条件概率全概率与贝叶斯公式2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第三册）（解析版）

专题29条件概率全概率与贝叶斯公式

目录

【题型一】条件概率性质..........................................................................1

【题型二】古典概型中的条件概率：取球型..........................................................3

【题型三】条件概率：“医护”分配型..............................................................4

【题型四】条件概率列表型........................................................................6

【题型五】全概率公式基础型......................................................................7

【题型六】贝叶斯公式............................................................................9

【题型七】概率综合题...........................................................................10

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................13

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................15

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................18

常热点题型归纳

【题型一】条件概率性质

【典例分析】

己知P®=g,P(闻A)=g,P(B|可=；.则P(8)=()

【答案】C

【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得P(8A)和尸(BW),从而求得P(B).

【详解】由题知，P(A)=1-P(A)=|,「伍|A)="^=gnP(历l)=P(A)xg=g,

(胡)=又尸(屈=；彳-11

P(BA)=P(A)-P|-g=g,===P(4)x-=—

412

则尸(B)=P(BA)+P(B%)=g+*=^1.故选：C

【提分秘籍】

基本条件概率的性质

(1)设P(A)>0,则P(C|A)=1.

(2)如果B和C是两个互斥事件,那么尸(BuC|A)=P(同4)+P(C|A).

(3)设豆和B互为对立事件，则尸(/4)=1一尸(即4).

(4)O<P(A)<1.

【变式训练】

1.设A,B是两个事件，P（A）＞0,P（8）＞0,则下列结论一定成立的是（）

A.P（B\A）P（A\B）=\B.P（AB）=P{A}P（B）

C.P（fi）＜P（B|A）D.P（AB）＜P（fi|A）

【答案】D

【分析】应用条件概率公式及独立事件的概率关系P（AB）=P（A）尸（B）,结合概率的性质判断各项的正误.

【详解】A：由尸（用力尸（A|B）=I,而04P（B|A）,P（A|B）V1,则P（B|A）==P（A|B）=弓黑=1,

产（A）r（D）

即P（A3）=P（A）=P（3）时成立,否则不成立，排除;

B：当A,8是两个相互独立的事件，有P（M）=P（A）P（8）,否则不成立，排除；

C：由P（3）WP（用力=今黑且0＜P（A）41,故「（AB）之尸（A）尸（5）时成立，否则不成立，排除；

D：由尸（A8）=P（8同尸（A）,而0＜P（A）41,则尸（A3）MP（8|A）,符合；

故选：D

2.已知随机事件A,B的概率分别为P（4）,P（3）,且P（A）P（B）HO,则下列说法中正确的是（）

A.P（A\B）＜P（AB）B.P（8|4）=P（A|8）

C吗潸D.P(B\B)=0

［答案］

【%析】C由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案.

P（A8）P（AB）

【详解】由条件概率知：P（*B）=］再，因为P（8）e（0,l］,所以尸（A|8）=耳苏＞P（4B）,故A不正

确；

"*"）=今符'"'8）=爷膏’P（A）与尸⑻不一定相等’所以「（%4）=尸（加8）不一定成立’故B

不正确；

尸⑹小瑞山叱瑞，所以「⑻小黑L”，故c正确；

P（B）

「（B|B）=启才*0,故D不正确•

故选：C.

3.已知X,后分别为随机事件A,3的对立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,则下列说法正确的是（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.若P（A）+P（B）=1,则A,B对立

C.若4,8独立，则P（川3）=尸（A）

D.若A,8互斥，则P（4⑻+P（同4）=1

【答案】C

【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可

得到答案；

【详解】对A,P（B|A）+P（B|A）=P（AB^（AB）=7^=1＞故A错误；

对B,若A,B对立，则尸（A）+P（8）=l,反之不成立，故B错误;

对C,根据独立事件定义，故C正确；

对D,若DB互斥,则尸（A⑻+P（B|A）=O,故D错误:

故选：C

【题型二】古典概型中的条件概率：取球型

【典例分析】

袋中有4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,

则掷出2点的概率为（）

A-|B.；D-备

【答案】C

【分析】记4：骰子掷出的点数为i,（i=1,2,3）,事件B:取出的球全是白球,

分别求出P（&5）,P（3）,利用条件概率公式即可求解.

【详解】记A：骰子掷出的点数为i,0=1,2,3）,事件B:取出的球全是白球，则尸（A）=J，P（BIA）=呢

oC7

所以「⑶上「⑷/⑷介勾斗+上三+上输二+勾工+4-!-」

I，£S'f6G6烦6C；676763510

I]_

所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：今符

10

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

对于古典概型类，可以采用基本事件总数的方法来计算.

