初中数学竞赛函数强化练习4

初中数学竞赛函数强化练习4

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一、单选题

--11988

1.在实数范围内，设彳=2）（14-1）+'（〃2）（1一同）+*,则X的个位数

i+_L〜

-1一。_

字是（）.

A.1B.2C.4D.6

2.y=|x-l|+|x-2|+|x-3|的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

3.设实数x,y,z满足x+y+z=l,则知=口+2»+3工2的最大值为（）

A.gB.-C.-D.1

234

4.已知二次函数>=依2+m+1(。*0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当

为整数时，ab=()

A.0B.—C.—D.-2

44

5.已知。为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y=J(x>0)的图象上，位

于第二象限的点B在反比例函数V=-；(x<0)的图象上，且。4_LO8,则tan48O的

值为()

A±

A.2B.—C.1D.2

2

y>o,且五(«+77)=3万(6+577),则代数式，+2''的值

6.若%>0,

为()

A.1B.2C.3D.4

7.若函数旷=(4+1)/+》+公+3%-2的图象与x轴交点的纵坐标为T,则女的值是

()

A.-1B.-2C.-1或2D.-1或-2

8.已知二次函数>=以2+法+。的图象如图所示，则下列6个代数式：

aZ\ac,a+0+c,a-8+c,2a+6,2a-b中，其值为正的式子的个数为().

A.2个B.3个C.4个D.4个以上

二、填空题

9.如图所示，点A、C都在函数)，=±亘。>0)的图象上，点区。都在x轴上，且使得

X

△048,△5CO都是等边三角形，则点。的坐标是.

10.设1995丁=1996：/=1997z3,Ayz>0,且

^/1995X24-1996/+1997Z2=V1995+V1996+V1997,则g+(+J=.

11.如图所示，8船在A船的西偏北45。处，两船相距100km.若A船向西航行，B

船同时向南航行，且8船的速度是4船速度的2倍，那么A8两船的最近距离为

12.代数式1134^-110x的最小值是.

13.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCQ的顶点。在第二象限，其余顶点都在第

一象限，AB〃x轴，AOLAD,AO=AD.过点A作AELCD,垂足为E,

DE=4CE.反比例函数y=：(x>0)的图象经过点£.与边AB交于点F,连接OE,

OF,EF.则cosO=.若％；8=?，则点F坐标为.

O

14.边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些

等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是.

15.已知4/为抛物线丫=(x-。)(工-。-4)-2与》轴交点的横坐标，a<b,贝ij

"—c|+|c—切的值为.

16.函数y=f-3|x|+7的图象与函数y=x2-3x+,-3耳+6的图象的交点个数是

三、解答题

17.已知二次函数y=a(x—D(x—1-。)(。为常数，且"RO).

(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；

⑵若点(。，乂)，(3,丫2)在函数图像上，比较/与为的大小；

(3)当0<x<3时，><2,直接写出。的取值范围.

18.在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2.

19.一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在

第2层至第33层中某一层停一次.对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满

意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2

至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最

小值是多少？(有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼).

20.已知一次函数丫=必+6的图象经过点4百,6+2),8(-1,0),C(c,2-c),求

a2+b2+c2-ab-bc-ca

21.(1)证明：若x取任意整数时，二次函数丫=以2+法+c总取整数值，那么

2a,a-b,c都是整数；

(2)写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论.

22.当14x42时，计算Jx+2jx-l-Jx-2jx-l.

23.给定一个函数：y=x+'+l(x>()),为了研究它的图象与性质，并运用它的图象

与性质解决实际问题，进行如下探索:

(1)图象初探

①列表如下

X......1234......

432

2113721

y......m3n......

T~42T

请直接写出孙〃的值；

②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象.

图①

(2)性质再探

请结合函数的图象，写出当'=,y有最小值为；

⑶学以致用

某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1

米.已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.

设水池底面一边长为x米，水池总造价为)，千元，可得到y与x的函数关系式为:

y=x+-+3.根据以上信息、，请回答以下问题：

X

①水池总造价的最低费用为千元；

②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？

24.对于i=l,2,3,…有|看|<1且有l+M1+…+1%1=

2009+1演+X2+…+|.求正整数n的最小值.

参考答案:

【解析】

【分析】

【详解】

解：要使X有意义，必须且只需

5-2)(同-1)20,

3-2)(1-同)20,(〃-2)刎_1)=0,

1-"0,QH1,=><7=-1

。W2

1+——。0

i-a

5x(-1)+])[988_(_2)19环_(_2)4x497_jg497

故X的个位数字为6,

故选：D.

