江苏省镇江市扬中市第二某中学2022届高三年级下册高考考前模拟数学试题（含答案解析）

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022届高三下学期高考

考前模拟数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

<r-.、100

1.复数Z满足z=三总J+6i,则|z|二()

A.5B.20C.75D.2

2

2.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,且尸（X21）=§,

P（X=3）=:,若X的数学期望E（X）=；,则O（4X-3）=（）

的图象大致为（

13

4.已知正项等比数列｛〃〃｝的前n项和为Sn,若q=三，=-,则S.5=()

84

x—1

5.当xeR时,不等式丁,火-1恒成立,则实数〃的取值范围为（）

A.a=y/3B.a=2C.a>2D.

6.在二项式（4+步）的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项

重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为

A.—B.-C.—D.—

64123

7.已知双曲线，■一£=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为月（一2,0）,鸟（2,0）,P为

双曲线上位于第二象限内的一点，点。在y轴上运动，若玛一|「外的最小值为

正,则双曲线的离心率为（）

3

A.8B.2下）C.36D.4G

8.锐角IBC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c且a=l,bcosA-cosB=\,

若A,B变化时，sin8-24sin2A存在最大值，则正数，的取值范围是（）

A.（0耳）B.（0,1）C.g净D.（1,1）

二、多选题

9.已知a>0,b>0,^2a+b=ab,则（）

A.ah>8B.a+h<3+2>/2

h

C.2>4D.log2（a-l）log2（/>-2）<^-

2022

10.若（1-2X）“。+小+%■+•••+峻工2022,则下列结果正确的是（）

\+32022

A.%+4+%+・一+。2022=1B.a。+。2+。4+...+。2022=

C.?+米+•••+黑=0D.4+2%+3%+.-+2022%。22=4044

11.（多选）甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球，先从甲盒

中随机取出一球放入乙盒.用事件A表示“从甲盒中取出的是红球“，用事件B表示“从

甲盒中取出的是白球“；再从乙盒中随机取出一球，用事件C表示“从乙盒中取出的是

红球”，则下列结论正确的是（）

A.事件B与事件C是互斥事件B.事件A与事件C不是独立事件

（）

C.吟D.PC|A=1

12.在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、C,面积为S,有以下四个命题

中正确的是（）

A.的最大值为也

cr+2bc12

B.当a=2,sin8=2sinC时，A45C不可能是直角三角形

C.当”=2,sinB=2sinC,A=2C时，AABC的周长为2+26

D.当4=2,sinB=2sinC,A=2C时，若。为AABC的内心，贝IJAAOB的面积为

6T

3

三、填空题

13.如图，在AABC中，已知NC=90‘，AC=\,BC=2,直线/过AABC的重心

G,且与边A、8分别交于。、E两点，则函•丽的最小值为.

14.已知圆C:（x-2>+y2=l,点尸在直线/:x+y+l=O上，若过点P存在直线机与

圆C交于A、8两点，且满足丽=2而，则点尸横坐标%的取值范围是

15.如图，一张A4纸的长、宽分别为2>/Lz,2a.A3,C,。分别是其四条边的中

点.现将其沿图中虚线掀折起，使得76,G，B四点重合为一点尸，从而得到一个多面

体.关于该多面体的下列命题，正确的是.（写出所有正确命题的序号）

①该多面体是三棱锥；

②平面BAD,平面88；

③平面8AC_L平面AC。；

④该多面体外接球的表面积为5%/

四、双空题

16.一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放

回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量久则P（J=O）=一,

E（力.

五、解答题

17.在①4+q="，②4+a=-々，③4+%=-4这三个条件中任选两个，补充在下

面的问题中.若问题中的加存在，求出”?的值；若不存在，请说明理由.

设等差数列｛4｝的前”项和为S,,他｝是各项均为正数的等比数列，设前〃项和为

T„,若,,且4=2,雹=5岂.是否存在大于2的正整数加，使

得4工,$3，5成等比数列?

