介观物理第二章

介观物理——

量子输运和Anderson局域化7/17/20241OutlineAnderson局域化和Mott迁移率边局域化区的热激发电导Thouless表象和导线中的局域化及有限温度效应局域化的标度理论弱局域化退相干的基本原理7/17/202422.1Anderson局域化和Mott迁移率Background

弱散射理论——可以成功的描述较纯金属导体的电导率与杂质和温度的关系。但当杂质浓度非常高时，杂质散射强度增加，将出现弱散射理论不能解释的奇异现象。Eg：电阻率在低温下与温度有很弱的依赖关系，但进一步降低温度它却随温度的降低而增加。而弱散射理论声子的散射在温度降低时被压制，静态的杂质散射不依赖温度。弱散射理论总是预言dρ/dT>0

杂质浓度很高的介观金属系统，当电阻率大于一定值时，dρ/dT<0，即电阻率随温度降低而增加。且该现象普适。7/17/20243Yoffe-Regel判据建立在弱散射理论基础上的Drude电导率：只有λF=2π/KF<<l=VFτ时，量子涨落很小，公式才有效。即满足对于三维金属，利用电子密度与费米波矢n=KF3/(3π2)，得到电导率满足的条件：它表示弱散射理论的适用条件7/17/20244Anderson转变无序（反应杂质浓度大小的一个参量）是研究导体输运性质的一个重要参量。由于无序而导致的系统从金属态到绝缘态的转变称为Anderson转变。研究具有较强无序系统的电子输运性质的理论称为Anderson局域化理论。它可以很好地解释电阻率在低温时的行为，并预言并不存在真正的一维和二维金属导体。7/17/20245无序系统的描述通常用无规势V(r)来描述无序系统另一个描述无序的方式是取无规变化的周期势，称为Anderson模型，其哈密顿量Anderson模型是一个紧束近似模型。电子在格点的能量εi或跃迁能量tij或两者都可以取做无规变量7/17/20246Anderson模型在Anderson模型中，取tij=V(常量)，εi取独立无规变化量，其分布几率为：比值W/V用作测量系统的无序强度。

W/V很大时，无序很强，电子被限制在一个小区域内而不能扩展到整个系统，电子处于局域态。

W/V很小时，表示无序很弱，电子可以运动到整个区域，表示电子处在扩展态。7/17/20247Anderson局域化在无限大系统中，在t=0时刻的格点i上有一个电子，经过很长时间t（远大于任何微观时间）以后，在i格点上如果找到这个电子的几率为零，就说明这个电子离开了这个格点在系统中传播，电子处于扩展态；如果在这点找到电子几率不为零，而为一个有效值，表明电子处在i格点附近的稳定局域态。7/17/20248微扰理论研究Anderson模型的哈密顿量用微扰理论研究上面的哈密顿量。对于足够强的无序，类似于束缚态的形成，出现一个局域态，对应的波函数的包络当远离局域化中心时指数衰减。第一项为非微扰量，而取tij为微扰，通过微扰展开可以得到电子自能的级数表达式。7/17/20249Anderson判据对于足够大的W/V,即当W/V大于某一数值时，W/V>W/V|c,电子自能的级数表达式是收敛的，W/V|c的上限满足条件：

即Anderson判据现在一般认为对于足够强的无序，使W/V满足Anderson判据，系统的所有态都是局域化的。7/17/202410电子自能在格点i=0，电子的定域格林函数为：Σ(E)是电子自能。如果电子自能虚部为0，则Σ(E)为一个常数，则电子的定域格林函数没有衰减，这说明电子处在以i=0为中心的局域态。如果自能的虚部为一个有限值，则电子的定域格林函数随时间衰减，标明电子离开i=0的格点而传播到整个系统，电子处在扩展态。7/17/202411Mott迁移率边Mott认为，对于中等程序或较弱的无序在能带边缘的态由于无序可能成为局域态而在能带中心附近时扩展态。拓展态和局域态通过迁移率边Em1和Em2分开。7/17/202412Mott迁移率边拓展态和局域态不可共存，否则任何小的相互作用都可使它们交叠而组成新的扩展态。当W/V增加时，迁移率边相互接近，并且在某一极限值时融合，这是所有的态变成局域态，从而发生了Anderson转变。如果在EF附近全是局域态，那么在T=0，系统是绝缘体。通过改变电子的密度和无序强度，可以分别改变EF、Em1、Em2。只要EF从扩展态进入局域态，系统从金属相进入绝缘相——局域化理论很好解释了无序导体的反常性质。7/17/2024132.2局域化区的热激发电导假设:EF附近的态全是局域化；EF处于导带下部

