2024秋高中数学第五章数列5.5数学归纳法课后习题新人教B版选择性必修第三册

PAGEPAGE15.5数学归纳法必备学问基础练1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于()A.1 B.2 C.3 D.02.用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应留意n必需为()A.n∈N+ B.n∈N+,n≥2C.n∈N+,n≥3 D.n∈N+,n≥43.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+13A.1B.1C.1D.14.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为.

5.用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).6.数列{an}的前n项和为Sn,且满意an=Sn+1Sn-2(n∈N+(1)求S1,S2,S3,S4的值;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.关键实力提升练7.利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+…+12n<1(n∈N+A.增加了12B.增加了12C.增加了12k+1和1D.无改变8.已知关于自然数n的命题P(n),由P(k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是()A.P(7)肯定不成立 B.P(5)可能成立C.P(2)肯定不成立 D.P(4)不肯定成立9.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对随意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.30 B.9 C.36 D.610.若f(n)=1+12+13+…+13n-1(n∈N+),用数学归纳法验证关于f(n)的命题时,第一步计算f(1)=;其次步“从n=k到n=k+1时”,f(k+11.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+.

12.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N+),用数学归纳法证明f(2(1)当n=1时,f(21)=1+12(2)假设n=k(k∈N+)时命题成立,即f(2k)>k2,则当n=k+1时,f(2k+1)=f(2k)+>k+12,即当综上所述,对随意n∈N+,都有f(2n)>n2成立13.用数学归纳法证明“设f(n)=1+12+13+…+1n”,则2+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N+14.是否存在a,b,c,使等式1n2+2n2+3n2+…+nn2=an2+bn+cn对一切n∈N15.(2024江西赣州高二期中)已知数列{an}满意a1=13,前n项和Sn=(2n2-n)an(1)求a2,a3,a4的值并猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.学科素养创新练16.(多选题)用数学归纳法证明2n-12n+1>nn+1对随意n≥k(n,kA.1 B.2 C.3 D.417.已知m,n为正整数,(1)证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;(2)对于n≥6,已知1-1n+3n<12,求证:1-mn+3n<12m,m=1,2,…,n;(3)求出满意等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的全部正整数n.参考答案5.5数学归纳法1.C因为多边形的边数最少是3,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C2.D当n=1,n=2,n=3时,明显不等式不成立,当n=4时,不等式成立,故用数学归纳法证明n3>3n2+3n+1这一不等式时,应留意n必需为n∈N+,n≥4,故选D.3.B当n=k时,左边为1k+1+1k当n=k+1时,左边为1k+2+1k所以左边需添加的项是13k+1+4.当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立5.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)可知,原命题成立.6.解(1)当n=1时,∵a1=S1=S1+1S1-2,∴S1=又a2=S2-S1=S2+1S2∴S2=23同理S3=34,S4=4(2)猜想Sn=nn+1(n∈N+下面用数学归纳法证明这个结论.①当n=1时,结论成立.②假设n=k(k∈N+)时结论成立,即Sk=kk当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+1Sk∴1Sk+1=2∴Sk+1=12即当n=k+1时结论成立.由①②,知Sn=nn+1对随意的正整数n7.C不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为1k+1k+1+1k+2+…+12k;当n=k+1时,8.C∵P(n)对n=6不成立,无法推断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则依据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立冲突,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)肯定不成立,故D错误,C正确.故选C.9.C由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,明显成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).∵3k-1-1是2的倍数,∴18(3k-1-1)能被36整除,∴当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值为36.10.3213k+1当n=k时,f(k)=1+12+13+当n=k+1时,f(k+1)=1+12+13+所以f(k+1)=f(k)+1311.k+1当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.12.12k+1+12k+2+…+12k+1因为f(n)=1+所以f(2n)=1+12+13+…+1n所以当n=k(k∈N+)时,f(2k)=1+12+13+…+1k当n=k+1时,f(2k+1)=1+12+13+…+1k+…+12k+12k+1+12故答案为12k+1+113.2+f(1)=2f(2)∵n≥2,∴n0=2.视察等式左边最终一项,将n0=2代入等式,可得2+f(1)=2f(2).14.解取n=1,2,3可得a解得a=13,b=12,c=下面用数学归纳法证明1n2+2n2+3n2+…+nn2=2n2+3n+1即证12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即12+22+…+k2=16k(k+1)(2k+1)成立则当n=k+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=16k(k+1)·(2k+1)+(k+1)2=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(∴当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合①②,知当n∈N+时等式成立,故存在a=13,b=12,c=115.解(1)∵a1=13,前n项和Sn=(2n2-n)an∴令n=2,得a1+a2=6a2,∴a2=13×5令n=3,得a1+a2+a3=15a2,∴a3=15×7令n=4,得a1+a2+a3+a4=28a2,∴a4=17×9猜想an=1((2)证明如下:①当n=1时,结论成立;②假设当n=k(k∈N+)时,结论成立,即ak=1(则当n=k+1时,Sk=(2k2-k)·ak=k2k+1,Sk+1=[2(k+1)2-(k+1)]·ak+1,即Sk+1=Sk+ak+1=k2k+1+ak+1=[2(k+1)2-(∴k(2k+3)·ak+1=k2k+1,∴ak+1∴当n=k+1时结论成立.由①②可知,对一切n∈N+都有an=1(216.CD取n=1,则2n-取n=2,则2n-取n=3,则2n-取n=4,则2n-下面证明:当n≥3时,2n-当n=3,则2n-设当n=k(k≥3)时,有2k-则当n=k+1时,有2k令t=2k-12k+1,则因为t>kk故2k+1-12因为4k+1所以2k所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知,2n-12n+1>故选CD.17.(1)证明当x=0时,1≥1,即(1+x)m≥1+mx成立;当x≠0时,用数学归纳法证明.①当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立.②假设当m=k时,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,∵x>-1,∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)k·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式也成立.综合①②知,对一切正整数m不等式都成立.(2)证明当n≥6,m≤n时,由(1),得1-1n+3m≥1-mn+3于是1-mn+3n≤1-1n+3nm=1-1n+3nm<12m,m=1,2,…,n.(3)解由(2)知,当n≥6时,1-1n+3n+1-2n+3n+…+1-nn+3n<12+122+…+12n=1-12n<∴n+2n+3n+n+1n+3n+…+3n+3n即3n+4n+…+(n+2)n<