，即．如图，在单位圆中由可知角x的终边落在由OA，OB及劣弧AB围成的区域内（不含边界）．由可知角x的终边落在由OC，OD及优弧CD围成的区域内（含边界），所以，所以原函数的定义域为．【方法技巧与总结】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用．题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2023·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以故选：C例14．（2023·全国·高一专题练习）点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以点Q是角的终边与单位圆的交点，所以Q，又角的终边与的终边是相同的，所以，，所以.故答案为：A例15．（2023·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，作出半径为的圆，由题意，，过作轴于点，则故选：B变式15．（2023·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，点的横坐标为，所以，即，所以，设点的横坐标为，则.故选：B变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠，同时从点出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠按逆时针方向每秒钟转弧度，滚珠按顺时针方向每秒钟转弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠，第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠，各自滚动的路程．【解析】（1）设、第一次相遇时所用的时间是，则，（秒，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为，则，，点的坐标为，（2）第一次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为，故第二次相遇时，点滚动的路程为，点滚动的路程为．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解题型六：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例16．（2023·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）设为第二象限角，若，则.【答案】/【解析】为第二象限角，则，，若，则有，解得，所以.故答案为：.例17．（2023·新疆·高二统考学业考试）若，且为第二象限角，则．【答案】/【解析】因为，且为第二象限角，所以.故答案为：例18．（2023·北京昌平·高一北京市昌平区前锋学校校考期中）已知，，则【答案】【解析】因为，可得，故答案为：.变式17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知，为第三象限角，则的值为.【答案】【解析】由题意可得，，即，且为第三象限角，则，，所以.故答案为：.变式18．（2023·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）已知，则.【答案】【解析】由结合条件可得，再由可得解.由，可得，所以，故答案为：.【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”进行变形，如等．（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．题型七：已知的值，求关于、的齐次式的值问题例19．（2023·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.【答案】【解析】因为，则.故答案为：.例20．（2023·浙江宁波·高一统考期中）设为实数，满足，则．【答案】/【解析】依题意，，所以.故答案为：例21．（2023·高一课时练习）若，则.【答案】【解析】，，解得：.故答案为：.变式19．（2023·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）若，则.【答案】【解析】，.故答案为：.变式20．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知，则的值等于；【答案】4【解析】．故答案为：4.变式21．（2023·高一单元测试）已知，则＝.【答案】【解析】因，则，又，则.故答案为：变式22．（2023·河北张家口·高一统考期中）已知，则．【答案】/【解析】由题知，即，∴，且，∴，故答案为：变式23．（2023·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知，则．【答案】/【解析】.故答案为：变式24．（2023·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）若，则．【答案】/0.4【解析】，解得，.故答案为：变式25．（2023·全国·模拟预测）已知，则.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：变式26．（2023·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考开学考试）已知，则的值是.【答案】【解析】因，则.故答案为：【方法技巧与总结】①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．题型八：与关系的应用例22．（2023·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C例23．（2023·广东汕头·高一校考期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，.故选：D.例24．（2023·高一单元测试）已知，A为第四象限角，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】可得，..又

A为第四象限角，又所以，.所以.答案：C.变式27．（2023·高一校考课时练习）若是的一个内角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以，所以，则，故选：A.变式28．（2023·江西上饶·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，平方得，又故，则．故选：B.变式29．（2023·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，平方可得，可得，因为，所以，所以，又由，所以.故选：B.变式30．（2023·江苏南通·高一统考期中）已知与是方程的两个根，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】与是方程的两个根，，两边平方得：，，得．即．故选：D．变式31．（2023·河南南阳·高一统考阶段练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为①，两边平方得，故，所以与异号，又，所以，，所以②，由①②解得，所以．故选：C变式32．（2023·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知，是关于x的方程的两个根，则的值为（