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

18.已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asinx+Z?cosx,称向量。庙=(a,8)为函数

f(x)的相伴特征向量，同时称函数，(x)为向量丽的相伴函数.

(1)设函数g(x)=sin[x+^]—sin(技—x｝试求g(x)的相伴特征向量而；

(2)记向量丽=(1,右)的相伴函数为,求当/(%)='!且不｛-?sinx的

值；

(3)已知A(-2,3),8(2,6),西=(-技1)为/z(x)=，“sin(x-1)的相伴特征向量，

=请问在y=9(x)的图象上是否存在一点P,使得而，丽.若存在，

求出P点坐标；若不存在，说明理由.

19.如图，四棱锥RABCZ)中，侧面以。为等边三角形且垂直于底面ABCQ,

AB=BC=^AD,NBAD=NABC=90。,E是PO的中点.

B

(1)证明：直线CE〃平面南8；

(2)点M在棱尸C上，且直线与底面ABC。所成角为45。，求二面角的余弦

值.

20.新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以

上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的

这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对400个病例的潜伏期(单位：天)

进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2,方差为2.2夕.如果认为超过8天的潜伏期属

于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

年龄/人数长期潜伏非长期潜伏

50岁以上60220

50岁及50岁以下4080

(1)是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

(2)假设潜伏期X服从正态分布NJ。?)，其中〃近似为样本平均数0人近似为

样本方差s2.

(i)现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(ii)以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长期潜

伏”的概率是〃伏)，当火为何值时，"伙)取得最大值.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(/?+d)

2

p(K>k0)0.10.050.010

k。2.7063.8416.635

若J〜N.d),则尸(〃一〃+cr)=0.6862,P(〃-2b<J<〃+2b)=0.9544,

P(〃-3b<J<//+3CT)=0.9974.

21.已知椭圆C:£+《=l(a》>0)的短轴长为2,离心率为YZ.

a'b2

(I)求椭圆c的方程；

(2)点P是桶圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，

交x轴负半轴于8点，与椭圆C的另一个交点为E,且上4=AB,点。是P关于x轴

的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为尸.

(i)证明：直线AQ,AP的斜率之比为定值；

(ii)求直线E尸的斜率的最小值.

22.已知函数g(x)=(a+l)er-l.

(1)证明：ex-f(x)<l；

(2)若x>0时，g(x)4f(x)恒成立，求实数。的取值范围;

(3)求，(x)的最小值.

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

利用复数的除法以及复数的乘方化简复数z,利用复数的模长公式可求得|z|.

【详解】

100

.._(6+。(1+")—-+4i+后y/3+i

・R-产砸哂—一4—T'则I=产=(『『=1,

、100

y/3+i

1+V3z,因此,|2=2.

所以，z=U-同+\/3i=

故选：D.

2.A

【解析】

【分析】

首先设P（X=l）=a,利用期望公式，计算E（X）=；,求实数。，再根据分布列求3（X）,

根据方差的性质仇4X-3）=16O（X）,计算结果.

【详解】

由题知P（x=o）=；,设尸（X=l）=a,则尸（X=2）=g-a,因此

E（X）=0xi+lx«+2xfl-^+3xi=^解得“=:，因此离散型随机变量X的分布列如

3V2）o44

下：

X0123

]__1_

P

3446

19

则。(x)=因此

16

D(4X-3)=16D(X)=19.

故选：A

答案第1页，共23页

3.A

【解析】

【分析】

分析函数«r)定义域，排除两个选项，再取特殊值得解.

【详解】

'令g(x)=/-cosx,x>0时，/是递增的，cosx在(0,%)上递减,

则有g(x)在(0,n)上单调递增，而g(0)=-1,g(l)=l-cosl>0,

所以存在/e(0,1)使得g(%)=0,

/(x)中排除C、D,

•••x杉时/(x)>0,排除B,所以选A.

故选：A

【点睛】

给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特

殊值等方面入手.

4.B

【解析】

【分析】

利用正项等比数列｛“〃｝的前”项和公式，通项公式列出方程组，求出R=l,q=g,由此

能求出S5的值.

