全国三卷理科数学高考真题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标III)

理科数学

一'选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={(x,y)|尢2+y2=]},8=4x,y)|y=x},则AB中元素的个数为

A.3B.2C.1D.0

2.设复数z满足(l+i)z=2i,则|zI=

A.—B.----C.5/2D.2

22

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.(x+y)(2x-y)5的展开式中尤3»3的系数为

A.-80B.-40C.40D.80

W-马=1(〃>0力>0)的一条渐近线方程为y=且与椭圆

5.已知双曲线C：

a2b22

工+二=1有公共焦点，则C的方程为

123

2222

C,上上=1D.土-J

5443

6.设函数/U）=cos（x+7）,则下列结论错误的是

A.7U）的一个周期为-2兀B.月U）的图像关于直线F号对称

C.八什兀）的一个零点为x=£D.在（工㈤单调递减

62

7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为

3兀兀兀

A.71B.—C.-D.一

424

9.等差数列｛q｝的首项为1,公差不为0.若42,〃3,%成等比数列，则｛4｝前6项的和

为

A.-24B.-3C.3D.8

V2V2

10.已知椭圆C：—rH—7=1，（a>b>0）的左、右顶点分别为4，A?、且以线段A1A2为

a

直径的圆与直线法一对+2“。=0相切，则C的离心率为

A娓B布1_

立D.

33c33

11.已知函数/(x)=x2—2x+a(ei+erM)有唯一零点，则用

12.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=,

AB+gAD,则为+目的最大值为

A.3B.2>/2C.75D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y>0

13.若x,y满足约束条件<x+y—2<0,则z=3x-4y的最小值为

”0

14.设等比数歹|J{4}满足“1+42=-1,-。3=-3,贝!1〃4=.

x+Lx<0,

15.设函数f(x)=则满足/(x)+/(x-的X的取值范围是

2》,x>0,

16.a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A8C的直角边AC所在直线与a,

6都垂直，斜边48以直线4c为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与〃成60。角时，AB与人成30。角；

②当直线AB与“成60。角时，A8与匕成60。角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是。(填写所有正确结论的编号)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.（12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+Gcos4=0,/=2.

(1)求c；

(2)设D为8c边上一点，且ADLAC,求AABD的面积.

18.（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求

量与当天最高气温（单位：C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最

高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为

了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位：元），当六月份这种酸奶一天的

进货量”（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？

19.（12分）

如图，四面体ABCZ）中，ZkABC是正三角形，△ACD是直角三角形，NABD=NCBD,

AB=BD.

（1）证明：平面AC£>J_平面ABC；

（2）过AC的平面交于点£,若平面AEC把四面体ABCQ分成体积相等的两部分,

求二面角D-AE-C的余弦值.

20.（12分）

己知抛物线C：9=2%,过点（2,0）的直线/交C与A,B两点，圆M是以线段48为直

径的圆.

（1）证明：坐标原点。在圆M上；

（2）设圆M过点尸（4,-2）,求直线/与圆M的方程.

21.（12分）

己知函数/(x)-1-alnx.

(1)若Ax"。，求。的值;

(2)设〃?为整数，且对于任意正整数〃，(1+-)(1+4)(1+—)<m,求，”的最小

2222"

值.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xOy中，直线(的参数方程为C为参数)，直线/2的参数方程

%=-2+m,

为m(机为参数).设八与，2的交点为P，当％变化时，P的轨迹为曲线C

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设/3：P(cos8+sin。)-应=0,

M为/3与C的交点，求M的极径.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(x)=|x+l|-|%-2|.

(1)求不等式/(x)>1的解集；

(2)若不等式/(X)才T+,"的解集非空，求机的取值范围.

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题正式答案

一、选择题

l.B2.C3.A4.C5.B6.D

7.D8.B9.A10.A11.C12.A

二、填空题

/1、

15.(一］，+8)

13.-114.-8②③

三、解答题

17.解:

(1)由已知得tanA二一百所以A二上

3

在4ABC中，由余弦定理得

28=4+c2-4ccos——，BPc2+2c-24=0

3

解得c=-6（舍去），c=4

(2)有题设可得所以，期夕=N.BAC-Z.CAD=1

26

1JI

-ABADsin-

26=]

故AABD面积与4ACD面积的比值为1—

-ACAD

2

又aABC的面积为!x4x2sinABAC=2奉,所以AAay的面积为有.