。EF<Em1

，T=0，系统的电导率为0；有效温度时，系统中存在热激发电子，这些热激发电子可能参与下面几种过程对系统电导率有贡献。（1）激活到迁移率边（2）激活到近邻局域态（3）可变程跃迁（VRH）7/17/202414激活到迁移率边费米面附近的处在局域态的电子通过与声子的相互作用而获得的热能大于Em1-EF，电子被激活到扩展态上。产生的电导：7/17/202415激活到近邻局域态局域态局域化长度为ξ;费米能级附近的单位体积的态密度n(0);d维空间以ξ所围体积内的单位能量内的状态数为n(0)ξd，相邻能级差为：产生的电导率为：7/17/202416可变程跃迁（VRH）电子从一个局域态跃迁到一个相对距离L>>ξ的局域态，它对跃迁电导率的贡献应正比于两者波函数交叠矩阵元的平方I2e-2L/ξ（I是量级为△ξ的特征能量）。子系统尺度增大，在费米能级附近两相邻能级之差为：7/17/202417可变程跃迁（VRH）在距离为L的两个局域态之间的跃迁，其电导率应正比于e-2L/ξ-△L/KBT。在足够低的温度下，可以实现L>>ξ情况的跃迁，其最近跃迁距离LM可以通过取上式的极小值得到。在这样的温度下，VRH电导率为：7/17/202418局域化区的热激发电导T>T0：电导率的行为是σ1和σ2之间的竞争，通常σ2起主导作用；（Em1-EF）<△ξ，σ1主导作用。温度低于T0时，σ3起主导作用。7/17/202419电导率与频率关系Mott研究了在绝对零度的情况下，局域化相的电导率与频率的依赖关系：对于介观系统，当两个局域态距离R>介观系统的尺度时，电导率中可能出现频率—尺度转换。即当R>介观系统最大尺度时，对数因子不再依赖于频率。7/17/2024202.3Thouless表象和金属线的局域化及有限温度效应Thouless通过引入两个相关的能量来定义一个无量纲的电导，通过研究这个电导可以得到系统局域化的基本性质。Thouless的基本思想：一个体积为（2L）d的块体的本征态是一些体积为Ld的块体的本征态的线性组合，每个态在组合中的贡献大小依赖相应态的波函数的交叠积分和能量差。7/17/202421交叠积分如果把块体Ld在一个方向排成一个无穷的一维周期链，单个块体的能级被展宽而构成一个能带，能带的宽度将很好地用于估算交叠积分。带宽正好对应于块体Ld在周期或反周期边界条件下的相应的本征态的能量变化△E。如果块体Ld的本征态是局域的，△E对边界条件不敏感。（2L）d的本征态也是局域的。如果△E/△L很大，则（2L）d的本征态扩展到整个区域。7/17/202422电子隧穿结电导它适用于任何维数的系统。但严格来说，只有终态能级是连续的，上式才有效。但对于一般介观系统，能级不连续。因此假定，当介观系统与外界环境，如热库、电极等的耦合使分离能级的展宽要大于或至少与两相邻的能级差在同一量级，一般情况下这个假设是成立的。7/17/202423把一个系统分成许多边长为L的块体，假设L>>l，a。块体间的无量纲电导可以表达为这是Thouless的标度表象最重要的关系式。7/17/202424无量纲电导无量纲电导是一个表征系统局域化性质的一个重要参量当gL>>1：表示近邻块体中的电子有很强的耦合；当gL<<1：表示块体中的电子耦合很弱，基本上处于局域态。由此，我们可以利用在某一尺度是gL～1来定义局域化的长度ξ。7/17/202425金属线的局域化及有限温度效应假定电导GL∝L-1对一定范围的L是成立的，当弹性散射平均自由程l≥Lc（Lc通过GLc≈e2/2ℏ来定义），可以得到当L>>Lc,gL<<1,表明系统的长度标度Lc出现局域化。局域化长度的表达式：7/17/202426根据局域化长度的定义得到局域化长度的表达式局域化长度的量级等于弹性散射平均自由程乘上导线横截面内的电子数。电子处于局域化态，金属细导线的电阻将随它的长度指数增加。只有温度足够低足以使电子在运动时感觉不到温度效应，上面的强局域化才会出现。7/17/202427温度趋于零时，特征弛豫时间τψ变得非常大，有关系式τψ∝T-P。对于一个扩散电子，经过时间t后，它走过的距离为√Dt。电子能感觉到强局域化效应，最小的位相相干长度Lψ=√Dτψ必须Lψ>>ξ;