【详解】

13

解：正项等比数列｛加｝的前〃项和为S〃，a=-,5-^=-,

4o34

31

%q=g

•••"(1-力3)解得。，=1，q=g

i_>■-

_32=

j_l_16

i-q

2

故选：B.

答案第2页，共23页

【点评】

本题考查等比数列的前〃项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能

力，属于基础题.

5.B

【解析】

【分析】

Y—1

先根据x>l时/(幻>0判断出avo,再根据〃(x)=—r―以+1在X=O处取最大值可求。的

e

值.

【详解】

X—1

令­，・・”>1时/(x)>0，・・・〃工0不合条件.

e

令/x)=MS+l，故〃(x)40恒成立，又〃(0)=0，

/?(x)要在x=0处取最大值，故x=0为〃(x)在R上的极大值点，

故"(0)=0,又/f(x)=27-〃e,,故2_()_丽°=0

e*

*'•a=2,

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：对于不等式的恒成立问题，注意观察其等号成立的条件，从而把恒成立问题

转化为函数的最值问题.

6.C

【解析】

【分析】

先根据前三项的系数成等差数列求n,再根据古典概型概率公式求结果

【详解】

因为前三项的系数为1,C二,c；=c：=1+C)-1=与D

244o

13

4

vn>l.-.n=8.-.7^1=Cgx,r=0,l,2…,8,

当』,4,8时’为有理项，从而概率为等*，选C.

答案第3页，共23页

【点睛】

本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.

7.B

【解析】

【分析】

由|叫+|。周一|尸耳|耳尸闻—|P£|=2,求得再由左、右焦点分别为耳(-2,0),耳(2,0)

得到c=2求解.

如图所示

连接尸鸟,因为|叫+|。闾一归耳以P闻一归耳卜勿,

当且仅当尸，Q,居三点共线时等号成立，

所以|PQ|+|Q闾-|P周的最小值为2a,

所以2a=2叵，

3

解得”走.

3

由题意知c=2,

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题关键是利用三角形的性质得出归。|+|。闾-归国取得最小值时尸，Q,

马三点共线求解.

答案第4页，共23页

8.A

【解析】

【分析】

由a=1,Z?cosA-cos3=1可得boosA-acosB=a,由正弦定理转化为角的关系可以得到

TTTT

sin(B-A)=sinA,由此推出3=2A,又5c为锐角三角形，可求出将

62

5泊8-2/1$抽2/1都用角人表示可以得到7[77^也(24+8)-/1,且tan0=；l,当

sin3-2；lsin2A取最大值时利用tan。=tan("|-2A)可求得4的范围.

【详解】

解：因为。=1,bcosA-cosB=\,所以力cosA-〃cos3=〃，

可得：sinBcosA-sinAcos8=sinA,即sin(fi-A)=sin4,B=2A

„.TT

0<A<—0<A<—

22

解得：<A<

因为AABC为锐角三角形，则有•0<B<-即，0<2A<-T?

2262

0<C<-0<TT-3A<-

22

sinB-22sin2A=sin2A-22sin2A=sin2A-A(l-cos2A)

=Jl+sin(2A+(p)—九(tun(p—A),

rr,rr

当2A+0=,时，原式有最大值Jl+无一;l，此时0=5-24,

则/l=tane=tan(g_2A]=-—l,•.•g<2A<],.1tan2A>6，即0<—?—<—,

(2)tan2A32tan2A3

所以/e(。,等].

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用

是解题的关键，属于难题.

9.ACD

【解析】

【分析】

答案第5页，共23页

利用基本不等式判断AB,由不等式性质和指数函数性质判断C.由基本不等式结合对数运

算法则判断D.

【详解】

对于A,2a+b=ab22垃品,则必28,当且仅当。=2,匕=4时，等号成立.