2

18.解:

(1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知

P(X=200)=^^=0.2

P(X=300)=1^=0.4

P(X=500)=2%+4=04

因此X的分布列为

X200300500

p0.20.40.4

⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200W/W500

当3OO&/W5OO时，

若最高气温不低于25,则丫=6n-4n=2n

若最高气温位于区间［20,,25)，则丫=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n;

若最高气温低于20,贝ijY=6X200+2(n-200)-4n=800-2n;

因此EY=2nX0.4+(1200-2n)XO.4+(800-2n)X0.2=640-0.4n

当200W〃v300时，

若最高气温不低于20,则丫=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,则丫=6X200+2(n-200)-4n=800-2n;

因此EY=2nX(0.4+0.4)+(800-2n)XO.2=160+1.2n

所以n=300时，丫的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：

(1)由题设可得，AABD=ACBD,从而AD=DC

又A48是直角三角形，所以NAC£)=90°

取AC的中点0,连接DO,B0,则DOLAC,DO=AO

又由于AABC是正三角形，故BO_LAC

所以NOO5为二面角。-AC-硫J平面角

在RfAAOB中，BO2+AO'=AB2

叉4B=B£>,所以

BO2+DO-=BO2+AO1=AB2=BD2,故ND0B=90°

所以平面AC。1平面48c

(2)

为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则

力(1,0,0),8(0,6,0),以-100),〃(0,0,1)

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的1，从而E到平面ABC的距离

2

为D到平面ABC的距离的工，即E为DB的中点，得E

.故

2

(Q、

AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=-1,—

—X4~Z—0

、/、一、工-nAD—0,2

设〃=(x,y,z)是平面DAE的法向量，则,即<1

2+Z=O

nAE=0,2-

可取〃=

mAC=0,

设机是平面AEC的法向量,则《同理可得根=0z,-1,

inAE=0,

nmyjl

则cos^njn^j=

同W「7

V7

所以二面角D-AE-C的余弦值为

20.解

（1）设A（jq,yJ,3（孙％）,/:x=%+2

x=my+2i

由《可得y9-2m＞一4=0,则必必二一4

y=2x

又X[=*，X2==-，故^1々=（弘；2）=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为且&=W=T

x,x24

所以OA_LOB

故坐标原点O在圆M上.

(2)由(1)可得凹+%=2加,玉+工2=巩,+必)+4=2分+4

故圆心M的坐标为(“J+2,m)，圆M的半径r=J(M+2)+

由于圆M过点P(4,-2),因此AP8P=0,故(%—4)&一4)+(乂+2)(必+2)=0

即不/一4(玉+々)+乂必+2(乂+必)+20=0

由⑴可得必必=-4,xlx2=4,

所以2〃/-加一1=0,解得〃?=1或加=—L.

2

当m=l时，直线1的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3.1),圆M的半径为JTU,圆M

的方程为(x—3y+(y—l)2=10

当机=一;时，直线1的方程为2x+y—4=0,圆心M的坐标为圆M的半径为

z1\85

/oc（QY/2

尹|

■，圆M的方程为x—+m-_--

k27_16

4I4）_

21.解:⑴〃x)的定义域为(0,+oo).

因为/(；)=-；+a/〃2V0,所以不满足题意;

①若aVO,

②若。＞0,由/'(x)=l—@="一3知,当X£(O,a)时,/(x)V0；iX£(Q,+8)时，

f'(x)X),所以在(0,a)单调递减，在®+oo)单调递增，故x=a是在

xe(0,+oo)的唯一最小值点.

由于"1)=0,所以当且仅当4=1时，/"(x)NO.

故61=1

(2)由(1)知当x£(l,+oo)时，x-1-lnxX)

令产1+1£得历1从而

2"2"

,(1V11111

+…+/〃1+——V—+y+・・・+—