江苏省连云港市灌南某中学2021-2022高三年级上册第一次月考数学试题（解析版）

灌南高级中学2021-2022高三年级第一学期第一次月考

数学试卷

一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（每题5分，8题共

40分）

1若集合A={0,1,3},S={x|x（x-3）＜0}则AD8=（）

A.（0,3）B.（0,3]C.{1,3}D.[0,3]

【答案】D

【解析】

【分析】求出A与8中不等式的解集确定出A与B,再求出A与8的并集.

【详解】集合4={（）」,3},B={x|x（x-3）＜0）=（0,3）,

则—8=[0,3],

故选:D

2.已知角a的终边经过点P（—2,4）,则函数sina-cosa的值等于（）

A.述B.M/D.一毡

5553

【答案】A

【解析】

【分析】先利用三角函数的定义求出sina,cosa,从而可求出sina—cosa的值

【详解】解：因为角a的终边经过点尸（一2,4）,

4，426-2V5

所以即"斤少==2,B5,(-2)2+425

所以sina-cosa=

5

故选：A

3.函数/'(x)=(x_g)cosx

(一万4且XH0)的图象可能为()

【答案】D

【解析】

【详解】因为/(—X)=(—x+3cosx=—(x-L)cosx=—/(x),故函数是奇函数，所以排除A,B；取工=万，

XX

则/(1)=(九一与COS7=一(乃一■-)<0,故选D.

717V

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

4.设函数/(x)=gx2-91nx在区间上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.(1,2］B.

C.(―8,2］D.(0,3］

【答案】A

【解析】

【分析】利用/(%)的导函数f(X),结合/(x)在区间［a—1,a+1］上的单调性列不等式组求得。的取值

范围.

【详解】由7(力=/*2一乡也苍〉>。),则/(向=彳_2=土二2,a>o),

2xx

当xe(0,3)时，,f'(x)<0,则“X)单调递减；

当X€(3,+<O)时，f'(x)>0,则f(x)单调递增,

67-1>0

又函数“X)在区间［aT,a+l］上单调递减，所以,解得l<aW2,

。+1〉61—1

故选：A

3

5.已知函数f(x)=cosQr-％)-COS(Q»+X)+1,则函数/*)的最小正周期为()

7171-

A.—B.—C.1D.27r

42

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式以及辅助角公式化简/(x)，再根据丁=而即可得出答案.

【详解】由题意得/(x)=cos(^-x)-cos(—7T+x)+\=-cosx-sinx+1=-V2sinx+—+1

2I4；

在由7=育=2%

故选：D

6.已知函数/(x)=2sin(2x+^],若a为锐角且/(£■)=■!，则/(a+总的值为()

48c242448

A.-----B.------C.—D.

25252525

【答案】D

【解析】

【分析】由/[f]=|得sin[a+V=],结合a为锐角可得cos[a+"=，然后利用二倍角公式

可得/a+—乃.

n

【详解】因为/(万)=+=s，所以sin(a+w3

5

因为a为锐角，且sin(a+巴)=3＜q=sin工，所以0＜二+工＜工,

I6J52363

,.(乃1r乃)彳3448

=4sina+—cosa+—=4x—x—=——.

I6JI6)5525

故选：D.

7.已知定义在R上的偶函数/(力=卜一加+1|-2,若正实数。、匕满足〃a)+/(%)=根，则2+之的

ab

最小值为()

A8R8+4石086n2河

5555

【答案】B

【解析】

【分析】由偶函数定义可构造方程求得相，由此得到/(x)解析式；由已知等式可得到。+必=5,根据

、

-2+-3=-1,2-+-3\(a+2b),配凑出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果•

ab5\abJ

【详解】为R上的偶函数，.•J(—x)=/(x),即卜工-加+1|-2=|x-m+l|-2,

即(-x-m+l)-=(x-m+1)~,整理得：2(m-l)x=-2(/n-l)x,=

.•J(x)=|x|-2,.•./(a)+/(如=a-2+»一2=1,即a+2Z?=5；

23]_32/7)=1|8+—4b3a8+4月4b3。

—+-+Cl++一>-8+2(当且仅当——=工

ab5iba5ab

即2。=6。时取等号);

,23的且[/-j-si8+4\/3

•・—F—的最小值为-------

ab5

故选：B.