2.D

【解析】

【分析】

【详解】

在x=2取得最小值，正确答案为D

3.C

【解析】

【分析】

【详解】

M-孙+(2y+3x)z=xy+(2y+3x)(1-x-y)=-3x2-4xy-ly1+3x+2y

=-2^y+x-—j-x2+x+—=-2^y+x-—\—J+—<^.

13

当且仅当苫=/,y=0时，〃取等号，故此而=京，故选C

4.B

答案第1页，共15页

【解析】

【分析】

【详解】

依题意知。<0,一3<0，4+。+1=0,故b<0,且6=-。一1,

2a

ci—b=a—（—a—1）=2a-I-1,于是—1<。<0,—1<2tz+1<1,

又a-力为整数，/-2«+1=0,故a=-g=b,ab=：,故选B

5.A

【解析】

【分析】

【详解】

过点A、8分别作ACJ_x轴，BZUx轴，垂足为C、。.由OAJ_OB得N4O3=90。，于是

6.B

【解析】

【分析】

【详解】

已知等式可化为x—2向—15），=0,即（4+34乂&-5，7）=0,所以x=25y,于是

2x+y/xy+3y_50y+J25y，+3y_58y_2

x+y/xy-y25y+J25y2_y29y

7.B

【解析】

【分析】

【详解】

解因x=0时，y=T代入函数关系得-4=二+3%—2,即（k+1）（左+2）=0,所以％=—1或

k=-2.故应选D.

注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数.不能一开始就默认它是二次函

数，约定4+1*0,从而错误地选择了B.

8.A

答案第2页，共15页

【解析】

【分析】

【详解】

因图象开口向下，故”0.又顶点的横坐标0<-3<1,故。>0,2°+。<0,从而

2a

ab<0y2a-b<0.又x=0时，y=c<0,从而ac>0,a—b+cv。.又当x=l时，

y=a+b+c>0.综上知所给代数式中只有2个为正.

故选：A.

9.(2底0)

【解析】

【分析】

【详解】

解如图所示，分别过4C作x轴垂线，垂足分别为E、F.设0E=",8尸=6,则

AE=£a,CF=®,所以4、C的坐标分别是A（a,岛）,C（2a+。,回）,代入冲=36得

y/3a2=36，

［向3丽3®解得

因此，。（2。+2仇0）的坐标为（26,0）.

10.1

【解析】

【分析】

【详解】

则1995=4/996=2,1997=与,

解：因“2>0,故1995/=1996y3=1997Z3=A>()

xyz

+&_

代入已知式两端得;

两端三次方得L+L+lnd+'+Jy.

xyzxyz

又x>0,y>0,z>0,所以，+'+,=1.

xyz

故答案为：1.

11.275km

答案第3页，共15页

【解析】

【分析】

【详解】

设“、时后，48两船分别航行到A和4处.设AA=x,则BA=2x,于是

耳耳二5/(10-2^)2+(10-%)2=>/5x2-60X+200=反二铲而>^0=275.

即当x=6时，A4,取最小值2石km.

故答案为：2不km.

12.3x/223

【解析】

【分析】

【详解】

解设y=113，_?+3-1101，

则(>+110x)2=113?(f+3),

B[Jy2+220xy=3x223x2+3x1132.

关于x的方程3x223d-220yx+3x113?-产=0有实根，所以

A=(-220y)2-4x3x223x(3xll32-y2)=4xll32(y2-32x223)>0

(因为2202+4x3x223=4x1⑶)，所以”30^.

当且仅当x=J黑时，y取最小值3衣L

，223

故应填3^/^.

【解析】

【分析】

延长E4交x轴于点G,过点F作用，x轴于点”，证明丝△AOG（A4S）,得到

DE=AG,AE=OG.根据四边形ABC。是菱形，DE=4CE,得到AO=CD=*£>E,即

答案第4页，共15页

4

可求出cosD=g；设£>E=4a,则A£>=04=5a,根据勾股定理求出OG=AE=3a,求出

点E(3a,7a),即可求出后=21/,证出四边形AG//F为矩形，得到=AG=4a,求出点

尸，根据SMEF=Sa0EG+S梯形EGHF-S/X0F”，S^EOF=—,。>0,即可求出。的

值，则可以得出点尸的坐标.

