高考数一轮复习 4.4数系的扩充与复数的引入讲解与练习 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第四节数系的扩充与复数的引入)[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.以选择题的形式考查复数的概念及其几何意义，如年北京T3，江西T5等．2.以选择题或填空题的形式考查复数的代数运算，特别是除法运算，如年新课标全国T3，山东T1，浙江T2等.[归纳·知识整合]1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位若b＝0，则a＋bi是实数，若b≠0，则a＋bi是虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi是纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)[探究]1.复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0吗？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要条件，只有当a＝0，且b≠0时，a＋bi才为纯虚数．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)与平面向量(a，b∈R)是一一对应的关系．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数的加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数的乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.[探究]2.z1、z2是复数，z1－z2>0，那么z1>z2，这个命题是真命题吗？提示：假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0，但z1>z2无意义，因为虚数无大小概念．3．若z1，z2∈R，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则z1＝z2＝0，此命题对z1，z2∈C还成立吗？提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0.但z1≠0，z2≠0.[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选Az＝(2－i)i＝2i－i2＝1＋2i故复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点为(1,2)，位于第一象限．2．(教材习题改编)复数eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是()A．i B．－iC.eq\f(3,5)i D．－eq\f(3,5)i解析：选B∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(5i,5)＝i，∴其共轭复数为－i.3．(·安徽高考)复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝()A．－1－i B．1－iC．－1＋3i D．1－2i解析：选B设z＝a＋bi，则(z－i)i＝－b＋1＋ai＝2＋i，由复数相等的概念可知，－b＋1＝2，a＝1，所以a＝1，b＝－1.4．已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)其中i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：根据已知可得eq\f(a＋2i,i)＝b＋i⇒2－ai＝b＋i⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝－1.))从而a＋b＝1.答案：15．设a是实数，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是实数，则a＝________.解析：eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a－ai,2)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a＋1＋1－ai,2)为实数，故1－a＝0，即a＝1.答案：1复数的有关概念[例1](1)设i是虚数单位，复数eq\f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a为()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)(2)(·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq\x\to(z)是z的共扼复数，则z2＋eq\x\to(z)2的虚部为()A．0 B．－1C．1 D．－2[自主解答](1)若eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a＋2a＋1i,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＝0，,2a＋1≠0，))故a＝2.(2)∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虚部为0.[答案](1)A(2)A若本例(1)中eq\f(1＋ai,2－i)为实数，则a为何值？解：若eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i为实数，则eq\f(2a＋1,5)＝0，即a＝－eq\f(1,2).———————————————————解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．(1)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A．(1,5) B．(1,3)C．(1,eq\r(5)) D．(1,eq\r(3))(2)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z－eq\o(z,\s\up6(－))为()A．实数 B．纯虚数C．0 D．零或纯虚数解析：(1)选C由题意，z＝a＋i，故|z|＝eq\r(a2＋1)，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，从而1＜eq\r(a2＋1)＜eq\r(5)，即1＜|z|＜eq\r(5).(2)选D∵z－eq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，当b＝0时，z－eq\o(z,\s\up6(－))为0；当b≠0时，z－eq\o(z,\s\up6(－))为纯虚数．复数的几何意义[例2](1)(·北京高考)在复平面内，复数eq\f(10i,3＋i)对应的点的坐标为()A．(1,3) B．(3,1)C．(－1,3) D．(3，－1)(2)(·东营模拟)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．E B．FC．G D．H[自主解答](1)由eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(101＋3i,10)＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．(2)依题意得z＝3＋i，eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．[答案](1)A(2)D———————————————————复数所对应点的坐标的特点(1)实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上；(2)若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；(3)若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；(4)若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；(5)若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限；(6)此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式．如：若复数z的对应点在直线x＝1上，则z＝1＋bi(b∈R)；若复数z的对应点在直线y＝x上，则z＝a＋ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．2．复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围．解：在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c－6)，由∠BAC是钝角得·<0，且A，B，C不共线，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>eq\f(49,11).其中当c＝9时，＝(6,8)＝－2，此时A，B，C三点共线，故c≠9.所以c的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(c>\f(49,11)，且c≠9)))).复数的运算[例3](1)(·山东高考)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为()A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i(2)(·江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．