三年（2022–2024）高考数学真题分类汇编（全国）专题09 平面向量（解析版）

专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题

考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．故选：B．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则．【答案】【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．故答案为：．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则．【答案】【解析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.故答案为：.7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量满足，所以.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因为，所以.故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则，，所以.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知，且，则的值为．【答案】15【解析】，，解得．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以即，故，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量．若，则．【答案】/【解析】由题意知：，解得.故答案为：.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．【答案】【解析】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为，若，则的最大值为【答案】【解析】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．【答案】【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．23．（2023