高三数一轮复习 专家讲坛 排列组合在高考中的多方位交汇及古典概型与几何概型中的三类错误 理

e排列组合在高考中的多方位交汇及古典概型与几何概型中的三类错误一、排列组合在高考中的多方位交汇排列组合问题在高考中是常考内容，但近些年在考查角度及与其他知识的综合上有了加强，这反映出高考题中重在考查学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力．有以下几个题型．热点一：组合知识与向量知识的综合[例1]在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a＝(a，b)．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则eq\f(m,n)＝()A.eq\f(4,15) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)[解析]由已知条件，满足要求的向量分别为(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，故能构成的平行四边形个数n＝Ceq\o\al(2,6)＝eq\f(6×5,2)＝15.由S平行四边形＝|x1y2－x2y1|可得，(2,1)，(2,3)两向量构成的平行四边形面积为S1＝|2×3－1×2|＝4，(2,3)，(2,5)两向量构成的平行四边形面积为S2＝|2×5－2×3|＝4，(2,1)，(4,1)两向量构成的平行四边形面积为S3＝|2×1－1×4|＝2，(2,1)，(4,3)两向量构成的平行四边形面积为S4＝|2×3－1×4|＝2，(2,3)，(4,5)两向量构成的平行四边形面积为S5＝|2×5－3×4|＝2.面积不超过4的共有m＝5个．故所求概率为eq\f(m,n)＝eq\f(1,3).[答案]B[点评]本题中计数要求不高，但大家要有代入检验的意识．热点二：组合知识与概率知识的综合[例2]盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．[解析]由题意知，从5个球中随机取出2个球共有Ceq\o\al(2,5)＝10种不同取法，而取出的球颜色不同共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＝6种不同取法，故所取出的2个球颜色不同的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).[答案]eq\f(3,5)[点评]注意情景中的抽取球的过程与顺序无关，因此属组合问题，在找2个球颜色不同的个数时，又用了分步计数原理的知识．热点三：排列知识与概率知识的综合[例3]有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)[解析]5本书的全排列有Aeq\o\al(5,5)种排法，其中语文书相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种，数学书相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种，语文书数学书各自同时相邻的排法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种，故所求概率为eq\f(A\o\al(5,5)－A\o\al(2,2)A\o\al(4,4)＋A\o\al(2,2)A\o\al(4,4)－A\o\al(2,2)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(2,5).[答案]B[点评]图书摆放在书架上具有顺序性，因此属于排列问题，本题在处理都不相邻的问题上灵活应用了间接思维，使复杂问题简单化．二、盘点古典概型与几何概型中的三类错误古典概型与几何概型是高考中的常考知识点．对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量——长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖．如下几个类型易错：类型一：知识性错误[例1]设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球．(1)求这2只球都是白球的概率；(2)求这2只球中1只是白球1只是黑球的概率．[错解]一次摸出2只球，观察结果的颜色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种情况，(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(白，白)}，所以P(A)＝eq\f(1,3).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(白，黑)}，所以P(B)＝eq\f(1,3).[错因分析]在上述错解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3种结果的出现不是等可能的．[正解]我们不妨把4只白球标以1,2,3,4号，2只黑球标以5,6号，则基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30个．(1)用A表示“2只球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12个．所以P(A)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}共16个．所以P(B)＝eq\f(16,30)＝eq\f(8,15).类型二：数学思维方法应用错误[例2]有6个房间安排4个旅客住，每个人可以住进任一房间，且住进各房间是等可能的．(1)指定的4个房间中各有1人住的事件的概率为________；(2)指定的房间有2人住的事件的概率为________．[错解]所有基本事件的个数为6×5×4×3＝360.(1)指定的4个房间中各有1人住，有4×3×2×1＝24种，故所求的概率为eq\f(1,15)；(2)从4人中选2人去指定的房间，有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有5×4＝20种方法，故所求的概率为eq\f(6×20,6×5×4×3)＝eq\f(1,3).[错因分析]本题错误地理解了基本事件的个数，忽视了基本事件可以包含多个人住一个房间的情况．[正解]每人可以进住任一房间，且进住各房间都有6种等可能的方法，故所有可能的情况有64种，(1)指定的4个房间中各有1人住，有4×3×2×1＝24种，故所求的概率为eq\f(24,64)＝eq\f(1,54)；(2)从4人中选2人去指定的房间，有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有52种方法，故所求的概率为eq\f(6×52,64)＝eq\f(25,216).类型三：审题错误[例3]在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．[错解]如图，点M随机地落在线段AB上，故线段AB的长为基本事件的度量，当M位于线段AC′(AC′＝AC)上时，AM<AC，故线段AC′的长为所求事件的度量．故P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).答：AM的长小于AC的概率是eq\f(\r(2),2).[错因分析]由于本题是在∠ACB作射线CM，等可能分布的是CM在∠ACB内的任一位置，因此基本事件的度量应是∠ACB的大小而不是线段AB的长，这是类似问题由于等可能的视角不同造成的，概率也会不一样．[正解]据题意知AM<AC的概率应为满足条件的∠ACM与∠ACB大小的比，即P(AM<AC)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).几点建议1．重视错题病例“错误是最好的老师”，错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们的方法不当．毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会，只有认真地追根溯源查找错因，教训才会深刻．建议在复习过程中做到建立错题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆错误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，以