有限元课件第5讲结构单元

第5讲结构单元本讲介绍有限元方法中结构单元的概念。结构单元是将连续结构离散化后的基本单元，其形状和大小取决于具体问题。结构单元的类型包括杆单元、梁单元、板单元、壳单元和实体单元等。ffbyfsadswefadsgsa1.单元概述有限元方法的核心是将连续的结构离散为若干个单元，单元是有限元方法的基本单元，是构成有限元模型的基本单元。单元是有限元分析的基础，单元的精度、稳定性和效率直接影响有限元分析的精度和效率。1单元有限元分析的基础2单元类型三角形、四边形、三棱柱、六面体3单元性质刚度、质量、载荷2.单元几何建模1单元形状单元形状根据实际结构的几何形状选择，例如梁单元、板单元、壳单元、实体单元等。2节点位置节点是单元的连接点，需要根据单元形状和实际结构进行确定，每个节点代表一个自由度。3单元尺寸单元尺寸取决于结构的复杂程度和计算精度要求，过小的尺寸会导致计算量增加，过大的尺寸会导致精度下降。3.单元类型杆单元杆单元用于模拟一维结构，例如梁和柱。它具有两个节点，每个节点有三个自由度：轴向位移、横向位移和扭转角。梁单元梁单元用于模拟承受弯曲和剪切力的二维结构，例如梁和板。它具有两个或多个节点，每个节点有六个自由度：轴向位移、横向位移、扭转角、横向旋转、轴向旋转和垂直旋转。壳单元壳单元用于模拟具有曲面的薄壁结构，例如薄壳和圆柱。它具有多个节点，每个节点有六个自由度，类似于梁单元。实体单元实体单元用于模拟三维结构，例如固体和流体。它具有多个节点，每个节点有三个自由度：轴向位移、横向位移和垂直位移。4.单元坐标系1局部坐标系便于单元内部计算2全局坐标系描述结构整体3坐标转换连接局部与全局单元坐标系是有限元分析中的重要概念，它分为局部坐标系和全局坐标系。局部坐标系是用于描述单元内部几何形状和节点位置的坐标系，便于单元内部计算。全局坐标系是用于描述结构整体几何形状和节点位置的坐标系，描述整个结构的变形和应力。为了将单元内部的计算结果转换为结构整体的分析结果，需要进行坐标转换，将局部坐标系中的信息转换为全局坐标系中的信息。5.单元节点1节点定义单元节点是单元的几何边界点，每个节点对应一个或多个自由度，表示单元在该点处的位移或旋转。2节点编号单元节点通常按照顺序进行编号，方便进行单元组装和有限元计算。3节点坐标每个节点都具有其在全局坐标系下的坐标，用于确定单元的几何形状和尺寸。6.单元变形节点位移单元变形指的是单元中节点位移导致的几何形状变化。应变节点位移会导致单元内部产生应变，反映了单元内部材料的形变程度。应力应变会引起单元内部产生应力，反映了单元内部材料所承受的内力。7.单元应变单元应变是指单元内各点位移引起的变形量。应变是描述材料变形程度的物理量。在有限元分析中，单元应变通常用应变矩阵表示。1应变定义应变是材料变形程度的描述2应变矩阵用矩阵表示单元应变3应变计算根据节点位移计算应变单元应变的计算方法取决于单元类型和所采用的应变理论。应变矩阵中的元素对应着不同方向上的应变分量。应变分析是有限元分析中重要的步骤，它可以帮助我们了解结构的变形情况，并进而分析结构的承载能力。8.单元应力1应力定义单元内部应力的计算和分析2应力类型正应力、剪应力3应力分布单元内部应力分布规律单元应力是有限元分析中重要的结果之一，它反映了单元内部的受力状态。应力定义为单位面积上的内力，可以分为正应力和剪应力两种。应力分布规律可以通过应力分析软件来获取，它可以帮助我们了解单元内部的应力集中区域和受力情况。9.单元刚度矩阵1概念单元刚度矩阵表示单元在节点位移作用下的刚度特性。该矩阵通过单元材料性质、几何形状和节点位置等信息计算得到。2作用单元刚度矩阵用于建立有限元方程，将单元的变形和应力与节点位移联系起来。它是有限元分析中的重要组成部分。3计算单元刚度矩阵通常采用数值积分方法计算。可以通过不同的积分方法和数值积分点来提高计算精度。10.单元质量矩阵1质量矩阵定义描述单元质量特性2计算方法积分方法得到质量矩阵3应用场景动力学分析、振动分析4矩阵特点对称矩阵、稀疏矩阵单元质量矩阵是有限元分析中用于描述单元质量特性的矩阵。