【详解】

解：延长石4交九轴于点G,过点尸作FHLx轴于点”，如图所示

•・・AB〃x轴，AE±C£>,AB//CD

/.AG_Lx轴

AO±AD

：.ZDAE+ZOAG=90°

,：AE1CD

：.ZDAE+ZD=90°

:.ZD=40AG

在和aAOG中

NQEA=/AGO=90。

,.・〈ZD=ZOAG

AD=OA

：.△DAE"4AOG(AAS)

:.DE=AG,AE=OG

•・•四边形A3CQ是菱形，DE=4CE

:.AD=CD=-DE

4

4

cosD=—

5

设OE=4a,则AD=Q4=5〃

；・OG=AE=y/AD2-DE2=3a

答案第5页，共15页

:.EG=AE+AG=la

/.EG。」a）

•/反比例函数y=々x>o）的图象经过点E

X

"=21/

VAG1GH,FHLGH,AFLAG,

・•・四边形AG”尸为矩形

：.HF=AG=4a

•・•点尸在反比例函数y="（x>。）的图象上

X

・21a221

••x=---=—a

4a4

：.OH=—a,FH=4a

4

9

：.GH=OH-OG=-a

4

**S^OEF=$4OEG+S梯形EGHF-，S.F=

O

・•・-xOGxEG+-(EG+FH)GH--OHxHF=—

2228

1d21/r/\91e211

—x21〃H—x(7tz+4-d)x—ci—x21〃——

22'7428

解得：

u：a>0

a=—

3

•・•点F(*

4

故答案为：—用

【点睛】

本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，求角的三角函数值,

勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点,

根据点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段长度表示出相应点的坐标是解答本题的关

键.

答案第6页，共15页

14.亚

4

【解析】

【分析】

【详解】

x

x+—=n

2

设等腰三角形的腰为x,底为y,周长被分为的两部分的长分别为〃和2〃,则

x-

y+—=2n

2

或2,解得(x,y)=(?，当或佟,。因为2x?丹(此时不能够成三角

y+-=n33

I2

形，舍去)，所以其中〃是3的倍数.则三角形面积

s=lx£当〃20时，S随着"的增大而增大.所以〃=3时.S取

最小值，最小值为

4

15.h-a

【解析】

【分析】

【详解】

依题意，该抛物线开口向上，又当x="或b时，y=0.当x=c时，y=-2<0,所以

a<c<b,^,\a-c\+\c-b\=c-a+b-c=b-a.

故答案为：b-a.

16.4

【解析】

【分析】

【详解】

x2+3x+7(x<0),6(04x43),

第一个函数化为y=<第二个函数化为丫=

x2-3x+7(x>0),2x?-6x+6(x〈0WU〉3).

分别作它们的图象知，它们共有4个交点.

答案第7页，共15页

或者分别解方程组k；：+7,a＜0),卜丫=：一+7,仅w*＜O)及

y=2x-6x+6[y=6

,)一：,3：+7[(X＞3),可得4个交点为

A(g(9一甸,(62-8病)，呜(3-扃6),(7(；(3+石),6),呜(3+呵8).

故答案为：4.

17.(1)证明见解析

(2)当。＜0或时，当＞必；当。=1时，％=＞2；当0＜。＜1时，％＜必

(3)-2＜。41,且"0

【解析】

【分析】

(1)令y=o,可得出x的两个解，且两个解不相等即可得出结论；

(2)先求出*-%=3“(。-1),然后分三种情况讨论即可；

(3)先求出抛物线与x轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在0Vx＜3范围内分。＞0和

“＜0两种情况确定函数的最大值，从而得出结论.

(1)

证明：令y=o,

即a(x-l)(x-l-«)=0,

x—1=0x—1—a=0,

即X=1,超=1+Q,

;・1。1+〃，

.••方程有两个不相等的实数根，

・,・该函数的图像与X轴总有两个公共点.

(2)

解：点(O，x),(3,%)在函数图像上，

.,.当x=0时，y,=a2+a,

答案第8页，共15页

2

当x=3时，y2=-2a+4a,

222

/.y,-y2=a+a-(-2a+4a)=3a-3a=3a(a-l),

.•.当"0或a>l时，J,>y2,

当a=i时，yt=y2,

当Ovavi时,yt<y2.