P（B|A）=，了,）,其中N（AB）表示事件AB所包含的基本事件个数。N（A）表示事件A包含的基本

N（A）

事件个数

【变式训练】

1.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事

件A:甲和乙至少一人摸到红球，事件8:甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率尸（8|A）=（）

AB.28

-WC.-D.

559

【答案】D

【分析】求出和P（A）的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，事件A3:甲、乙只有一人摸到红球，

则P即篝4,P⑷=1—4।总

因此,尸（刎=?^=袅*，故选：D.

2.一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异.从中不放回地抽取2个球，每次只

取1个.设事件A="第一次抽到红球”,8="第二次抽到红球“，则概率「(8|A)是(

2

A.-B.-C-D—

5452

【答案】B

【分析】利用古典概率公式求出事件A及事件A8的概率，再利用条件概率公式计算得解

22x1_1

【详解】依题意，P(A)=-,P(AB)=

1

所以68|4)=4黑=当=；.故选：B

P(A)24

5

3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的

是红球，则第二次摸到白球的概率为()

A.-B.|C.D.-

3325

【答案】B

【分析】利用条件概率求解.

【详解】设'‘第一次摸到红球''的事件为A,设“第二次摸到白球”的事件为8，

则P(A)=＞；，P(AB)=|||=；,

所以在第一次摸到的是红球的条件下，第二次第二次摸到白球的概率为：

£

P(8M)=旦缪=；=].故选：B

P(A)13

2

【题型三】条件概率：“医护”分配型

【典例分析】

将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表

示事件“医生甲派往①村庄”；8表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则()

A.事件A与8相互独立B.事件A与C相互独立

C.ABIA)*D.尸(C|4)=V

【答案】D

【分析】由古典概率公式求出P(A),P(B),P(O,P(45),P(AC),再利用相互独立事件的定义判

断A,B；用条件概率公式计算判断C,D作答.

【详解】将甲、乙、内、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有C：A；=36个基本事件，它们等

可能，

1211

事件A含有的基本事件数为A；+C；A；=12,则尸(A)===s，同理尸(8)=60=：；,

3633

21

事件AB含有的基本事件数为A；=2,则2(.)=。=二，事件AC含有的基本事件数为C；+C；C；=5,则

3618

P(4C)=：

36

对于A,P(A)P(B)=[wP(AB),即事件A与8相互不独立，A不正确；

对于B,P(4)P(C)=g*P(AC),即事件A与C相互不独立，B不正确；

P(AR}|

对于C,P(B|A)=±S=z，C不正确;

P(A)6

对于D,尸(C|A)=4^=JD正确.

P(A)12

故选：D

【变式训练】

1.有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加

冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者

只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率()

【答案】A

【分析】用事件4表示“甲被安排到了冰壶”，以4为样本空间，利用古典概率公式求解作答.

【详解】用事件4表示“甲被安排到了冰壶”，8表示“乙被安排到了冰壶”，

在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件8发生，

相当于以A为样本空间，考查事件8发生，在新的样本空间中事件8发生就是积事件48,包含的样本点数

n(AB)==2,

事件A发生的样本点数"(A)=C；A；+A；=12,

所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为P(例A)=奥黑=

n(A)126

故选：A

2.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的

国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A=”4个医疗小组去的国家各不相同”，事件3="小组

甲独自去一个国家”，则尸(川8)=()

【答案】A

【分析】利用条件概率公式有尸(4忸)=£器"，结合排列组合数分别求出尸(8)、P(BcA)即可得结果.

【详解】由尸(幽=等筝，而P(B)=答言，P(BcA)=J=-

r\D)4o4432

o

所以P(A|8)=§.

故选：A

3.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的

国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A="4个医疗小组去的国家各不相同"，事件B="小组

甲独自去一个国家“，则P(A|B)=()

A2BC.-D

•9-I9i

【答案】A

求出P(A)=P(A3),P(B),然后由条件概率公式计算.