它可以通过积分方法获得，并用于动力学分析和振动分析。单元质量矩阵是一个对称矩阵，并且通常是稀疏矩阵，这意味着它包含大量零元素。11.单元载荷向量单元载荷向量是有限元分析中表示作用在单元上的外力的向量。1集中力点作用力2分布力面、线作用力3体积力重力、惯性力单元载荷向量是将单元上的外力转化为节点上的等效力的向量，为求解有限元方程提供必要的信息。12.单元坐标转换全局坐标系全局坐标系是整个结构的参考坐标系，用于描述结构的整体几何形状和运动。局部坐标系局部坐标系是针对每个单元定义的，用于描述单元内部的几何形状和变形。坐标转换矩阵将局部坐标系中的坐标转换为全局坐标系中的坐标需要使用坐标转换矩阵。转换公式坐标转换公式用于将局部坐标系中的节点坐标和变形量转换为全局坐标系中的对应值。13.单元自由度1节点位移节点在X、Y、Z方向上的位移2节点转角节点绕X、Y、Z轴的转角3单元自由度所有节点自由度的总和单元自由度是指单元内所有节点的自由度之和。每个节点在空间中有六个自由度，即三个方向上的位移和三个方向上的转角。单元自由度直接影响着单元刚度矩阵和质量矩阵的尺寸。14.单元边界条件1固定约束节点位移为零2自由约束节点位移可以变化3载荷约束节点上施加外部力单元边界条件定义了单元边界上的物理约束。单元边界条件可以是固定约束、自由约束或载荷约束。固定约束是指节点位移为零，自由约束是指节点位移可以变化，载荷约束是指节点上施加外部力。边界条件决定了单元的运动方式，影响了单元的应力、应变和位移。15.单元类型选择1单元类型概述单元类型是有限元分析中一个重要的概念。不同的单元类型具有不同的形状、节点数和自由度。在选择单元类型时，需要根据问题的具体情况进行权衡。2单元类型选择原则选择单元类型需要考虑精度、效率和计算成本等因素。精度指的是单元类型对真实解的逼近程度。效率指的是单元类型所需的计算时间和存储空间。计算成本指的是进行有限元分析所需的硬件和软件资源。3常见单元类型常用的单元类型包括三角形单元、四边形单元、三维实体单元等。在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的单元类型。16.单元网格划分网格划分方法单元网格划分是有限元分析的关键步骤，选择合适的网格划分方法可以有效提高分析精度和效率。常用的网格划分方法包括结构化网格划分和非结构化网格划分。网格尺寸选择网格尺寸的选择会影响分析精度和计算时间，需要根据具体问题进行权衡。一般情况下，网格尺寸越小，分析精度越高，但计算时间也越长。网格质量评估网格质量会直接影响分析结果，需要对网格质量进行评估，确保网格质量满足分析要求。17.单元尺寸选择单元尺寸选择是有限元分析中一个重要的环节，它直接影响着计算结果的精度和效率。1网格密度细化网格，提高精度2单元类型选择合适的单元类型3几何形状考虑几何形状复杂度4计算资源平衡精度和效率单元尺寸选择需要综合考虑网格密度、单元类型、几何形状和计算资源等因素，最终目标是在保证计算精度的前提下，尽可能提高计算效率。18.单元积分数值积分方法有限元分析中，单元积分通常采用数值积分方法，如高斯积分法，以计算单元的刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量。积分精度积分精度会影响有限元分析结果的准确性，需要根据单元类型、材料属性和问题类型选择合适的积分点和权重。积分误差数值积分方法会引入积分误差，需要在精度和效率之间权衡选择，并进行误差分析以保证分析结果的可信度。19.单元误差分析1误差来源单元误差源于近似假设和数值计算。近似假设包括单元形状、材料属性和边界条件。2误差类型误差类型包括截断误差、舍入误差和离散化误差。截断误差由近似假设产生，舍入误差由计算机精度限制产生，离散化误差由有限元离散化产生。3误差评估误差评估通过比较解析解和数值解，或通过网格加密测试来进行。误差评估可以帮助判断数值解的可靠性。20.单元收敛性1网格加密单元数量增加2误差减小逼近真实解3收敛性单元数量趋于无穷单元收敛性是指当单元数量趋于无穷大时，有限元解趋于真实解的性质。