）A．随的变化而变化 B．C． D．【答案】D【解析】因为，是关于x的方程的两个根，所以，所以，又因为，所以，所以，由题意，是关于x的方程的两个根，所以或，所以，所以，故选：D.变式33．（2023·海南·高一海南华侨中学校考期末）若，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，.所以，.又，所以，所以.故选：A.变式34．（2023·山东烟台·高一统考期末）已知为第二象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以，，又，所以，即，得，所以.故选：C.【方法技巧与总结】三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．题型九：利用同角关系化简三角函数式例25．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例26．（2023·全国·高一随堂练习）化简：．【解析】由题知，，得且，当时，，原式；当时，，，原式；当的终边不在坐标轴上时，有，所以，原式当为第一象限角时，原式；当为第二象限角时，原式；当为第三象限角时，原式；当为第四象限角时，原式.综上，当时，原式；当为第二象限角时，原式；当为第三象限角时，原式；当为第四象限角时，原式.例27．（2023·全国·高一随堂练习）已知，求的值．【解析】由，平方可得，可得，又由，可得，因为当时，可得；当时，可得.变式35．（2023·江西萍乡·高一统考期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）∵，∴，又∵，∴，又，∴，，∵，∴；（2）∵，∴．变式36．（2023·全国·高一随堂练习）化简．(1);(2)【解析】（1）由同角的平方关系可得，.（2）原式变式37．（2023·全国·高一课堂例题）化简：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）因为，所以．原式．【方法技巧与总结】化简要求（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．题型十：利用同角关系证明三角恒等式例28．（2023·全国·高一随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）.故成立.（2）故成立.（3）.故成立.例29．（2023·全国·高一随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）左边==右边，故得证，（2）左边==右边，故得证，（3）左边==右边，故得证，（4）左边==右边，故得证例30．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求证：.【解析】因为，，因此，所以.变式38．（2023·河南许昌·高一校考期中）证明：.【解析】左边右边.所以.变式39．（2023·高一单元测试）求证:.【解析】方法一:左边======右边.方法二:左边=====

=右边.【方法技巧与总结】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．题型十一：利用诱导公式求解给角求值问题例31．（2023·山西·高三校联考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，故选：D.例32．（2023·重庆·高一统考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B例33．（2023·浙江温州·高一校联考期中）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故选：D.变式40．（2023·河南周口·高一校联考期末）的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.变式41．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A变式42．（2023·全国·高一专题练习）______．【答案】【解析】.故答案为:.变式43．（2023·全国·高一课时练习）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．题型十二：利用诱导公式求解给值求值问题例34．（2023·上海崇明·高三校考阶段练习）化简：.【答案】【解析】∵，，，，，∴.故答案为：.例35．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知，，且为第二象限角，则.【答案】/【解析】因为，，且为第二象限角，则，解得或，因为，整理可得，即，解得（舍）或，所以，，，所以，，因此，.故答案为：.例36．（2023·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知的终边上有一点，则的值为.【答案】/【解析】因为的终边上有一点，可得则.故答案为：.变式44．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知是第三象限角，且，则．【答案】2【解析】由得，解得或，又是第三象限角，所以，故．故答案为：2变式45．（2023·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若．则.【答案】【解析】由题意，，解得：，故答案为：.变式46．（2023·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）若，则.【答案】/【解析】由，得，解得，而，则，所以.故答案为：变式47．（2023·陕西榆林·高二校联考期末）已知，则.【答案】/【解析】因为，所以原式故答案为：.变式48．（2023·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与射线（）重合，则.【答案】【解析】由题意，，且，，则由，解得，则.故答案为：.【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型十三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例37．（2023·全国·高一专题练习）（1）化简：.（2）化简；（3）化简．（4）化简；（5）化简；（6）已知，求的值.【解析】（1）原式＝；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）由可得，.例38．（2023·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)．【解析】（1），，，故，故.（2）.例39．（2023·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.变式49．