现代电力电子技术(第2章)

现代电力电子技术湖南大学电气与信息工程学院第2章电力电子技术的数学基础2.1傅里叶级数与傅里叶变换2.2坐标变换法2.3瞬时功率理论2.4对称分量分解法2.1傅里叶级数与傅里叶变换由积分可知一、三角函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...

2.1傅里叶级数与傅里叶变换二、傅里叶级数一个非正弦波的周期信号，可以看作是由一些不同频率的正弦波信号叠加的结果，这一个过程称为谐波分析。由上可知，两个频率不同的正弦波可以合成一个非正弦波。反之，一个非正弦波也可分解成几个不同频率的正弦波。例如：e=e1+e2=E1msin(

t)+E2msin(3

t)

e1和e2叫做非周期信号的谐波分量。

e1

的频率与非正弦波的频率相同，称为非正弦波的基波或一次谐波；e2的频率为基波的三倍，称为三次谐波。谐波分量的频率是基波的几倍，就称它为几次谐波。非正弦波含有的直流分量，可以看作是频率为零的正弦波叫零次谐波。2.1傅里叶级数与傅里叶变换非正弦周期性信号满足和狄里赫利条件，则：2.1傅里叶级数与傅里叶变换•

余弦形式•

正弦形式

通常，把角频率为

1的分量称为基波，角频率为21，31，…等分量分别称为二次谐波、三次谐波……等。2.1傅里叶级数与傅里叶变换四、非正弦周期电信号的电量关系非正弦周期电压非正弦周期电流平均有功功率无功功率可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。五、幅度频率特性和相位频率特性关系曲线称为幅度频谱图，简称幅度谱；关系曲线称为相位频谱图，简称相位谱。的线性组合。基波角频率的整数倍）（）和各次谐波，基波（周期信号可分解为直流:11wwn2.1傅里叶级数与傅里叶变换2.1傅里叶级数与傅里叶变换1ww13wnc0c1c3cO1w13wwpnjO幅度频谱相位频谱2.1傅里叶级数与傅里叶变换六、指数形式的傅里叶级数级数形式2.1傅里叶级数与傅里叶变换f(t)的指数形式傅里叶级数说明：2.1傅里叶级数与傅里叶变换幅度频率特性和相位频率特性相频特性幅频特性——复数频谱双边频谱

n(-,)|Fn|~

n~

•当Fn为实数时，可用Fn的正负表示

n的0、

，因此常把幅度谱和相位谱合画在一张图上；•负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有将负频率项和相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数。2.1傅里叶级数与傅里叶变换七、函数的对称性与傅里叶系数的关系信号波形相对于纵轴是对称的1、偶函数则)(tfLLOtTET-2.1傅里叶级数与傅里叶变换)(tfLLOtTT-11-2、奇函数则注：若在奇函数上加以直流成分，则它不再是奇函数，但在其级数中仍不会含有余弦项，而仅含正弦项和直流项。2.1傅里叶级数与傅里叶变换则f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即)(tfLLOtTT-2T

若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，则称奇谐函数。3、奇谐函数2.1傅里叶级数与傅里叶变换4、偶谐函数则f(t)的傅氏级数奇次谐波为零)(tfLLOt1T1T-21T-21T2.1傅里叶级数与傅里叶变换八、傅里叶变换2.1傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶变换2.1傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶逆变换2.1傅里叶级数与傅里叶变换设是周期为N的周期序列与连续信号不同的是，离散周期序列只有N个谐波对离散周期信号对连续周期信号周期序列可以用离散傅里叶级数表示九、周期序列的离散傅里叶级数2.1傅里叶级数与傅里叶变换周期序列的傅里叶级数对通常记WN的性质:2.1傅里叶级数与傅里叶变换十、离散傅里叶变换2.2坐标变换

一、

坐标变换的基本思路

直流电机的数学模型直流电机电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电刷接到端接板上，因此，电枢磁动势的轴线始终被电刷限定在q轴位置上，其效果好象一个在q

轴上静止的绕组一样。主磁通

的方向沿着与之垂直的d

轴；直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。2.2坐标变换

交流电机的物理模型交流电机三相对称的静止绕组A、B、C，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速

1

（即电流的角频率）顺着A-B-C

的相序旋转。ABCABCiAiBiCFω1三相交流绕组2.2坐标变换旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。等效的两相交流电机绕组两相交流绕组