网格加密可以提高单元数量，从而减少误差，最终达到收敛状态。收敛性是有限元方法有效性的重要保证，确保计算结果的准确性。21.单元稳定性1稳定性单元解的稳定性2收敛性单元解的收敛速度3误差单元解的误差大小单元稳定性是指在有限元计算过程中，单元解是否能保持稳定，避免出现振荡或发散现象。影响单元稳定性的因素包括单元的形状、尺寸、节点位置、边界条件等。单元解的稳定性与单元的收敛性密切相关。收敛性是指随着网格尺寸的减小，单元解是否能逐渐逼近真实解。稳定性是收敛性的必要条件，但不是充分条件。22.单元锁定单元锁定是指在有限元分析中，由于单元形状、单元类型或单元积分方法的选择不当，导致单元在某些变形模式下出现过度的刚性，从而无法正确模拟结构的实际变形行为。1单元形状形状不规则2单元类型低阶单元3积分方法积分点数过少单元锁定会影响分析结果的准确性，甚至会导致计算发散。因此，在进行有限元分析时，应注意选择合适的单元类型、形状和积分方法，避免单元锁定现象的出现。24.单元选择原则精度要求单元精度影响结果的准确性。高精度单元可以模拟更复杂的情况，但计算量也会增加。计算成本单元数量和类型直接影响计算成本。选择合适的单元可以降低计算时间和资源消耗。建模复杂度复杂模型需要更复杂的单元才能准确模拟。选择能满足模型需求的单元至关重要。经验积累丰富的实践经验可以帮助工程师选择最佳的单元类型。24.单元优化1单元形状优化尽量选择形状规则的单元，例如三角形或四边形。避免使用长条形或扭曲形状的单元，因为这些单元容易导致计算精度下降。2单元尺寸优化单元尺寸应根据问题的尺度和精度要求来选择。单元尺寸过小会导致计算量过大，而单元尺寸过大则会导致精度不足。3单元类型优化选择合适的单元类型取决于问题的类型和边界条件。例如，对于线性弹性问题，可以选择线性三角形单元或线性四边形单元。对于非线性问题，则需要选择更高阶的单元。25.单元退化单元退化是指在有限元分析中，将高阶单元简化为低阶单元的过程。单元退化可以提高计算效率，但也可能降低分析精度。1单元降阶高阶单元转换为低阶单元2节点减少减少单元节点数3计算简化简化单元矩阵计算4效率提升降低计算时间单元退化是有限元分析中常用的优化技巧，可以有效提高计算效率。在进行单元退化时，需要权衡计算效率和分析精度之间的关系。27.单元退化处理识别退化单元在有限元分析中，单元退化指的是单元形状发生畸变，导致单元的几何形状和物理性质发生变化，从而影响分析结果的准确性。单元质量检查使用有限元软件中的单元质量检查功能，对网格进行检查，识别出形状异常的单元。网格重划分针对退化单元进行网格重划分，通过增加节点数量或调整单元形状，改善单元的几何形状。单元类型调整如果网格重划分无法有效解决退化问题，可以考虑调整单元类型，例如使用更高阶单元或更适合处理特殊形状的单元。27.单元应用案例1梁单元梁单元广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域。它可以用于模拟梁的弯曲、剪切和扭转行为。2板单元板单元用于模拟板的弯曲、剪切和拉伸行为。它在建筑、航空航天、船舶等领域应用广泛。3壳单元壳单元可以模拟薄壳结构的弯曲、剪切和膜力。它应用于汽车、飞机、船舶等领域。28.单元建模技巧11.网格划分合理划分网格，保证精度22.单元选择根据结构类型选单元33.边界条件准确定义边界约束44.载荷定义模拟真实载荷分布单元建模技巧对有限元分析结果至关重要。合理划分网格，选择合适的单元类型，准确定义边界条件和载荷分布，可以有效提高分析精度和效率。29.单元建模注意事项单元类型选择选择合适的单元类型，如三角形单元、四边形单元等，需要考虑模型的几何形状、精度要求和计算效率。网格划分策略合理划分网格，保证网格质量，避免过大或过小的单元尺寸，影响计算结果的准确性和收敛性。边界条件处理正确定义边界条件，如固定约束、载荷条件等，确保模型边界条件与实际情况相一致。单元尺寸控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