【详解】由题意P(A)=M，P(AB)=P(A),p(8)=与

4

A：

442

所需4X33-9-故选：A-

44

【题型四】条件概率列表型

【典例分析】

42

已知某家族有A、8两种遗传性状，该家族某位成员出现A性状的概率为天，出现8性状的概率为A、

7

B两种遗传性状都不出现的概率为m,则该成员在出现A性状的条件下，出现8性状的概率为（）

A.-B.-C.；D.—

4824

【答案】B

【分析】记事件E：该家族某位成员出现A性状，事件尸:该家族某位成员出现B性状，求出P（M）,利用

条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件E：该家族某位成员出现A性状，事件F:该家族某位成员出现B性状，

则尸⑻=白，尸（尸）=祗，呼冷磊，则尸出JF）=1-P（£弓=得,

又因为P（EF）=P（E）+P（F）—尸（EF）,则尸（EF）=P（E）+P（F）-P（E尸）=看，

故所求概率为p（尸IE）=4^=NU.故选：B.

ryt,J1U4o

【变式训练】

1.某射击选手射击一次击中10环的概率是W，连续两次均击中10环的概率是3，已知该选手某次击中10

环，则随后一次击中10环的概率是（）

A.-B.-C.yD.-

5825

【答案】B

41

【分析】设该选手第一次射击击中10环为事件A,第：次射击击中10环为事件5,则P（A）=l，P（A8）=；,

某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：P（8|4）=*7s.

尸（A）

41

【详解】解：某选手射击一次击中10环的概率是连续两次均击中10环的概率是

设该选手第一次射击击中10环为事件A,

第二次射击击中10环为事件B,

41

则P（A）=g,P（AB）=-,

・••某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：

X

P⑻A）=需=|《故选：B.

5

2.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8,在目标被击中的条件下，甲、乙同时击

中目标的概率为（）

【答案】B

【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,山相互独立事件的

概率公式,计算可得目标被击中的概率，进而计算在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率,可得答

案.

【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件8,目标被击中为事件C,

则尸（A）=0.6,尸（8）=0.8,

所以，P（C）=1-P（A）P（B）=1-（1-0.6）x（1-0.8）=0.92,

P（AB）=P（A）P（B）=0.6x0.8=0.48,

则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为「=2|答=段.

故选：B.

3・・某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.7,若第一次

未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5,已知第一次击中目标的概率为0.8,则在第二次击中目标的

条件下，第一次也击中目标的概率为（）

14-14-28c25

A.—B.—C.—D.—

25333339

【答案】C

【分析】设出事件，利用全概率公式计算出P（8）=尸⑷.尸（8|A）+尸（孙尸（8⑼=0.66,再利用条件概率

公式计算出答案.

【详解】设第一次击中目标为事件4第二次击中目标为事件8,

则尸（B|A）=0.7,P（B|A）=0.5,P（A）=0.8,

所以P（X）=0.2,

占攵尸（B）=P（A8）+P（4B）=尸（A）P（3|A）+P（Z）-=0.8x0.7+0.2x0.5=0.66,

坐「解"（即）=3=空c

贝"（A|B）=

P（B）0.660.6633

【题型五】全概率公式基础型

【典例分析】

长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机

超过2h,这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概

率为（）

【答案】A

【分析】令A="玩手机时间超过2h的学生”，&="玩手机时间不超过2h的学生”，B="任意调查一人，利

用全概率公式计算即可.

【详解】令4="玩手机时间超过2h的学生”，&="玩手机时间不超过2h的学生”，8=”任意调餐一人，此

人近视”，

则C=AU4,且A，4互斥，P（A）=0.4,P（A）=0.6,P（B|A）=0.6,P（B）=0.3,

依题意，P（B）=P（A）P（3|A）+P（4）P（3I4）=04X0.6+06XP（3|4）=0.3,

解得月（8|4）=上，所以所求近视的概率为L故选：A

【提分秘籍】

基本规律

全概率公式

若样本空间。中的事件A，4，，A“满足:

(1)任意两个事件均互斥即44=0,，；)=1,2,

(2)A44=。.

(3)P(A)>0,i=l,2,•,〃.则对任意事件8三。，都有P(B)=£P(A)P(B|A),则称该公式为全概

率公式

上述公式可借助图形来理解：

【变式训练】

1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为().12,两个车

间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机

提一台产品，则该产品合格的概率为()

A.0.132B.0.112C.0.868D.0.888

【答案】C

【分析】记事件8表示从仓库中随机提出的一台是合格品，A表示提出的一台是第i车间生产的，i=l,2,

分别求出P(a),P(4),P(BIA),P(B|4),再由全概率公式即可求解.

【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件8,

事件A表示提出的一台是第i车间生产的，i=l，2,

由题意可得P(A)=：=0.4,P(4)=0.6,P(B|A)=O-85,P(5|A,)=0.88

由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(&)P(51A?)=0.4x0.85+0.6x0.88=0.868

所以该产品合格的概率为0.868

故选：C.

2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%；加工出

来的零件混放在一起，且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.现从加工出来的

零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为()

A.0.0415B.0.0515C.0.0425D.0.0525

［答案］D

【彳析】设8="任取一个零件为次品"，由=”零件为第i台车床加工”(i=l,2,3),利用全概率的公式求解.