两相静止绕组

和

，它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。

当两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图b的两相绕组与图a的三相绕组等效。

F

i

i

ω12.2坐标变换旋转的直流绕组与等效直流电机模型

1FdqimitMT两个匝数相等且互相垂直的绕组d和q，其中分别通以直流电流id和iq，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。若旋转磁动势的大小和转速与A、B、C三相绕组和α、β的磁动势一样，旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，M和T是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的位置在M轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组M相当于励磁绕组，T相当于伪静止的电枢绕组。2.2坐标变换等效的概念以产生同样的旋转磁动势为准则，三相交流绕组、两相交流绕组和整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB

、iC，在两相坐标系下的i

、i

和在旋转两相坐标系下的直流im、it

是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。

现在的问题是，如何求出iA、iB

、iC

与i

、i

和im、it之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。注意:在这里，不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。2.2坐标变换二.三相--两相变换（3/2变换）在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组

、

之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称

3/2变换。在A、B、C

和

、

两个坐标系，为方便起见，取A轴和

轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。AN2i

N3iA

N3iCN3iBN2iβ60o60oCB2.2坐标变换

设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在

、

轴上的投影都应相等，矩阵形式当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，并考虑变换前后总功率不变，得2.2坐标变换三相—两相坐标系的变换矩阵

如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有iA+iB+iC=0，或iC=

iA

iB

。代入式（3-38）并整理后得2.2坐标变换考虑i0三相—两相坐标系的变换矩阵2.2坐标变换三、

两相—两相旋转变换（2s/2r变换）两相静止坐标系到两相旋转坐标系d、q变换称作两相—两相旋转变换，简称2s/2r变换。其中s表示静止，r表示旋转。

dqiαφθ1φjcosdiβiqisiidω1jsindi两个坐标系图2.2坐标变换

两相交流电流i

、i

和两个直流电流id、iq

产生同样的以同步转速

1旋转的合成磁动势Fs

。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs

可以直接标成is

。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。

M，T轴和矢量Fs（is）都以转速

1旋转，分量id、iq

的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。但、轴是静止的，

轴与d轴的夹角

随时间而变化，因此is在、轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。2.2坐标变换i

、i

和id、iq

之间存在下列关系矩阵形式两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。2.2坐标变换逆变换-----两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵。2.2坐标变换三相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换矩阵C3s/2r为（即Park变换）

两相静止坐标系到三相静止坐标系的变换矩阵C2s/3s为：

三相静止—两相旋转变换（2s/2r变换）2.2坐标变换四、

空间矢量交流电动机绕组的电压、电流、磁链等物理量都是随时间变化的，如果再考虑到它们所在绕组的空间位置，如图所示，可以定义为空间矢量uA0，uB0，uC0

。定子电压空间矢量：uA0

、uB0

、uC0

的方向始终处于各相绕组的轴线上，而大小则随时间按正弦规律脉动，时间相位互相错开的角度也是120°。合成空间矢量：由三相定子电压空间矢量相加合成的空间矢量us是一个旋转的空间矢量，它的幅值是每相电压值的3/2倍。空间矢量的定义2.2坐标变换合成空间矢量

us

如果uAO、uBO、uCO是角频率为

1的三相对称正弦波电压，那么电压矢量uS就是以角频率

1按逆时针方向匀速旋转的空间矢量。而空间矢量uS在三相坐标轴（A，B，C）上的投影就是对称的三相正弦量。三相电压经过空间矢量合成后等效为一个空间矢量的概念，实质上就是一种由三相信号到两相信号的变换。2.2坐标变换电压空间矢量的计算三相电压计算：前述电压空间矢量定义中采用了2/3系数，实际上就是考虑到使得变换后的矢量长度变为1，即所谓的等幅值变换。2.2坐标变换磁链轨迹与电压空间矢量运动轨迹的关系图旋转磁场与电压空间矢量的运动轨迹

如图所示，当磁链矢量在空间旋转一周时，电压矢量也连续地按磁链圆的切线方向运动2

弧度，其轨迹与磁链圆重合。这样，电动机旋转磁场的轨迹问题就可转化为电压空间矢量的运动轨迹问题。

2.3瞬时功率理论一、Akagi瞬时无功功率理论从abc到

0坐标系电压和电流变换引入瞬时有功功率p和瞬时无功功率q：2.3瞬时功率理论二、瞬时有功电流ip和瞬时无功电流iq瞬时有功电流和瞬时无功电流分别为矢量i在矢量u及其法线上的投影，即：2.3瞬时功率理论2.3