Lψ<<ξ,则电子经过很多次非弹性散射才能感觉到局域化效应，显然局域化效应不强。7/17/202428有限温度效应对于足够低的温度T使τψ>ξ2/D(Tξ表示在τψ=ξ2/D时的温度)，则电子的运动主要是由局域化所控制的扩散过程，即步长为ξ，特征时间为τψ的无规行走。Tξ>>T0时，才能观测到上述电导率随温度变化行为。7/17/202429当温度T>Tξ,局域化效应较弱，在这种情况下，位相相干长度Lψ是一个重要的特征长度标度，在这个尺度内，电子做量子扩散运动。大于这个尺度，电子的运动是经典的，并由非弹性散射来控制。因此即使知道了绝对零度的量子力学的无量纲电导g（L）,它也仅仅对应于L≤Lψ的情况。7/17/2024302.4局域化的标度理论原则上，我们可以计算任意维数在绝对零度的系统的电导率。得到宏观电导率对温度的依赖关系：这个公式在尺度Lψ≤ξ内及系统的整个金属区都是成立的。在强局域化区，Lψ＞ξ,上式不成立。7/17/202431局域化的标度理论局域化标度理论——建立在无量纲电导在两端极限已知的内插式的唯象理论。假定无量纲电导g是描述系统的有效无序程度的唯一相关量。

g>>1系统良导体，满足欧姆定律

g<<1系统是绝缘体，g随尺度增加指数衰减7/17/202432标度理论在这两个极限下，g的行为是已知的，而在这两者之间是未知的，定义一个参量在g的中间区域，β(g)的取值是未知的。假定在整个L>>l,a的区域，g是唯一的相关量，且β(g)是g的函数，并在上式的两个极限值之间单调光滑的变化。7/17/202433一维、二维系统对于一维、二维系统，β(g)总是负的。g(L)随L的变化可以用β(g)随ln(g)的变化图表示，即“RG——流图”，可以显示g的变化趋势。7/17/202434当L<<ξ,可以得到一维宏观电导率和二维无量纲电导的表达式：从上式看到，当L增加时，首先得到弱局域化修正？？。但当L≥ξ，系统进入强局域化区，等式不再成立7/17/202435三维系统在三维系统中将发生金属——绝缘体转变，转变点对应于β(g)的零点β(gc)=0，这是一个不稳定的不动点。如果在某一小的尺度的电导等于gc，则在任何尺度下电导保持不变都等于gc。如果在某一小的尺度L0的电导g0>gc,当L增加，电导将沿着β(g)曲线移动到满足欧姆定律的电导极限。如果在某一小的尺度L0的电导g0<gc,当L增加，电导将沿着β(g)曲线移动到强局域化区，因此在β(g)的零点处发生金属——绝缘体转变。7/17/202436g(L)随L的变化可以用β(g)随ln(g)的变化图表示，即“RG——流图”，可以显示g的变化趋势。7/17/202437不动点gc周围的区域称为临界区标度化理论表明无序导致的金属——绝缘体转变是一个二级连续转变？？，而不是一个二级连续相变？？，因为在尺度L<ξ内电子在不动点附近两边的行为相同或相近。7/17/202438在临界区，三维金属导体的电导率的标度化理论结果表示为：下面的曲线表示在金属——绝缘体转换点，电导率随尺度L的变化形式。上面的曲线表示在金属区一边，电导率随L的变化。在微观区L0<L<ξ,电导率正比于1/L.在宏观区域L>ξ,前一项表示宏观电导率，后一项弱局域化修正。7/17/2024392.5弱局域化L<<ξ，电导率有：上式的结果是电导率σ对尺度L的依赖，这是在L<<ξ金属区对σ(L)为常数的行为偏移，是一种非欧姆定律的行为，由于这是进入局域化的(L>ξ)的前兆，一般称为弱局域化。7/17/202440在弱局域化区，对经典电导率的量子修正虽然很小，但是定量已知的。研究弱局域化的两种方法

