7.5直线与平面垂直的判定与性质

7.5直线与平面垂直的判定与性质课标要求精细考点素养达成1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中直线与平面垂直的判定和性质2.能运用直线与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的结论证明一些空间图形中的垂直关系的简单命题直线与平面垂直的判定与性质通过线面垂直的判定与性质的应用,培养逻辑推理、直观想象素养直线与平面所成角通过直线与平面所成角的综合应用,培养逻辑推理、直观想象、数学运算素养空间距离通过距离与夹角问题的综合应用,培养逻辑推理、直观想象、数学运算素养1.(概念辨析)(多选)若a,b为两条不同的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列结论正确的是().A.若a与平面α内的无数条直线都垂直,则a⊥αB.若a⊥α,a⊥β,则α∥βC.若a⊥α,b⊥α,则a∥bD.若a⊥α,b∥α,则a⊥b2.(对接教材)若两个平面间的距离为10,夹在这两个平面间的线段AB长为20,则AB与这两个平面所成角为.

3.(对接教材)在三棱锥PABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的心;

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的心.

4.(易错自纠)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b,c,则直线b和c的位置关系是().A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面5.(真题演练)(2023·全国甲(理))在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为().A.22 B.32 C.42 D.52直线与平面垂直的判定与性质典例1如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC,E,F分别为AC,CC1的中点,BF⊥A1B1,M在BC上且EM⊥BC.(1)求证:E,M,B1,A1四点共面.(2)已知D为棱A1B1上的点,求证:BF⊥DE.1.证明直线和平面垂直的常用方法:(1)直线与平面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β⇒l⊥α);(3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);(4)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α).注:(3)(4)可作为判定方法,一般不作为证明的依据直接使用.2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质,因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.3.证明线线垂直的常用方法:(1)线面垂直的定义;(2)三垂线定理及其逆定理等;(3)平面几何中的垂直的判定,如等腰三角形底边上中线的性质、勾股定理的逆定理等.训练1如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.求直线与平面所成的角典例2如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

求斜线与平面所成角的步骤(1)一作:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关,才能便于计算.(2)二证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)三求:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.训练2如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一个动点.(1)求证:△PBC是直角三角形.(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.空间距离典例3如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.综合法求空间距离的策略1.求距离的方法:(1)定义:①一找:找出点到面的距离;②二证:证明线面垂直;③三求:利用三角形求解.(2)体积法:转换顶点,等体积变形.(3)平面分线段比与线段对应端点到平面距离比相等.2.点面距离、线面距离、面面距离都转化为点面距离.训练3如图,直角梯形ABCD与梯形EFCD全等,其中AB∥CD∥EF,AD=AB=12(1)求证:平面BCF∥平面AGE.(2)求平面BCF与平面AGE的距离.三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理在判定线线垂直中作用巨大,具有事半功倍的效果,往往是寻找垂直关系的突破口.1.三垂线定理平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.典例(多选)如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为顶点,P为正方体所在棱的中点,满足MN⊥OP是(). ABCD1.定理与逆定理的关系:射影垂直(平面问题)斜线垂直2.解题的基本思路:确定“一面四线”定基准平面→找四线(垂线、斜线、射影和主线)→得垂直3.两个定理的主要应用:(1)证明线线垂直;(2)寻找二面角的平面角.训练如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是边AB上的一个动点,则PM的最小值为.

一、单选题1.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能().A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H为EF的中点.沿AE,EF,FA将正方形折起,使B,C,D重合于O,构成四面体,则在四面体AOEF中,下列说法正确的是().A.AH⊥平面OEF B.AO⊥平面OEFC.AE⊥平面OEF D.AF⊥平面OEF3.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在().A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部4.正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是().A.13 B.33 C.63 二、多选题5.设m,n是两条不同的直线,α是平面,m,n不在α内,则下列结论正确的是().A.若m⊥α,n∥α,则m⊥n B.若m⊥α,n⊥α,则m∥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m⊥n,n∥α,则m⊥α6.如图,六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论正确的是().A.CF⊥平面PAD B.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PAB D.CD∥平面PAF三、填空题7.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值为.

8.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点,直线B1D1到平面CMN的距离是.

四、解答题9.在图1中,△ABC为等腰直角三角形,∠B=90°,AB=22,△ACD为等边三角形,O为AC边的中点,E在BC边上,且EC=2BE,沿AC将△ACD进行折叠,使点D运动到点F的位置,如图2,连接FO,FB,FE,OE,使得FB=4.(1)证明:FO⊥平面ABC.(2)求点A到平面OEF的距离.10.如图,三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长均为1,且四边形C1B1BC为正方形,AB⊥B1C.(1)求证:A1B1⊥AC1.(2)求直线AB和平面A1ACC1所成角的正弦值.11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在“堑堵”ABCA1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2,则下列说法不正确的是().A