8.已知定义在［Le］上的函数〃力满足且当xej,1］时，/(x)=xhrc+l,若方程

e1x/e

/(x)—gx—a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()

1,11,3

A-(-'1一一JB-Q-e2'1一丁］

3ee1c2e

111।3

C(2，1f---JD-(―»1--J

l-ee3e2e

【答案】B

【解析】

【分析】由题设，求分段函数/(X)的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为/(X)和

)，=5%+”有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数。的范

ffl.

【详解】•..当xepl时，/(x)=xlnx+l,

.•.当xe(l,e］时，==-Jlnx+1,

x/nx+l,xe-,1

综上，/(%)=<Le-

——ZA2X+l,XG(l,el

、X

当xe1,1时，/,(x)=l+lnx>0,则/(x)在1,1上单调递增,

当xe(l,e］时，/,(x)=-^(lru-l)<0,则/(x)在(l,e］上单调递减，

•••/(x)-gx-a=O有三个不同的实数根，

二“X)的图像和直线y=；x+a有三个不同的交点，

作/(x)的大致图像如图所示，

当直线y=gx+a和/(x)的图像相切时，设切点为(毛,%)，

1」J-11

工/(毛)=1+1nAi)=5，可得面二^葭Jo=—T,21代入y=jX+Q，

乙L乙

可得［一；，

'Ta=\-e2

1fl1A3

当y=—过点一,1—时，a-\-----,

2\ee)2e

(二3'

由图知，实数〃的取值范围为1—62,1—.

I2e」

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：将方程有三个不同实数根转化为函数图象有三个不同交点问题，应用数形结合思想及导数

研究函数图象的交点情况，求参数.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.己知命题〃：/+3%一4<0；命题q：2ox-l<0.若，是q的充分不必要条件，则实数。的值是()

11

A.——B.IC.：D.0

22

【答案】CD

【解析】

【分析】先将命题化为最简形式，再代入选项中的值判断即可.

【详解】对于P：-4<x<l；对于q:2办<1.

对于A,当“=—•!•时，q-.x>-\,P是4的既不充分也不必要条件，故A错误；

2

对于B,当。=1时，q:x<g,"是4的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C,当。=,时，q：x<l,P是夕的充分不必要条件，故C正确；

2

对于D,当。=0时，q：R,。是夕的充分不必要条件，故D正确.

故选:CD

10.若定义域为R的函数/(x)在(4,+co)上为减函数，且函数y=/(x+4)为偶函数，则()

A./(2)>/(3)B./(2)=/(6)

C.〃3)=/(5)D./(3)>/(6)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据条件，分析函数的单调性和对称性，再根据的性质逐项分析即可.

【详解】因为/(x+4)是偶函数，所以“X)的图像关于直线x=4对称，

即当时，“X)单调递增，当xw(4,+e)时，单调递减，

在x=4处取得最大值；

对于A,2,3e(-o),4),3>2,.-./(3)>/(2),错误；

对于B,|4—2|=|6—4|=2,/(2)=/(6),正确；

对于C,|3—4|=|5-4|=1,/(3)=/(5),正确；

对于D,/(3)=/(5),5,6«4,”),6>5,〃6)</(5)=/(3),正确；

故选：BCD.

11.函数y=而抽(的+夕)(4＞0,。＞0,0＜夕＜兀)在一个周期内的图象如图所示，则().

A.该函数的解析式为y=2sin(gx+^)

B.该函数图象的对称中心为(也一三,0),keZ

(5兀兀、

C.该函数的单调递增区间是3E—7,3也+1,k&z

D.把函数y=2sin(x+g)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的|■倍，纵坐标不变，可得到该函数图

象

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.

