9.6二项分布超几何分布正态分布

9.6二项分布、超几何分布、正态分布课标要求精细考点素养达成1.理解n次独立重复试验的模型及其意义,理解二项分布,并能解决一些简单的实际问题n重伯努利试验与二项分布通过n重伯努利试验概率计算,提升学生的数学运算素养2.理解超几何分布及其推导过程,能运用超几何分布解决一些实际问题超几何分布通过超几何分布概率计算,提升学生的数据分析素养3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义,掌握正态曲线的相关性质,并能够进行正确求解正态分布通过正态分布的学习,提升学生的数学建模素养1.(概念辨析)(多选)下列结论正确的是().A.正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差B.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立C.二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1pD.二项分布是一个分布列,是一个用公式P(X=k)=Cnkpk(1p)nk,k=0,1,2,…,n表示的分布列,它表示了n次独立重复试验中事件2.某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答,至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道,甲答对试题的个数为X,则甲通过自主招生初试的概率为,E(X)=.

3.(对接教材)已知随机变量X服从正态分布X~N(3,1),且P(X>2c1)=P(X<c+3),则c=.

4.(易错自纠)2封信随机投入A,B,C3个空邮箱,则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)等于().A.13 B.23C.125.(高考演练)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,且P(X=4)<P(X=6),则p=().A.0.7 B.0.6C.0.4 D.0.3n重伯努利试验与二项分布典例1(1)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=2,D(X)=43,则p等于()A.34 B.23 C.13(2)南京历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为“科技体验游”“民俗人文游”“自然风光游”三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).①若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;②设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.1.n重伯努利试验的特点①每次试验中,事件发生的概率是相同的;②每次试验中的事件是相互独立的,其实质是相互独立事件的特例.2.判断随机变量X服从二项分布(X~B(n,p))的条件①X的所有可能取值为0,1,2,…,n;②P(X=k)=Cnkpk(1p)nk(k=0,1,2,…,n,p训练1(多选)袋子中有2个黑球,1个白球,这些球除颜色外都相同,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则().A.X~B4,23 B.P(X=2)=881C.E(X)=83 D.D(超几何分布典例2为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和均值.1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的特征:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布.3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.训练2某市实行生活垃圾分类,分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类,生活垃圾中有30%~40%可以回收利用,分出可回收垃圾既环保,又节约资源.如:回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸,可以挽救17棵大树,少用纯碱240千克,降低造纸的污染排放75%,节省造纸能源消耗40%~50%.现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况,其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表所示:A小区B小区C小区D小区E小区废纸投放量(吨)55.15.24.84.9塑料品投放量(吨)3.53.63.73.43.3(1)从A,B,C,D,E这5个小区中任取1个小区,求该小区12月份的可回收物中,废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率;(2)从A,B,C,D,E这5个小区中任取2个小区,记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数,求X的概率分布及均值.正态分布典例3(1)已知三个正态分布密度函数φi(x)=12πσ·e-(x-μ