对于B,2“+匕="变形得3+L1,所以〃+人=(“+6)信+，)=学+2+1+%3+2&,

ha\ha)ba

当且仅当华=2,即6=亿=2+a时，等号成立，故B错误.

ba

212

对于C,因为1+上=1,所以即匕>2,则展>4.

bab

对于D,由2〃+人=，出可得(。-1)(人一2)=2,

log2(a-l)+log,(/?-2)=log2[(«-1)(6-2)]=1,

log2(«-l)-log2(^-2)<1喳(纥♦产式叱2)=:,当且仅当aT=b-2,即

a=5/2+1>/>=5/5+2时等号成立.

故选：ACD.

10.ABD

【解析】

【分析】

根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.

【详解】

令X=1可得/+q+4+…+%>22=(一1)2侬=1，①，故A正确；

令X=—1可得：4—q+%—。3+…+。2022=3~"~~,②

),鼻2022

①+②可得：2(稀+&+。4+…+%)22)=1+3"-,故4+〃2+。4+…+。2022=，故B

正确；

令X=0可得：4=产22=1,③

令x=g可得：4+多+与+…,④

把③代入④即可得出：?+自+…+篝=-1,故C错误；

答案第6页，共23页

202

两边对X求导得-4044（1-2x）2⑼=4+2a^x+34X2+…+2022a期2》'.

令x=l可得a[+2a2+3%+…+2022/022=4044,故D正确.

故选：ABD

11.BCD

【解析】

【分析】

根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断B；分第一次取白球

和红球两种情况讨论，从而可判断C；根据条件概率公式即可判断D.

【详解】

对于A：事件B与事件C能同时发生，事件A与事件B不是互斥事件，故A错误；

对于B：事件A发生与否与事件C有关，故B正确：

对于C：P©=*^+乐3=茅故C正确;

yyyy

对于D：PS。）爷•34,尸⑷哈V

YYDUY,

所以尸（中）=箫^=黯g=故D正确•

故选：BCD.

12.ACD

【解析】

利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项

A；

利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项

C；

由已知条件可得AABC是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AAO8的面

积即可判断选项D.

【详解】

对于选项A：

答案第7页，共23页

1,.A

—匕c,sinAiA

Sc01sinA

=--------------------=—x------------------------

22

a+2bc------+c-2/?ccosA4-2bc2^_+^+2-2cosA

cb

1sin4

<--X——（当且仅当〃=c时取等号）.

4cosA-2

S1y

令sinA=y,cosA=x,故―-----<——x-^—,

a"+2bc4x-2

因为/+9=],且y>0,

故可得点（x,y）表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示:

目标函数2=二三上，表示圆弧上一点到点A（2,0）点的斜率，

X—2

数形结合可知，当且仅当目标函数过点”;，乎，即A=60时，取得最小值-4,

L4l，

>'

故可得z=e

x-237

又修yS1

故可得E"-?

4x-2

当且仅当A=60,b=c,即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；

对于选项B：因为sinB=2sinC,所以由正弦定理得b=2c,若。是直角三角形的斜边，则

有"+。2=从，即4+/=4/,得°=空,故选项B错误；

3

对于选项C,由A=2C,可得6=兀一3C,由sinB=2sinC得力=2c,

bc2cc

由正弦定理得，——=」一，即「~7^v=—F，

sin8sinCsin（兀-3C）sinC

所以sin3c=2sinC,化简得sinCeos2C+2cos?CsinC=2sinC，

因为sinCxO,所以化简得cos2c=g,

4

因为人=2c,所以8>C,所以cosC=正，则sinC=!，

22

答案第8页，共23页

所以sinB=2sinC=l,所以8=C=^,A=

263

因为a=2,所以c=2"，b=，

343"

所以“gC的周长为2+2由，故选项C正确；

对于选项D,由C可知，AABC为直角三角形，且B=5，C=E，A=方，c=¥，

b=^^~,所以AABC的内切圆半径为r=g(2+^^-'^^■)=1-*,

所以AABC的面积为:"=；x2，x,一日=当」

所以选项D正确，

故选：ACD

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定

S_1sinAj1sinA

理，结合不等式得薪7板一于JCq"c3-yXcosA-2,再利用三角换元、数形

—H-----F2-2COSA

cb

结合即可得证，综合性较强，属于难题.