[自主解答](1)由题意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.(2)∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.[答案](1)A(2)8在本例(1)中，试求(1＋z)·eq\x\to(z)的值．解：∵z＝3＋5i，∴eq\x\to(z)＝3－5i∴(1＋z)·eq\x\to(z)＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i＋15i＋25＝37－5i.———————————————————复数的代数运算技巧复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类，不含i的看作另一类，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧．3．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))于是，z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.1个分类——复数的分类对复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数．2个技巧——复数的运算技巧(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3个结论——复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.创新交汇——复数命题新动向1．复数多以客观题的形式考查复数的概念及运算，也经常将复数的基本概念与基本运算相结合，复数幂的运算与复数除法相结合，复数的基本运算与复数的几何意义相结合，复数与方程相结合，复数与集合相结合等形成交汇命题．2．解决此类问题的关键是把握复数的有关概念，根据复数的运算法则准确进行化简运算．[典例](·陕西高考)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx－\f(1,i)＜\r(2)，i为虚数单位，x∈R))，则M∩N为()A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1][解析]对于集合M，函数y＝|cos2x|，其值域为[0,1]，所以M＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式eq\r(x2＋1)＜eq\r(2)，即x2＜1，所以N＝(－1,1)，则M∩N＝[0,1)．正确选项为C.[答案]Ceq\a\vs4\al([名师点评])1．本题具有以下创新点不同于以往的复数高考题，不是单独考查复数的基本知识，而是和三角函数、不等式、集合相交汇出题，综合性较大，是高考题的一个新动向．2．解决本题的关键有以下几点(1)弄清集合的元素．集合M为函数的值域，集合N为不等式的解集，把M、N具体化．(2)正确识别eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,i)))为复数的模，而非实数的绝对值．eq\a\vs4\al([变式训练])1．(·上海高考)若1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1解析：选B由于1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，则(1＋eq\r(2)i)2＋b(1＋eq\r(2)i)＋c＝0，整理得(b＋c－1)＋(2eq\r(2)＋eq\r(2)b)i＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋\r(2)b＝0，,b＋c－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3.))2．已知定义在复数集C上的函数满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x3x∈R，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋i)))x∉R，))则f(f(1－i))等于________．解析：由已知得f(1－i)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2i,2)))＝|－i|＝1，故f(1)＝1＋13＝2，即f(f(1－i))＝2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B复数a＋eq\f(b,i)＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的必要不充分条件．2．(·新课标全国卷)下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i,p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p1，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4解析：选C∵复数z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．3．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数eq\f(f1＋i,3＋i)对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选Af(1＋i)＝(1＋i)2＝2i，则eq\f(f1＋i,3＋i)＝eq\f(2i,3＋i)＝eq\f(2＋6i,10)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，故对应点在第一象限．4．(·临汾模拟)复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：选A∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴z的共轭复数是－1－i.5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B由(x－i)i＝y＋2i得xi＋1＝y＋2i.∵x，y∈R，∴x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.6．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则eq\f(1,z＋a)的虚部为()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)iC.eq\f(2,5) D.eq\f(2,5)i解析：选A由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根据虚部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虚部为－eq\f(2,5).二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(·湖北高考)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.解析：由eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b＋3＋bi,2)＝a＋bi，得a＝eq\f(3－b,2)，b＝eq\f(3＋b,2)，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.答案：38．i为虚数单位，eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝________.解析：eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝－i＋i－i＋i＝0.答案：09．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．解析：∵x为实数，∴x2－6x＋5和x－2都是实数．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋5＜0，,x－2＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜5，,x＜2，))即1＜x＜2.故x的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．计算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).解：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i\r(3)－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.11．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方．解：(1)根据复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝2，,m2－2m－15＝－12.))解之得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝12，,m2－2m－15＝－16.))解之得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.12．复数z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5