【详解】解：设8="任取一个零件为次品“，4=”零件为第i台车床加工”(i=l,2,3),

则Q=A/UA2UAnAi,A2,4两两互斥.

根据题意得P(4)=0.25,P(A2)=0.3,P(A,;)=0A5,P(B|A/)=0.06,P(5|A2)=P(B|A，0=0.05.

由全概率公式,得P(B)=P(A/)P(B|A/)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A.J)

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05

=0.0525.故选:D

3.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产

的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为',现从这10盒中任取一盒，再从这盒

中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()

A.<).08B.<>|C.o.i5D.0.2

【答案】A

【分析】以A，4,A?分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光

片为次品，求得尸(A)，P(4)，P(A)，由条件概率和全概率公式可得答案.

【详解】以a,4,4分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,

8表示取得的x光片为次品，P(A)啧，*4)=木，P(4)=t，

P(5IA)=q,P(04)="，P(BIA)=3，

则由全概率公式,所求概率为P(B)=P(A)尸(a4)+尸(4)尸(3|4)+P(4)尸(网4)

【题型六】贝叶斯公式

【典例分析】

一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为在乱猜

时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是()

1231

A.—B.—C.-D.一

3344

【答案】B

【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.

【详解】设A表示'‘考生答对"，8表示"考生知道正确答案”，

由全概率公式得P(4)=P(B)P(A|B)+P(W(N8)=；XI+|X；=；.

,..P(ByP(A\B]；xl2

又由贝叶斯公式得P(8|A)=I；/J；卷一=£.故选:B

尸(A)13

2

【提分秘籍】

基本规律

贝叶斯公式

设A，4，，4是一组两两互斥的事件，Au&u=4=。，且尸(4)>o,i=i,2,则对任意事

尸(A)P(BA)=,P(A,)P⑶A)

件P(B)>0,有P(A|B)=P(B)--7尸(4"(04)，i=l,2,,n

M=1

【变式训练】

1.通信渠道中可传输的字符为A4A4,BBBB,CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3,0.4,0.3.由

于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6,收到其他字符的概率为()2,假定字符前后是否

被歪曲互不影响.若收到的字符为ABC4,则传输的字符是A4AA的概率为.

【答案】0.5625

【分析】以8表示事件“收到的字符是ABC4”，4，4瓜3分别表示传输的字符为A4A4,BBBB，CCCC,

根据已知得到P（创A），P（邳4）,利用贝叶斯公式可计算求得尸（A⑻.

【详解】以B表示事件“收到的字符是A8C4”，A表示事件”传输的字符为A4A4”，4表示事件“传输的字

符为BBBB,、,&表示事件“传输的字符为CCCC”，根据题意有：

P（A）=0.3,P（4）=0.4,P（A3）=0.3,P（B|^）=0.6x0.2x0.2x0.6=0.0144,

P（B|A,）=0.2x0.6x0.2x0.2=0.0048,P（B|）=0.2x0.2x0.6x0.2=0.0048；

根据贝叶斯公式可得：

P（3|A）P（A）.0.0144x0.3

P（A|B）==0.5625

±P（A）P（A,）OO44x0.3+0.0048x0.4+0.0048x0.3

i=l

故答案为:0.5625.

2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车为0.01.今有一辆

汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为.

【答案】0.80

［分析］设“中途停车修理”为事件B,“经过的是货车”为事件A,“经过的是客车”为事件&,则

8=4乃+48,然后代入贝叶斯公式计算.

［详解】设“中途停车修理''为事件B,“经过的是货车“为事件A,“经过的是客车”为事件4,则

21

8=A8+&8,P（A）=§,P（4）=j尸（814）=0.02,P（B|A,）=0.01,由贝叶斯公式有

2

P（A）P（B|A）x0.02

P（AIB）=3---；--------=0.80.

（）（）（）尸⑹）

PAP8IA+P&4-x0.02+~x0.01

33

故答案为:0.80

3.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%,女性色盲患者出现的概率为0.5%.今从男女人数相

等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是.

14

【答案】i?

【分析】以事件A表示“选出的是男性"，则事件表示“选出的是女性“，以事件H表示“选出的人是色盲患

者”.由已知得P（A）=P（司=3，P（H\A）=1%,尸（以同=0.5%.根据贝叶斯公式可求得答案.

【详解】解：以事件A表示“选出的是男性”，则事件彳表示“选出的是女性“，以事件H表示“选出的人是色

盲患者

由题意，知P（A）=P®=；,P（W|A）=7%,P（”同=0.5%.

由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为

7%x-,.