(3)

,二次函数y=a(x—l)(x—1—a),

整理可得：y^cvc-a(a+2)x+a(a+l),

由(1)可知：当y=o时，解得：占=1,x2=\+a,

二次函数的图像交x轴于(1,0)和(l+a,O)两点，

对称轴x=_「"(叱)=—,

2a2

・・・二次函数图像的顶点坐标为(94)

由(2)可知：当x=0时，y,=a2+a,

2

当x=3时，y2=-2a+4a,

当a>0时，二次函数的图像开口向上,

V0<x<3,

.(a2+a<2

'[-2ai+^a<2,

解得：—2<iz<1,

."<0<a<l,

当a<0时，二次函数图像开口向下，

答案第9页，共15页

,**对称轴x=——,

当即一2<a<0时，

2

.•.二次函数图像在顶点处取得最大值，

./、

••------<2,

4

解得：a>-2,

—2<。<0,

当*40,即。4一2,

a

由题意可知，/+〃42,解得：-2<a<l,BPa=-2;

综上所述，当0<x<3时，y<2,。的取值范围是：-2<a<l,且awO.

【点睛】

本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与x轴的交点，二次函数的性质，

二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式

（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法.解题的关键是x在某一范围内的函数最大

值的确定.

18.见解析

【解析】

【分析】

【详解】

分析把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距

离小于2）,因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2,但不能太小）,

然后将余下的圆环部分8等分.

证明设。是已知圆心，如图，以O为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，

于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的

'10-1"

—^―+1=2点M,N,若在小圆内，则20c=2*0.9=L8v2.

若同在一个扇面形内，则由余弦定理，有

MN<AC=4OC2+O^~2OC-OAcos45°

<V0.81+6.25-2x0.9x2.5x0.7=<2.

答案第10页，共15页

从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割

的每一部分图形都具有所需要的性质(例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2),

读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点.

19.当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分.

【解析】

【分析】

【详解】

易知I,这32人恰好是第2至第33层各住一人，对于每个乘电梯上、下梯的人，他所住的

层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.

事实上，设住s层的人乘电梯，而住第，层的人直接走楼梯上楼，且s<f,交换两人上楼

方式，其余人不变，则不满意总分不增.现分别证明如下：设电梯停在第x层，

①当时，若住在第s层的坐电梯，住第f层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意

总分为3Q-l)+3(s-x)=3r+3s-3x-3；交换两人上楼方式，则两者不满意总分为

3(s-l)+3(-s-3x-3,两者相等；

②当s<x<r时，若住s层的人乘电梯，而住第r层的人直接走楼梯上楼，则这两人不满意

总分为3(f-l)+(x-s)=3f+x-s-3；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为

3(s—1)+3(…x)=3f—3x+3s—3,前者比后者多4(x—s)>0；

③当时，若住s层的人乘电梯，住，层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分

为3(r-l)+(x-s)=3f+x-s-3；交换两人上楼方式，则这两者的不满意总分为

3(s-l)+(x-f)=3s+x-t-3,前者比后者多4Q-s)>0.

今设电梯停在第x层，设有y人直接走楼梯上楼，则y+lVx-l,那么不满意总分为

5=3(1+24--by)+3[1+2H---i-(33-x)J+[1+2H---l-(x-y-l-l)]

=型产+里等出+工狞口=2dfT02X+2/+3y+1684

=2x2-(y+102)x+2y+3y+1684=2x-y+102+-(15y2-180y+3068)

48'

答案第11页，共15页

=2卜-卡15,

|++y(y-6)2+316>316.

当x=27,y=6时，5=316,所以，当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最

小，最小值为316分.

20.4+石.

【解析】

【分析】

【详解】

y/3+2=yfia+b,。=百-1,

由已知条件得,6=-4+"n*b=2£-l,

2-c=ac+bc=-^3—2.

故a2+b2+c2-ab-bc-ca=-^(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=4+G

21.(1)证明见解析；(2)逆命题为：若2a,a-b,。为整数，则对一切整数x,二次函

数》=以2+法+c总取整数值；逆命题是真命题；证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

解设y,„=am2+bm+c.

(1)当x=0时，％=山。2+60+。=©为整数，所以c为整数.

当x=-l时，h=。-匕+。为整数，所以。-。=上|-。为整数.

当x=-2时，％=4a-2A+c为整数，所以2a=y_2-2((z-6)-c为整数.

于是2a,a-A,c都为整数.

(2)所求逆命题为：若2a,a-4c为整数，则对一切整数x,二次函数y=o?+6x+c总取

整数值.

下面证明这是一个真命题.

设2a,a-h,c都为整数.由y=ox2+6x+c=2〃-gx(x+l)-(a-6)x+c知对一切整数x,有

答案第12页，共15页

X(x+1)为偶数，从而1x(x+l)为整