（2023·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）原式.【方法技巧与总结】三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成，，的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型十四：诱导公式在三角函数证明中的应用例40．（2023·高一课时练习）证明:.【解析】左边==右边，故原等式成立.例41．（2023·高一课时练习）证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）左边==右边，原式成立.（2）左边=右边，原式成立.（3）左边=右边，原式成立.（4）左边=右边，原式成立.（5）左边=右边，原式成立.（6）左边=右边，原式成立.例42．（2023·高一课时练习）证明：【解析】证明：原式.【方法技巧与总结】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型十五：诱导公式的综合应用例43．（2023·全国·高一专题练习）已知，且为第三象限角．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，且为第三象限角，结合可知.（2）由诱导公式可知，，，，因此由题意有.例44．（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【解析】（1），因为，所以，又，所以．（2）由（1）知，因为，所以，令，则，，所以例45．（2023·河南驻马店·高一校考阶段练习）（1）已知且有意义，若角的终边与单位圆相交于点，求的值及的值；（2）是否存在角，使等式同时成立.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（注：对任意角，有成立）【解析】（1）因为，所以，所以是第三或第四象限角或y轴的非正半轴上的角，因为有意义，所以，所以是第一或第四象限或x轴的非负半轴上的角，综上可知，角是第四象限角，因为点在单位圆上，所以，解得，又是第四象限角，故，从而，根据正弦函数的定义，可知；（2）因为等式同时成立，利用诱导公式化简得，两式平方后相加得，因为，所以可得，即，因为，所以或.当时，代入得，又，所以，此时也符合等式；当时，代入得，又，所以，显然此时不符合等式，综上所述，存在，满足条件.变式50．（2023·贵州遵义·高一统考期中）已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点.(1)求实数m的值；(2)，求的值.【解析】（1）由点在单位圆上，则，解得，由点在第二象限角的终边上，则.（2）由点是角的终边与单位圆的交点，则，，，.变式51．（2023·高一课时练习）（1）已知是方程的根，求的值；（2）已知，，且，，求和的值.【解析】（1）由得：，，，，，，；（2）由得：…；由得：…；得：，，解得：，又，或，当时，，，又，；当时，，，又，；综上所述：或.变式52．（2023·高一课时练习）已知是关于x的方程的两实根，且，求的值.【解析】∵是关于的方程的两实根，∴由韦达定理得，解得.又∵∴∴(舍去)，∴或，∵，∴或∴.【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型十六：利用互余互补关系求值例46．（2023·安徽阜阳·高一统考期末）若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，则，因为，所以，所以.故选：A例47．（2023·四川乐山·高一期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且，则，则，所以，且，所以.故选：A例48．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.故选：A.变式53．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）已知是第二象限，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由是第二象限，得，则，又，所以，所以.故选：A.变式54．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且，所以，故选：.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等．一、单选题1．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】显然，因此，从而，对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；对于C，因为为第三象限角，所以，C可能；对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）给出下列各式的值：①；②；③；④其中符号为负的是（）A．① B．②④ C．①③④ D．①②③【答案】D【解析】根据三角函数定义以及弧度制可知，即5弧度在第四象限，所以可得①；易知是第二象限角，所以，因此可知②；易知，且位于第四象限，所以③；根据三角函数定义可知，所以④；因此符号为负的是①②③故选：D．3．（2022上·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角函数的定义可得，则.故选：D4．（2023上·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以,且，所以，即，，所以，故选：B5．（2023上·高一课时练习）已知，且为第二象限角,，则的值为（

）A．－ B．－C． D．－【答案】C【解析】因为，且为第二象限角，所以，则故选:C.6．（2023上·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）若的内角A，B，C满足，则A与B的关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且A，B，C为的内角，因为所以所以或，若，则，此时不存在，故舍去；∴.故选：A.7．（2023下·北京石景山·高一北京市第九中学校考期末）若是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】C【解析】A是三角形的一个内角，∴，又，平方得解得，故．为钝角，即三角形为钝角三角形．故选：C．8．（2023下·辽宁大连·高一统考期末）1988年3月14日，LanyShaw在旧金山科学博物馆组织举办了最早的大型以为主题的活动，之后博物馆继承了这一传统，后来3月14日成为了国际圆周率日（日）.历史上，求圆周率的方法有多种，其中的一种方法：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照这种方法，的近似值的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】单位圆的内接正边形的边长为，则其内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的边长为，则其外切正边形的周长为，则有.故选：B.二、多选题9．（2022下·广东深圳·高一校考阶段练习）下列计算