2兀(兀、

【详解】由题图可知，A=2,周期T=——=4兀一;=3兀，

co\4

所以。=2

则y=2sin

3

因为当”号时,y=2sin]gx：+")=2,Bpsinf-^-+^j=1,

TT

所以％+e=5+2E,Z£Z,即0=§+2EkwZ,

TT

又o<e<7t,故夕=一从而y=2sin故A正确;

271713

令一xH—=krc,keZ,得尤=---1—kit,keZ,故B错误;

3322

jr2717r

令——+2fcrW—x+—W—+2E,keZ,

2332

JJI兀

得-----—F3/CJIkeZ,故C正确;

449

函数y=2sin（x+方）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的|■倍，纵坐标不变，

可得到y=2sin（：x+1）,故D正确.

故选：ACD.

12.已知函数函（力=3,二则下列结论正确的是（）

A.函数/（X）在（0,兀）上单调递减

B.函数/（X）在（-兀,0）上有极小值

C.方程〃x）=g在（一兀,0）上只有一个实根

D.方程小）=5+詈在上有两个实根

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得函数/（X）的导数，求得函数“X）的单调性，可判定A,由函数“X）的单调性和极值的概

念，可判定B,利用函数/（X）的单调性，极值、端点的函数值，可判定C：将非常的解转化为两个函数

图象交点的个数，结合图象，可判定D,即可得到答案.

【详解】由题意，函数/（x）=sm；+l,可得尸（x）=cosx；mxT,

当即cosx-sinx-l>0,所以cos（x+苧）>连，

Jr37r37rTT

所以2k7i—<xH---<2kjiH----,k£Z,解得2女乃<x<2k肛火£Z,

4442

jr37r

当后=（）时，<%<0；当k=1时，—<x<2万，

22

当/'（x）v。，即cosx-sinx-lv。，所以cos（x+常），

57r37rTCTI

所以2—<x+--V2ATT+—,ZWZ,解得2%左一2"VX<2ATT、keZ,

4442

437r

当攵=0时，-2%<x<---；当左=1时，0<xv—,

22

所以当xe（0,0时，/'（x）<0J（x）单调递减，所以A正确；

又因为当xe(—万,一时，/'(x)<0,当XG(一万,0)时，/'(x)>0,

所以/(X)在无=一/出取得极小值，所以B正确；

因为/(一万)="“f(一多=OJ(O)=1，所以〃x)=g在(一肛。)上不只有一个实数根，所以C不正

确；

E、，、e\1cosxsinx+11cosx

因为方程/(x)=r+-^,a即rl---=—+-^,

ee

sinxcosxUeex

n即n——=-----，所以tanx=一，

exx

正切函数了力值在(一/,01(0,5]为单调递增函数，

又由函数丁=《，可得>'=史9二1,

XX"

当xe(-■1,0%口xe(O,l)时，/<0,当xe1],?时，/>0,

且当时，y=£<0,作出两函数大致图象，如图所示，

由图象可得，当》€(-5,0)口(0,5],函数y=tanx与y=J的图象有两个交点，

所以D正确.

故选：ABD.

【点睛】利用导数研究函数的单调性(区间)的方法：

(1)当导函数不等式可解时，解不等式/'(x)>0或/'(x)<0,求出函数的单调区间；

(2)当方程/'(x)=0可解时，解出方程的实根，依据实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间

/'(X)的符号，从而确定函数的单调区间；

(3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据/'(%)结构特征，利用图像与性质确定了'(X)的符

号，从而确定单调区间.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y的定义域为

【答案】（0,1]

【解析】

x>0

【详解】由题意得｛log/N0：，解得定义域为（01]•

2

2sin2a

14.曲线y=lnx——在工=1处的切线的倾斜角为a,则——-------

x3cos5a-I-sin-a

【答案】\

【解析】

【分析】由导数几何意义求得tana,再结合同角三角函数基本关系即可求解

12

【详解】根据已知条件可知：/（工）二一+），

XX

2

因为曲线y=lnx——在x=l处的切线的倾斜角为a，

x

所以tana=/（1）=1+2=3,

sin2a2sinacos<72tana2x31

因为---------------=----------------=---------=-----=一

3cos2a+sin2a3cos2<z+sin2a3+tan2a3+322

故答案为：y

15.若函数/（工）=4面（5+0）（4>0,切>0）的图像与直线了二加的三个相邻交点的横坐标分别是今

2,斗，则实数。的值为.

