2024新教材高中数学第6章立体几何初步1基本立体图形1.3简单旋转体-球圆柱圆锥和圆台素养作业北师大版必修第二册

PAGEPAGE1第六章6.3A组·素养自测一、选择题1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不行能是(D)A．圆锥 B．圆柱C．球 D．棱柱[解析]棱柱的任何截面都不行能是圆面．2．(多选)下列命题中正确的是(CD)A．矩形绕任何一条直线旋转都可以围成圆柱B．圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线C．圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线D．矩形随意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱[解析]在A中，绕矩形的一条对角线旋转形成的几何体是有公共底面的两个圆锥的组合体，不是圆柱，故A错误；在B中，圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故B错误；在C中，圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线，故C正确；在D中，由旋转的性质得矩形随意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱，故D正确．故选CD．3．如图所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？(A)[解析]因为简洁组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可解除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可解除C，故选A．4．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为(B)A．10 B．20C．40 D．15[解析]圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.6．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为12，则此圆锥的高被分成的两段之比为(D)A．12 B．14C．1(eq\r(2)＋1) D．1(eq\r(2)－1)[解析]两个圆锥的高之比为1eq\r(2)，故两段之比为1(eq\r(2)－1)．故选D．二、填空题7．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5eq\r(2)，则底面半径等于5.[解析]因为圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，设底面半径为r，则高为r，所以eq\r(r2＋r2)＝5eq\r(2).所以r＝5.8．一个圆锥被截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是14，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为9_cm.[解析]如图所示，设圆台的母线长为xcm，截得的圆台的上、下底半径分别为rcm,4rcm，依据三角形相像的性质，得eq\f(3,3＋x)＝eq\f(r,4r)，解得x＝9.9．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为2eq\r(2).[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1．设球的半径为R，则R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(2)，故球的直径为2eq\r(2).三、解答题10．一个圆锥的高为2cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．[解析]如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan30°＝eq\f(2\r(3),3)(cm)．SA＝eq\f(SO,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3)(cm)．所以S△ASB＝eq\f(1,2)SO·2AO＝eq\f(4\r(3),3)(cm2)．所以圆锥的母线长为eq\f(4\r(3),3)cm，圆锥的轴截面的面积为eq\f(4\r(3),3)cm2.B组·素养提升一、选择题1．下列结论，其中正确结论的个数是(C)①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个(注：轴截面是指过旋转轴的截面)；②用随意一个平面去截球体得到的截面肯定是一个圆面；③用随意一个平面去截圆锥得到的截面肯定是一个圆．A．0 B．1C．2 D．3[解析]由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C．2．(2024·浙江宁波高一月考)将一个等腰梯形围着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(D)A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥[解析]如图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．故选D．3．假如把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为(C)A．45 B．34C．12 D．14[解析]设赤道所在圆的半径为R，北纬60°所在圆的半径为r，由纬度定义可知，cos60°＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).故所求比值即为两个圆半径之比值12.4．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为(B)A．10cm B．eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cm D．5eq\r(π2＋1)cm[解析]如图(1)所示，四边形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5cm.设圆柱的底面圆半径为r，则r＝eq\f(5,2)(cm)，所以底面圆的周长为l＝2πr＝5π(cm)．将圆柱沿母线AD剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示，则从A到C的最短距离即为图(2)中AC的长．由于AB＝eq\f(l,2)＝eq\f(5π,2)(cm)，BC＝AD＝5(cm)，所以AC＝eq\r(\f(25π2,4)＋25)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．故选B．二、填空题5．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，则△ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是圆锥，母线长l＝5.[解析]所得几何体是圆锥，母线长l＝AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.6．已知球的外切圆台上、下底面半径分别为r，R，则圆台的高为2eq\r(rR)，球的半径为eq\r(rR).[解析]圆台的轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R＋r，梯形的高即球的直径，即eq\r(r＋R2－R－r2)＝2eq\r(rR)，球的半径为eq\r(rR).三、解答题7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.(1)求圆台的高；(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．[解析](1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于点M，连接O1O.由已知可得上底面圆半径O1A＝2cm,下底面圆半径OB＝5cm，且腰长AB＝12cm，所以AM＝eq\r(122－32)＝3eq\r(15)(cm)，即圆台的高为3eq\r(15)cm.(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，所以l＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.8．如图所示，圆锥底面圆的半径OA＝6，轴截面的顶角∠ASB是直角，过两条母线的截面SCB截去底面圆周的eq\f(1,6)，求截面的面积．题图答图[解析]由题意知，轴截面顶角∠ASB＝90°，OA＝6，∴SA＝SB＝SC＝6eq\r(2).如图，连接OB，OC，作SD⊥BC于D．∵弧BC的长为底面圆周长的eq\f(1,6)，∴