线性代数经管类教材

第二章矩阵矩阵是线性代数学中的一个重要的基本概念和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工具；矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性经济模型时，也都是一个十分重要的工具.本章讨论矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置、逆运算、初等变换等问题.§2.1

矩阵的概念一、线性方程组的概念含有n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组，它的一般形式为：（1）其中是未知量，是系数，是常数当(1)式中不全为0时，称为非齐次线性方程组；当(1)式中时，称为齐次线性方程组；线性方程组的系数与常数项按原位置可排为增广矩阵系数矩阵

由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作二、矩阵的概念注:矩阵是数表，行、列数不一定相等.

行列式是数，行数和列数相等.主对角线次对角线当m=n时，A称为n阶矩阵或n阶方阵当m=1时，称为行矩阵（向量）当n=1时，称为列矩阵（列向量）

元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或

.例如是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.三、几种常见的特殊方阵1、n阶上三角矩阵2、n阶下三角矩阵3、n阶对角矩阵不全为04、数量矩阵：主对角线上元素都相等的对角矩阵.5、单位矩阵：主对角线上元素都是1的对角矩阵.§2.2

矩阵运算一、同型矩阵与矩阵相等同型矩阵：行数和列数分别相等的矩阵.矩阵相等：对应元素相等的同型矩阵.记为：A=B例例1设解二、矩阵的加法和减法1.加法注：矩阵的加法、减法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加（减）时，对应元素进行相加（减）.设矩阵A=(aij)

，记

A=(

aij)，称

A为矩阵A的负矩阵.

由矩阵加法的定义，显然有A+(

A)=O，由此，矩阵的减法可定义为Ａ

B=Ａ+(

B)

设A

(aij)m

n

B

(bij)m

n是两个m

n矩阵

规定

A

B

(aij

bij

)m

n

设A

(aij)m

n

B

(bij)m

n是两个m

n矩阵

规定

A

B

(aij

bij

)m

n

2.减法

设A

B

C

O都是m

n矩阵

则(1)A

B

B

A

(2)(A

B)

C

A

(B

C)

(3)A

O

A

(4)A

(

A)

O

3.矩阵加法的运算律：三、数乘运算

设A

(aij)m

n

k为任意一个数

规定

kA

(kaij)m

n

注：矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数k与矩阵的每一个元素相乘.(1)

(A

B)

A

B

(2)(

)A

A

A

(3)(

)A

(

A)

由数乘矩阵运算的定义可知：数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积.矩阵数乘的运算律：

设

是数

则例1已知求2A-3B.例2已知且A+2X=B,求X.四、乘法运算设矩阵A=(aij)

m×k

、B=(bij)

k×n

，则矩阵A与B的乘积为一m×n

阶矩阵C=(cij)

m×n，记C=AB，且

就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。设例3求：C=AB.解：注意只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.BA没有意义

因为B的列数不等于A的行数

例4设矩阵求：AB、BA和AC.可以看出(1)AB

BA

(2)由AB

O不能推出

A

O或B

O

(3)由AB

AC、A

O不能推出B=C.解:总结：一般而言，矩阵乘法不满足交换律和消去律、两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.

定义：如果矩阵A与B满足AB

BA

则称A与B可交换

此时A与B必为同阶方阵.AE=EA=A，n阶单位矩阵与所有n阶方阵可交换.矩阵的乘法的运算律(1)矩阵乘法结合律：(AB)C

A(BC)

(2)分配律：(A

B)C

AC

BC

C(A

B)

CA

CB；(3)数乘结合律k(AB)

(kA)B

A(kB)

(4)EmAm

n

=Am

n;Am

nEn=Am

n.

例5

证明

如果CA

AC

CB

BC

则有(A

B)C

C(A

B)

(AB)C

C(AB)

1、设练习题求：C=AB.2、计算3、计算1解:故2解:3解:方阵的幂的性质:k、l为任意正整数

(1)AkAl

Ak

l

(2)

(Ak)l

Akl

因为矩阵乘法不满足交换律：五、方阵的幂称Am为矩阵A的m次幂.设A是n阶方阵，定义：例6设矩阵求Am,其中m是正整数.解:结论:对角矩阵的幂归结为主对角线上每个元素分别求幂.六、矩阵的转置

定义：将m

n矩阵A的行与列互换

得到的n

m矩阵

称为矩阵A的转置矩阵

记为AT或A

即如果例转置矩阵的运算规律例7设求：对称矩阵与反对称矩阵：设A为n阶方阵，若AT=A，即aij

=aji

(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=

A，即aij

=

aji

(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵.四阶对称矩阵四阶反对称矩阵例7：设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P,PTAP必为对称矩阵.如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？证明：因为A为对称矩阵，必有AT=A,则=PTAP(PTAP)T=PTATP所以PTAP为对称矩阵.但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是对称矩阵.反之，如果PTAP为对称矩阵：则有(PTAP)T=PTAP，PTATP=PTAP,注意：行列式和方阵是两个不同的概念，且它们的记号是不同的.七、方阵的行列式定义由阶方阵的元素按原来的顺序构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算规律八、方阵多项式例8设,求f(A).九、小结矩阵运算加法、减法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的幂方阵的行列式矩阵的转置

（2）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.§2.3方阵的逆矩阵一、逆矩阵的定义二、矩阵可逆的充要条件三、逆矩阵的性质1、只有方阵才有逆矩阵；

3、如果矩阵A可逆

则A的逆矩阵是唯一的

注意

设A是一个n阶方阵

若存在一个n阶方阵B

使得

AB

BA

En

(1)则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵）并称方阵B为A的逆矩阵

记为A

1，即A

1=B,若满足（1）式的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）.定义2

3.1(逆矩阵)一、逆矩阵的定义2、由AB

BA

En可得矩阵A和B互为逆矩阵；4、定理2

1(矩阵可逆的充要条件)

n阶方阵A

(aij)为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0

且二、矩阵可逆的充要条件伴随矩阵法例1求矩阵的伴随矩阵解：

结论：

2阶方阵求伴随矩阵，主对角线上元素交换位置，次对角线上元素取反.例2求矩阵的逆矩阵例3求矩阵的逆矩阵A-1.