JJ

【答案】4

【解析】

【分析】

由题可分析函数,。）与丁=〃，的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为T,即7=丁-二=—，进而

3669

求解即可

【详解】由题意得函数/（X）的最小正周期T=—1—，解得刃=4

3669

故答案为：4

【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用，考查求正弦型函数中的。

'-x2+2cox,x<1I

16.已知函数/（x）={alnx

-----,x>I

①当x<l时，若函数/（X）有且只有一个极值点，则实数〃的取值范围是；

②若函数“X）的最大值为I,则。=.

【答案】①.（—,1）②-I

【解析】

【分析】①首先求出当X<1时"X）的极值点，根据题意即可得到a的取值范围.

②分别讨论当a=0,a<0和a>0时，求出函数的最大值，比较即可求出。的值.

【详解】①当x<l时，f（x）=-x2+2ax.

f'(x)=-2x+2a,令/'(x)=0,解得x=a.

因为函数f（x）在（TO,I）有且只有一个极值点，所以a<l.

—dx<1

②当4=0时，/（X）=\,此时£.。）=0,舍去.

0,x>1

当"0时,

alnx

x>1,/（X）<0.

x

2222

x<1,f(x)=-x+2ax=-(x-a)+a.fmM.(x)=/(«)=a.

所以片=1，因为。<0,所以a=-l.

当a>0时,

/(x)皿J，(x)=^3

x>l,

X广

令/'（x）=0，解得。=仁

xe[l,e),f\x)>0,f(x)为增函数，

xe(e,+°o),f'(x)<0,/(x)为减函数.

Znax(x)=/(e)=q.

e

当xvl时，f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以,

（1）当OvaVl时，/max（X）=/（〃）=白？;

与a1、2

当/之一时，即。2—，/nax(x)=a=l,解得。=1(舍去).

ee

当时，即0＜。＜1,£m。)=2=1,解得a=e(舍去)；

eee

(2)当时，f(x)＜2a-l,只有工而(x)=/=l且222a-1,这样的。不存在.

综上所述：a--\.

故答案为：①(-8,1)；②-1.

【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的极值点和最值，分类讨论是解题的关键，属于难题.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.设函数f(x)=cosx.sin(x+W)-Gcos2x+手，xe[O,2jt].

TT

(1)求人十；

(2)求函数“X)所有零点之和.

【答案】(1)--

4

(2)5

3

【解析】

17c7T

【分析】(1)根据三角恒等变化公式化简可得/(x)=5sin(2x—§),再求解/(内)即可；

1yr

(2)根据零点的表达式，求出/(x)=5sin(2x—§)在xe[0,2兀]上的所有零点再求和即可.

【小问1详解】

=—sin(2x--),

23

【小问2详解】

1兀

令/(幻=0,则一sin(2x——)=0,

23

.•.2x-g=2E或2X-1=2E+TI,[keZ),

即x=Z兀+?■或x=E+空，(keZ),

63v7

XG[0,2^1,

0^

或

X-271或

=一

6635J-I

^3

兀+-571

771+一

6-6一33-131

函数/（龙）所有零点之和--兀

3

18.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且20sinA-氐=0.

（I）求角B的大小：

（II）求cosA+cos3+cosC的取值范围.

n（V3+13-

【答案】（I）B=（II）——

3（22

【解析】

【分析】（D方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；

（II）方法二：结合（I）的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形

为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cosA+cosB+cosC的取值范围.

【详解】（I）

［方法一］:余弦定理

（Cn2R2

由2bsinA=ga，得sin~A=—=~^r，1-cos2A-.