134+26

--9-

【解析】

【分析】

设我=2震，AD=^AB,分析得出g+j=3,求得CG-EZ5=#4+3M),利用基本不等

式可求得西•丽的最小值.

【详解】

先证明结论：已知。为直线/外一点，R、S、T为直线/上三个不同的点，若

OT=xOR+yOS,贝i」x+y=l.

因为R、S、T为直线/上三个不同的点，则行〃冢，

可设豆=x丽，即面-丽=x(OR—万)，所以，Of=xdR+(\-x)OS,

所以，x+y=x+(I)=l,结论成立.

答案第9页，共23页

,_uu»lULIH..

本题中，设MAE=2AC，AD=juAB,

当点E与点C重合时，。为AB的中点，此时〃=；；

当点E为线段AC的中点时，。与点8重合，此时〃=1,故〃£1,1,同理可得

2e—,1.

_2_

由前」后+，/通+'■福

33343〃

又•：E、G、。三点共线，•.•力+丁=1,即丁+—=3,

343〃X卜I

延长CG交43于点尸，则尸为45的中点，且有

CG=lcF=lx^CA+CB)=^{CA+CB),

4+2追

9

故答案为:4+2也

9

【点睛】

方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法:

(1)利用定义：

(2)利用向量的坐标运算；

(3)利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

14.[-1,2]

【解析】

答案第10页，共23页

【分析】

由题意可得A为8,P的中点，再分析P的轨迹，求得与直线/:x+y+l=O相交的部分分析即可

【详解】

由题，方=2所即序-以=为=盹，故A为民尸的中点，即过点P存在直线用与圆C

交于A、8两点，且满足A为的中点.考虑当A确定，B在圆C上运动时，尸的轨迹为

与圆C相切且半径为1的圆上.故当A为aP的中点时，P的轨迹为以C（2,0）为圆心，内外

半径分别为1,3的圆环内.

故只需分析此圆环与直线/：x+y+l=O相交的部分即可.易得外圆方程（x-2>+y2=9联立

（、-2）+旷=9有一一万一2=0,解得》=—1或工=2,故点P横坐标％的取值范围是［-1,2］

x+y+l=O

故答案为：［-L2J

15.①②③@

【解析】

【详解】

答案第11页，共23页

由题意得，PB1PA,PB1PC,PAQPC^C,

.,.%_1_平面用（7,

同理P£>1_平面PAC,

.••周,尸£>共线，

•••该多面体是三棱锥，故①正确；

由①知，8。3_平面布（7,

ZAPC为二面角A-BD-C的平面角，

由于AP=PC=y[2aAC=2a,

：.AP2+PC2^AC\

：.NAPC为直角，

，平面84£>J_平面BCD,

故②正确；

取4c中点M,连接MB,MR

则MBLAC,MDLAC,

：.ABMD为二面角B-AC-D的平面角，

•ZBD=PB+PD=2a,BM=DM=&a,

BM2+DM2=BD2,

为直角，

二平面84c_L平面ACD,

故③正确；

答案第12页，共23页

如图，取底面AC。和侧面ACB的外接圆的圆心分别为。,。》外接球的球心为0.

则Q，仪分别为0在平面ACD和ACB的射影,

sinZDC4=sinNDCM=—=坐，

DCy/3

八八AD上a3在

2sinZACD逑4

不

00、=02M=BM-B0?=五（1心包=显（1,

旦

0D=8》+00；=2

旦

多面体外接球的半径为2

则该多面体外接球的表面积为41=5兀W，

故④正确，

故答案为①②③④.