结论：1、对角矩阵的逆归结为主对角线上每个元素来求逆（倒数）.2、当n≥3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量很大，特别是当n≥4时，不宜用伴随矩阵法来求逆矩阵.在§2.5

节中会介绍用初等变换求逆矩阵的方法.推论：对于n阶方阵A、B若有AB=E，则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵.证明：∵AB=E∴|A||B|=1

故

|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，且A－1=B，B－1=A.

例4设n阶方阵A满足，求A、A-En和A+2En的逆矩阵.这一结论说明

如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵

只要验证一个等式AB

E或BA

E即可

三、逆矩阵的性质

(1)若A可逆

则A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩阵的性质

(4)可逆矩阵A的转置矩阵AT是可逆矩阵

且(AT

)

1

(A

1)T

(2)两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵

且

(AB)

1

B1A1

(3)若A可逆,k是不为零的常数，则kA也可逆，且

(5)当P可逆时，(6)A为n阶可逆矩阵，k为任意正整数.例5设A为n阶方阵，证明：例6设A为三阶方阵且，求：

练习题：P54第8题一、矩阵的初等变换的定义二、用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵三、用矩阵的初等变换求解矩阵方程§2.5矩阵的初等变换注意：矩阵的初等变换与行列式的计算有本质区别.计算行列式是求值过程，前后用等号连接.对矩阵施初等变换则是变换过程，变换前后的两个矩阵不相等，因此，用箭头“→”连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数.定义1(矩阵的初等变换)

对矩阵施以下三种行(列)变换

称为矩阵的初等行(列)变换

(1)交换矩阵的两行(列)

(2)以数非零的数k乘矩阵的某一行(列)

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上

一、矩阵的初等变换的定义定义2(等价矩阵)

若矩阵A经过若干次初等变换变成矩阵B,则称A与B等价.记为：

矩阵之间的等价关系有以下三条性质：

(1)反身性：

(2)对称性：则

(3)传递性：则定义3(行阶梯形矩阵)

满足下列两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：（1）如果存在零行（元素全为零的行），则零行应位于非零行（元素不全为零的行）的下方；

（2）各非零行中从左至右第一个非零元（称为主元）下方的元素全为零。√√任何一个矩阵都能经过矩阵的初等行变换化成行阶梯形矩阵。定义4(行最简形矩阵)

若阶梯形矩阵进一步满足如下两个条件，称为行最简形矩阵：（1）各行主元都是1；（2）主元所在列的其他元素都是0。例1将矩阵A化为阶梯形矩阵思想：例2求

的逆矩阵.

二、用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵三、用矩阵的初等变换求解矩阵方程例3求解矩阵方程：练习题：

§2.6矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的计算定义1(k阶子式)

在m

n矩阵A中

任取k行k列(k

min(m,n))

位于这些行和列的相交处的元素按照原来的次序所构成的k阶行列式

称为矩阵A的一个k阶子式

值不为零的子式称为非零子式.在m

n矩阵A中

k阶子式的总个数为定义2(矩阵的秩)

在m

n矩阵A中

非零子式的最高阶数称为A的秩，记作r(A)或秩(A)

当A

O时

规定r(A)

0

一、矩阵的秩的概念结论：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数.二、矩阵秩的计算定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

例1求下列矩阵的秩定义3(满秩矩阵)设A是n阶方阵，若r(A)=n,则称A为满秩矩阵.关于矩阵的秩，有以下结论：

(1)r(A)

r(AT)

(2)对于m

n矩阵A

有0

r(A)

min(m,n)

(3)(4)§2.7矩阵与线性方程组非齐次线性方程组

非齐次线性方程组的一般形式为其矩阵形式为Ax

b

其中A称为方程组的系数矩阵

我们把矩阵称为线性方程组Ax

b的增广矩阵

解

方程组的解为x1

7

x2

1

x3

2

①②②-3①③+①③-2②②-2③①-4③①+2②用消元法解线性方程组的过程

实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换化成最简形矩阵的过程

用初等行变换法解例1的过程是

解

(阶梯形矩阵)①②②-3①③+①①+2②②-2③①-4③③-2②最后一个矩阵称为行简化阶梯形矩阵

用初等行变换法解例1的过程是

解

这就是方程组的解

它对应的方程组为

解

由行最简形矩阵得这就是方程组的同解方程组

其中x3与x4可取任意值

称为自由未知量。这种解称为方程组的一般解

因为自由未知量可以任意取值故方程组有无穷多个解

解

因为最后一个矩阵的最后一行对应的方程是“0

x4

2”

此等式不论各未知量取什么值都不可能成立

故方程组是无解的

在例1中

n

3

r(A

b)

r(A)

3

方程组有唯一解

在例2中

n

4

r(A

b)

r(A)

2<4

方程组有无穷多解

在