1）标度化理论

2）将弱局域化解释成源于电子所受的相干背散射。两种方法的实质是一样的，都是表示电子的量子相干导致电导率的弱局域化修正，只是处理方法不同。7/17/202441标度化理论对于二维系统：电导的弱局域化修正为T0是对应于L0的特征温度参量（ξ>Lψ>>L>>L0）用电阻表示为：7/17/202442标度化理论对于一维和三维系统：其弱局域化修正可表示为实际上电子间的库仑相互作用也对电导有类似的修正，一般很难把它们区分开。但是库仑相互作用受外加磁场的影响很小，但弱局域化效应对外磁场非常敏感，因此一般通过测量磁阻来研究系统的弱局域化效应。7/17/202443弱局域化磁阻特征长度尺度lB——表征所加磁场的强弱。外加磁场使得电子波函数获得一个相因子，当电子在尺度lB所获得的相因子接近2π时，磁长度lB将变成一个重要的特征长度尺度。1）对于强磁场lB<<Lψ,lB是特征物理长度，电导率的弱局域化修正是：

2）对于弱磁场lB>>Lψ,Lψ是特征物理长度，外磁场对电导的修正正比于B27/17/202444相干背散射在经典输运理论中，电子从P点转移到Q点的几率是在所有可能的路径上的转移几率的总和。在量子力学中，在P和Q两点之间，电子所传播的路径是Feynman路径。经典路径仅是Feynman路径的极值路径。如果忽略所有Feynman路径上的几率幅间的干涉，这就回到了经典输运理论。电子从P点传输到Q点的总几率为:第二个等式的第一项是经典项，对应于经典输运理论；第二项是相关项，来自于量子力学修正。7/17/202445由于不同的Feynman路径，电子所受散射不同，因此几率幅的位相是无规变化的。存在一类特殊的Feynman路径，称为自交叉路径或时间反演路径，对于这些保持时间反演对称性的路径，电子几率幅的干涉非常重要。电子波函数从O点出发以相反的方向沿着自交叉路径传播再回到O点，这是一个具有时间反演对称性的闭合路径。7/17/202446弱局域化效应假设顺时针传播的几率为A，而逆时针传播的几率为A’，由于所经历的散射相同，如果只考虑杂质的弹性散射，两者有相同的相位改变，则电子回到O点的几率为：这表明电子回到O点的几率是不考虑相干时的两倍，这意味着电子扩散到其他点的几率减小，因此导致系统的电导率下降。这是弱局域化的直观的物理图像，这种时间反演路径的散射称为相干背散射。7/17/202447相干背散射导致电导率下降，但产生相干背散射的条件是要时间反演对称性，如果时间反演对称性受到破坏，则发生相干背散射的几率下降，甚至完全消失，从而电导率会增加。外磁场、自旋轨道耦合、磁性杂质散射破坏时间反演对称性，抑制发生相干背散射的自交叉路径，而使电导率增加，这是为什么在弱局域化区出现负磁阻的原因。7/17/202448金属镁薄膜的磁阻随其表面的金原子覆盖率的变化。7/17/2024492.6退相干的基本原理介观系统中的很多重要的现象都是由于粒子的量子相干所产生的，eg弱局域化区的电导率修正、普适电导涨落和正常金属环中的持续电流等。介观系统中，电子的量子相干性受外界环境的影响而被破坏，因此相干粒子只在一定时间内才保持相干性。位相相干时间τψ表示相干粒子保持相干性的平均时间。7/17/202450退相干通常有两种方式描述相干粒子与外界环境的耦合所导致的退相干。一种是相干粒子对环境的作用而失去相干性；另一种是环境对相干粒子的影响从而使它失去相干性