16.y|

【解析】

【分析】

根据题意求得4的取值，结合题意，求得其分布列，则P（4=0）,E（4）得解•

【详解】

根据题意可知，《可取0,1,2,

（此时取球情况是：第一次取红球；第一次取绿球，第二次取红球）

（此时取球情况是：第一次取黄球，第二次取红球;

第一次取绿球，第二次取黄球，第三次取红球；

第一次取黄球，第二次取绿球，第三次取红球）

答案第13页，共23页

P（=2）=1-P（=1）-P（=O）=-.

iiio

故E©=Ox＞吗+2乂冷.

1?

故答案为：—;—■

【点睛】

本题考查随机变量分布列的求解，以及随机变量数学期望的求解，属综合基础题.

17.答案不唯一，具体见解析.

【解析】

【分析】

由等比数列的条件，求得4=2,可得等比数列的通项公式.然后分别选取条件①②，条件

①③，条件②③，列出关于等差数列首项与公差的方程组，求得首项与公差，得到等差数

列的通项公式及前“项和，再由45-邑，鼠成等比数列列式求解加值即可.

【详解】

设｛叫的公差为"，也｝的公比为4（9＞。），

由题意知qwl,所以看="二心=5n=5绊二

\-q\-q

整理得1+d=5,因为q＞0,所以4=2,所以2=2".

__[。1+见=8（24+21=8fa=12

CD当选取的条件为①②时，有:C"所以f”解得1Q.

[4+S5=-16[q+2d=-4[d=-8

所以=一8〃+20,Sft=一4/+16〃.

所以S|=12,S3=12,Sm=-4疗+16加,

若4号应国成等比数列，则S32=4S£,

后

所以4〃-16/〃+3=0,国军得=2±———,

2

因为〃为正整数，所以不符合题意，此时加不存在.

……f〃i+%=8[2a,+2rf=8[a=6

（2）当选取的条件为①③时，有।3所以'Q,一解得[,

[q+/=-4[2q+8d=Y[d=^

所以%=-2〃+8,5/=一〃2+7〃.

答案第14页，共23页

所以岳=6,53=12国=-苏+7m,

2

若4席邑，鼠成等比数列，则53=4S,S„,,

所以相2—7，〃+6=0,解得，〃=6或加=1(舍去)

此时存在正整数机=6满足题意.

+。<)=—4f267.+8d=~4fci.=-6

(3)当选取的条件为②③时，有“「”，所以一彳，解得]।.

[4+S5=-16[q+2d=Y[d=\

所以q=〃-7,S“=n"13".

所以S=-6,邑=-15,S„,=W~~13ot,

若4席邑,鼠成等比数列，则532=454,即225=-24S.,,

所以4/w2-51m+75=0>解得/«=1,

2

因为，"为正整数，所以不符合题意，此时，”不存在.

【点睛】

等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握

等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前〃项和公式

时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

18.(1)-4[;(2)4一班；(3)存在，点尸(0,2).

【解析】

【分析】

(1)根据三角函数诱导公式化简函数得g(x)=-3sinx+qcosx,根据题意可可得特征向

量；(2)根据题意可得相伴函数/(x)=sinx+石cosx,再根据条件可得cos(x+?)=|,

由sinx=sin[(x+9j=gsin(x+?)-乐os(x+g)最终得到结果；⑶根据三角函

数图象变换规则求出h(x)的解析式，设P(x,2cosgx),根据条件列出方程式求出满足条

件的点尸坐标即可.

【详解】

答案第15页，共23页

e/、.，5zr.54

角牟：(1),/g(x)=sinIx+—jsinII=sinxcos—+cosxsin—+cosx

,,^)=_^sinx+2cosx・•・g(x)的相伴特征向量°——”•十J芋332

22

(2)向量丽=(1,0)的相伴函数为/(x)=sinx+GCOSX,

7184

,//(x)=sinx+6cosx=2sinx+—=,/.sinfx+y

3-55

7171713

•/xeXH-e--呜,/.cos

35

Sinx=Sin[fx+^-^=lSinfx+^-^cosfx+^=^^

LI3J3J2I3J2k3J10

(3)由方=(—6,1)为〃(幻=msin，次。SX的相伴特征向量知:

m=-2.