「（川昨邛L—叫”力、,、2_14

7%xl+0.5%x-15

22

14

故答案为：—.

【题型七】概率综合题

【典例分析】

2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在

如图的街道尸处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（）

①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为三

④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件人小明经过尸事件

2

B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则P（8|A）=百

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数加，并确定向上或向右各走的步数”，则最短路

径的走法有C：,再利用古典概率及条件概率求法，求小明到尸处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明

经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.

【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移

动，

对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，

所以最短路径条数为C；=3条，错误：

对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为C=35

条，正确；

对于③，小明到F的最短路径走法有=6条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明

到老年公寓共有35条，

所以到F处和小华会合•起到老年公寓的概率为等正确；

对于④，由题意知：事件A的走法有18条即P（A）T，事件ACS的概率P（4CB）=整：=

所以P（6|A）=T：：）=|,错误.

故说法正确的个数是2.

故选：B.

【变式训练】

1..甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大

小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，Az和4表示由甲罐中取出的球是红球，白

球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的

个数是（）

①事件A与4相互独立；

②4,4是两两互斥的事件；

③产（3%）=（:

Q

④P（B）=K；

4

⑤P(A|B)=g

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】先判断出A，4,A3是两两互斥的事件，且不满足尸(A4)=P(A>P(4)，①错误，②正确，用

条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.

【详解】显然，A，4,4是两两互斥的事件，且

c1O1

==m)=7-T-T=7>而尸(A4)=°x尸(A>P(4)，①错误，②正确；

JI4I，4JI乙I，J

2I1444

P

P(4)=HTj75=W'(M=g><TT=^-所以「⑻&)=1r③正确；

P(B)=尸(B|A)P(A)+P(M4)•尸(4)+P(邳4)"(4)=31+白：+今祗=4④正确;

乙1.L1LJ1UL1/",

平⑤错误，综上：结论正确个数为3.

r(D)9

22

故选：C

2.抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是()

［答案］C

【3■析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别

求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.

【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，

其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，

记事件A为“有一枚正面朝上”，则尸(4)=(，

O

记事件8为“另外两枚也正面朝上”，

则A8为“三枚都正面朝上”，故P(AB)=J,

O

故阻止需

8

即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是1.

故选：C.

【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力.

3.如果｛4｝不是等差数列，但若弘eN*,使得4+%2=2〜，那么称｛%｝为“局部等差''数列.已知数列｛%｝

的项数为4,记事件A：集合｛%,,9,$,见｝=｛1,2,3,4,5｝,事件B：｛七｝为“局部等差”数列，则条件概率

P(B\A)=

【答案】C

,、RAB)

【分析】分别求出事件A与事件B的基本事件的个数，用尸(8|A)=-^1计算结果.

【详解】由题意知，事件A共有C・M=120个基本事件，事件B：“局部等差”数列共有以下24个基本事件,

(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为I,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个，含3,2,1

的局部等差数列的同理也有3个，共6个.

含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同，也有6个.

含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,I共2个，

含4,3,2的同理也有2个.

含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,I,3,5和1,3,5,4共4个,

含5,3,1的也有上述4个，共24个，

P(B\A}=—£

v71205

故选C.

M分阶培优练

培优第一阶——基础过关练

37

1.已知尸(A|3)=i，P网Mg,则P(A8)=()

27

D.—

49

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

37371

【详解】因为尸(A|8)=,,P(B)=g,所以P(A8)=P(A|B)P(8)=,X3=3.

故选：C

2.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对

的概率为0.8,没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则

这个学生2道题全做对的概率为()

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

【答案】C

【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.

【详解】设事件A表示“两道题全做对”，

则4Tx

若两个题目都有思路,0.82=0.32

C4

则鸟=野

若两个题目中一个有思路一个没有思路,X0.8x0.25=0.1

故P(A)=6+6=0.32+0.1=0.42,

故选：C

9

3.某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是玄，连续两天顾客量超过1万人次

的概率是在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客

量超过1万人次概率是().

7947

A.—B.—C.—D.一

101059

［答案］D

【5■析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可.

【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A,“随后一天的接纳顾客量超过1万人次”为事件5,

97

则"A)=，"A8)=万

所以尸(即)=需=£4,

故选：D.

4.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率是95%,

乙厂产品的合格率是90%,则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()

A.0.92B.0.93C.0.94D.0.95

【答案】B

【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】从某地市场上购买一个灯泡,设买到的灯泡是甲厂产品为事件A,买到的灯泡是乙厂产品为事件B,

则尸⑷=0.6,尸(3)=0.4,

记事件C：从该地市场上买到一个合格灯泡，则尸(C|A)=0.95,P(