A.σ1>σ2 B.μ1>μ3C.μ1=μ2 D.σ2<σ3(2)(多选)(2023·广东统考模拟预测)已知随机变量X服从正态分布N(0,1),定义函数f(x)为X取值不超过x的概率,即f(x)=P(X≤x).若x>0,则().A.f(x)=1f(x) B.f(2x)=2f(x)C.f(x)在(0,+∞)上是减函数 D.P(|X|≤x)=2f(x)1正态分布下的概率计算常见的两类问题:(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1;(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μσ,μ+σ),(μ2σ,μ+2σ),(μ3σ,μ+3σ)中的哪一个.训练3(1)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论不正确的是().A.σ越小,该物理量一次测量中结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果中大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等(2)(多选)某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测,以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X服从正态分布N(75,81),其中检测结果在60以上为体能达标,90以上为体能优秀,则().附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μσ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A.该校学生的体能检测结果的期望为75B.该校学生的体能检测结果的标准差为81C.该校学生的体能达标率超过0.98D.该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等四大分布之间的关系典例法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会购买一个面包,面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g,上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000g,标准差为50g的正态分布.(1)假设面包师的说法是真实的,从面包师出售的面包中任取两个,记取出的两个面包中质量大于1000g的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.(2)作为一个善于思考的数学家,庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到数据如下表,经计算,25个面包的总质量为24468g.庞加莱购买的25个面包的质量的统计数据如下表所示(单位:g):981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966尽管上述数据都落在(950,1050)上,但庞加莱还是认为面包师撒谎,根据所附信息,从概率角度说明理由.附:①若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取25个数据,记这25个数据的平均值为Y,则由统计学知识可知:随机变量Y~Nμ,②若η~N(μ,σ2),则P(μσ<η<μ+σ)=0.6827,P(μ2σ<η<μ+2σ)=0.9545,P(μ3σ<η<μ+3σ)=0.9973.③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件.1.二项分布与超几何分布的辨别方法二项分布超几何分布特点在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品概率公式P(X=k)=Cnk·pk(1P(X=k)=CM期望、方差公式E(X)=np,D(X)=np(1p)E(X)=n·M当n=1时,二项分布就是01分布;当N→+∞时,超几何分布近似为二项分布;正态分布为连续型随机变量分布.2.高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查,因此在解答此类题时,准确把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.训练(2023·山东潍坊统考模拟预测)2023年3月某学校举办了春季科技体育节,其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球MIKASAV200w,已知这种球的质量指标ξ(单位:g)服从正态分布X~N(μ,σ2),其中μ=270,σ=5.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军,积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队,1班排球队积26分,2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队,设每局比赛1班排球队取胜的概率为p(0<p<1).(1)令η=ξ-μσ,则η~N(0,1),且Φ(a)=P(η<a),求Φ(2),并证明:Φ(2)+Φ(2)(2)第10轮比赛中,记1班排球队3∶1取胜的概率为f(p),求出f(p)的最大值点p0,并以p0作为p的值,解决下列问题:①在第10轮比赛中,1班排球队所得积分为X,求X的分布列;②已知第10轮2班排球队积3分,判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,1班排球队积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.参考数据:X~N(μ,σ2),则P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.一、单选题1.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1球,有放回地摸取5次,设摸得白球个数为X,已知E(X)=3,则D(X)等于().A.85 B.65 C.452.抽样表明,某地区新生儿体重X近似服从正态分布N(μ,σ2),假设随机抽取r个新生儿体检,记ξ表示抽取的r个新生儿体重在(μ3σ,μ+3σ)以外的个数.若ξ的数学期望E(ξ)<0.05,则r的最大值是().(注:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ3σ<X<μ+3σ)≈99.7%)A.13 B.14 C.15 D.163.(2023·江苏统考一模)若随机变量X~B(3,p),Y~N(2,σ2),P(X≥1)=0.657,P(0<Y<2)=p,则P(Y>4)=().A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.84.一个盒子里装有相同大小的黑球10个、红球12个、白球4个,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则P(X≤1)=().A.C221C41+C222C262 二、多选题5.一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则().A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量X服从超几何分布C.P(X=2)=37 D.E(X)=6.下列命题正确的有().A.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=2B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(1<ξ≤0)=12D.某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大三、填空题7.随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.8413,则P(1<ξ≤0)=.

8.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=1645,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为四、解答题9.面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇,某企业对现有机床进行更新换代,购进一批新机床.设机床生产的零件的直径为X(单位:mm).(1)现有旧机床生产的零件10个,其中直径大于124mm的有3个.若从中随机抽取4个,记ξ表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数,求ξ的分布列及均值E(ξ).(2)若新机床生产的零件直径X~N(120,4),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于124mm的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|Xμ|≤σ)≈0.6827,P(|Xμ|≤2σ)≈0.9545,P(|Xμ|≤3σ)≈0.9973,0.9772510≈0.7944,0.954510≈0.6277.10.(2024·江苏淮安调研测试)某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏:在编