设P^,2COS|AJ,・・・4-2,3),8(2,6),

/.AP=(x+2,2cos；x-3),8尸二(1一2,2cos；x-6),

又•.•而_L而，.,.而•丽=0，(X+2)(X-2)+(2COS；X-3)(2COS；X-6)=0.

x2-4+4cos2-x-18cos-x+18=0,

22

・•・2cosk.2i=»*)

I22

v-2<2cos—x<2,/.-----<2cos—x--<——,

22222

・•・当且仅当x=0时，(2cos\-2T和学-V同时等于々，这时(*)式成立.

I22)44

二在y=h(x)图像上存在点P(0,2)，使得而，丽.

答案第16页，共23页

【点睛】

关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角

函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.

19.(1)证明见解析

⑵回

5

【解析】

【分析】

(1)取附的中点为凡连接EF,BF,证得CE//BF,进而线面平行得判定定理即可得出

结论；

(2)法一：取4D的中点。连接PO,CO,证得NPCO为直线PC与平面ABC。所成角，

TT

解三角形求出NPCO=j,作于Q,连接证得NMQN为二面角M-A8—O

的平面角，求出NMQN的余弦值即可.

法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：诟=(0,-痴,2),京=(0,0,1),然后利

用空间向量的相关结论可求得二面角-。的余弦值为画.

5

(1)

证明：取R4的中点F,连结是尸。的中点，.•.£/〃49,

EF=；AD,-.-AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90BC//AD,EF/IBC,EF=BC,/.四边

形3c即是平行四边形，

：.CE//BF,-.-BFu平面PAB,CE<Z平面RW,

.,•直线CE〃平面小

(2)

法一：四棱锥P-45CD中，侧面PAO为等边三角形且垂直于底面A5CD,

A8=8C=；AD,ZBAD=ZABC=90,E是的中点.取AO的中点。，M在底面ABCD1.

的射影N在0C上，设4)=2,则48=8。=1,。2=6,;./尸。。=60),

直线则与底面ABCO所成角为45,，可得：BN=MN,CN=¥MN,BC=l,

可得：1+LBN?=BN2,BN=坦MN=星,作NQLAB于Q,连接MQ,A8_LMN,所

322

答案第17页，共23页

以NMQV就是二面角M-AB—。的平面角，MQ=二面角

法二:

由已知得84J_A£>,以A为坐标原点，通的方向为x轴正方向，|而|为单位长，建立如图

所示的空间直角坐标系A一孙z,则

则A（0,0,0）,B（L0,0）,C（l,l,0）,40,1,6），

PC==（1,0,0）则

UUW,、UUIN,

BM=（x-Ly,z）,PMy-Lz->/3J

因为与底面A3CZ）所成的角为45。，而：=（0,0,1）是底面ABC。的法向量，所以

答案第18页，共23页

岫阿讣sin45%必_二2¥

即(工-1)2+/2-22=0

UUUVUlix

又M在棱PC上，设PM=4PC,则

x=2,y=1,z=>/3->/3A

E+变厂1a

22

由①，②得，y=i(舍去)或“产1

瓜瓜

Z=--------z=—

22

所以例1一争用,从而斓=1-^,1,

设，”=（占,％,z（））是平面ABM的法向量，则

in-AM=0即(2-甸%+2%+疝0=0

fn-AB=0

x0=0

mn_V10

所以可取而=（0,-五2）.于是cos仲,〃PIFl5

因此二面角M-AB-D的余弦值为叵.

5

20.（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.

【解析】

【分析】

n^ad-bcy

（1）根据列联表中的数据，利用K-=求得K2,与临界表值对

(a+6)(c+")(a+c)伍+d)

比下结论;

（2）（i）根据X~N（7.2,2.252）,利用小概率事件判断；（ii）易得一个患者属于“长潜伏

期”的概率是；，进而得到p（k）=Ciooo-^J-^]'000"，然后判断其单调性求解.

【详解】

答案第19页，共23页

⑴依题意有