I4b24"

h2A.2-/I2

结合余弦定cosA=-----R-----,

2hc

国+c2_*23a2

••1-=T»

（2bcJ4b2

即4b2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c?,

即a4+b4+c4+a2c2-2a2b2-2b2c2=0，

即a4+b4+c4+2a2c2一2a2b2-2b2c2=a2c2，

即+02_从)2=(ac)2,

•.二ABC为锐角三角形，.••/+/—/>o，

a1+c2-b1=ac>

„ci~+c~-b"1

所以cosB=---------=-

2ac2

rr

又8为二ABC的一个内角，故8=§

［方法二］【最优解】：正弦定理边化角

由2/?sinA=，结合正弦定理可得：2sinBsinA=GsinA「.sin8=^^

2

rr

二ABC为锐角三角形，故3=—.

3

（II）［方法一］:余弦定理基本不等式

TT

因为8=§,并利用余弦定理整理得〃=/+C.2一ac，

即3ac=(a+c)2-b2.

'a+c]2

结合acW,得罕(2.

、亍,b

TTO.+CL

由临界状态（不妨取A=—）可知一-=V3.

2b

而,ABC为锐角三角形，所以

h

M_"2a2+b2-c1

由余弦定理得cosA+cosB+cosC=------:-------+

2hcrlab

代入化简得cosA+cosB+cosC=1"十°

b2=a2+c2—ac，+1

2b

G+13

故cosA+cosB+cosC的取值范围是

2'1'

［方法二］【最优解】：恒等变换三角函数性质

结合（1）的结论有:

二sin271

62

0<-7T-A<-

32TV.7T7C.7V2乃

由，可得:—<A<—,一<A+一<——,

CA兀6236

0<A<—3

2

则sin(A+AwsinA+&71+%x/3+l3

\6J622，2.

V3+13-

即cosA+cosB+cosC的取值范围是

2'2'

【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得

a2+c2-b2=ac^运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定

为最优解；（H）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接

使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.

19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c==45。.

（1）求sinC的值；

4

（2）在边BC上取一点O,使得cosZAOCu-g,求tan/DAC的值.

【答案】（1）sinC=--;（2）tunADAC=—.

511

【解析】

【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得〃，利用正弦定理求得sinC.

（2）方法一：根据cosNADC的值，求得sinNADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得

sinADAC,cosADAC的值，进而求得tanADAC的值.

【详解】（1）［方法一］:正余弦定理综合法

由余弦定理得〃=/+c2—2accos8=9+2—2x3x及xJ=5，所以b=6.

2

.cb.「csinB<5

由正弦定理得----=-----nsinC=------.

sinCsinBb5

［方法二］【最优解】：几何法

过点A作AEJ.BC,垂足为E.在RtAABE中，由。=&,8=45?,可得AE=BE=1,又。=3,所以

EC=2.

在RtACE中，AC=yjAE2+EC2=\［5>因此sinC=；=g-

，55

（2）［方法一］:两角和的正弦公式法

471——；------3

由于cosNADC=--,ZADC€—,所以sinNA0C=cos2ZADC=-

525

由于NAOCe■，万），所以所以cosC=Jl-sin?C=冬叵

所以sinNZMC=sin(万一N/MC)=sin(ZADC+ZC)

37[s4、42石

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=-x-----+x—二---

555525

由于“4河04，所以cosZDAC=J1-sin?NDAC=

25

sinND4C2

所以tanADAC=

cosZDACTT

［方法二］【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

44

在Q）的方法二的图中，由cosN4DC=-一,可得＜：05乙4。£'=（：05（）-224£）（7）=-（：05//4。。=—

55

从而sinNDAE=cosZADE=-,tanNDAE=〃)AE=4

5cosZDAE3

EC

又由(1)可得tan/E4C=——=2,所以

AE

tanZEAC-tan/EAD_2

tanADAC=tan(Z£4C-ZEAD)=

1+tanZEAC-tanZEAD11

［方法三］:几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=J^.

r-4

在RtAADfi中，AD=------------=>/5,ED=ADcosZADE=—，

sinZADE3

所以CD=CE-DE=Z

3

在AACD中，由正弦定理可得sinADAC=—sinC=二一，

AD25

2

由此可得tan/D4C=—.

11

［方法四］:构造直角三角形法

如图，作AELBC,垂足为E,作。GLAC,垂足为点G.

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=J^.

2

由COSNA£>C=-3,可得cos/AOE*=—,sinZADE=71-cosZADE=-

555

在RrAADE中，AD=———=-,DE=yjAD2-AE2=-,CD=CE-DE=-

sinZADE333

由Q）知sinC=@,所以在Rt^CDG中，DG=CDsinC=^-,CG=y/CD2-DG2,从

51515

而AG=AC-CG=口叵

15

DG2

在RtADG中，tan/D4G-=—.

AG11

所以ND4c=2.

11

【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b=不，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45。

角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用

两角和的正弦公式求得ND4c的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式

求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得ND4C的正弦值，进

而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有ND4C的直角三角形，进而求解，也是很

优美的方法.

20.如图，在四棱锥P-A8CD中，附J_平面ABC。，PA=AB=BC^2,AD=CD,NABC=120°.

（1）求证：平面以0_平面尸80；

（2）若点〃为PB的中点，点N为线段PC上一动点，求直线MN与平面B4C所成角的正弦值的取值范

围.

【答案】（1）证明见解析

V22近一

（2）---,----

87

【解析】

【分析】（1）设AC的中点为0,先证明由条件可得5。，2，从而可证明结论.

（2）由（1）可得。CJ.OD,以OC,。。所在的直线分别建立x轴和）,轴，过。点作平行于AP的直线为z

轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

设AC的中点为0，因为A3=8C,所以80_LAC,

因为AT>=C£>,所以“）_LAC,所以B,O,。三点共线，

所以BDJ.4C，因为小，平面A3CD,3Ou平面ABC。，

所以BZ）_LB4，因为2414。=4,//<=平面尸4。,4。1平面24。,

所以BD_L平面PAC,因为8。三平面P8D,所以平面Q4CL平面P8D.

【小问2详解】

由（1）可得OC_L。。，以OC,。。所在的直线分别建立x轴和），轴，过。点作平行于心的直线为z轴

建立空间直角坐标系，

则C«,0,0）,P（-百,0,2）,B（0,-1,0）,

（也1A

因为M为的中点，所以M--y-,--,1,

22

7

UUllUUULI—

设PN=4PC(O</1<1)，所以N(2Wl—百,0,2—22),

所以MN=(2G/l-3,」』—2/l],

I22)

由（1）知8。，平面PAC,所以平面B4C的一个法向量为“=（0,1,0）,

设直线MN与平面PAC所成角为6,

UUU1

则sin6=3(搬洋喘^"

5S7

由y=16/V—10/1+2的对称轴为4=,当4=时，Xnin=

161616

当彳=1时，乂侬=8

即当0W4W1时，<>/16A2—10/1+2<2>/2，所以—/W丁

482V1622-102+27

所以在wsinew"，

87

V22币一

即直线MN与平面PAC所成角的正弦值的取值范围为—

21.为了给学生提供优雅的学习环境，某学校决定在夹角为30。的两条道路£6、研之间建造一个半椭圆

形状的小花园，如图所示，A6=2百米，。为AB的中点，。。为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建

造一个三角形区域OMN,作为生物课学习植物的基地.其中M,N在椭圆上，且MN的倾斜角为45。，交

0。于G.

(1)若OE=3百米，为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值；

(2)若椭圆的离心率为且，当线段0G长为何值时，生物学习基地.QWN的面积最大？

2

【答案】(1)巫

3

(2)线段0G长为巫百米

2

【解析】

【分析】(1)建立平面直角坐标系，利用直线与椭圆相切去求椭圆长半轴长的最大值；

(2)利用设而不求的方法先求得面积的表达式，再对其求最大值即可解决.

【小问1详解】

以点。为坐标原点，。。所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

设椭圆方程为[+与=l(a>b>0),因为OE=3,则E(0,3),

又EB、EF夹角为30°,所以直线E