函数的概念及其表示 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

3.1函数的概念及表示

一、函数的概念

1.概念：一般地，设4I是非空的实数集,如果对于集合幺中的任意一个

数x,按照某种确定的对应关系力在集合8中都有唯二确定的数y和它

对应，那么就称/：Z-5为从集合Z到集合8的一个函数

2.三要素

(1)对应关系：y=J(x),x^A

(2)定义域：工的取值范围

(3)值域：与x的值相对应的y的值的集合{/(x)|xeN}

思考1在函数的概念中，如果函数j=/(x)的定义域与对应关系确定，那么函数

的值域确定吗？

思考2如果函数歹=/)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？

二、区间

设a,且规定如下:

定义名称符号数轴表示

闭区间团，■_4__I__>

{x\a<x<b}ab

{x\a<x<b}开区间(a,b]-J>___i__.

ab

[a,b)—I__I~.

{x\a<x<b}半开半ab

闭区间

半开半

11.

{x\a<x<b}(a,0ah

闭区间

+oo)-J_______>

{x|x>^z}[a,a

(a,+oo)_4______.

{x\x>a}a

(—oo,______

{x\x<a}a]Cl

__

{x\x<a}(—oo,a)a

R(—00,+oo)

思考1区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗?

思考2“00”是数吗？如何正确使用“oo”？

三、同一个函数

1.前提条件：(1)定义域相同;(2)对应关系相同.

2.结论：这两个函数为同一个函数.

思考函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗?

四、常见函数的值域

1.一次函数义劝=办+6(存0)的定义域为R,值域是R

2.二次函数义x)=ax2+bx+c(存0)的定义域是R,

当心0时，值域为+ooj,

4-。-62

当时，值域为一

a<Qoo,4a

五、函数的表示法

1解析法H就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系）

的

表列表法H就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系）

一

阖

1图象法H就是用图象表示两个变量之间的对应关系）

思考任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？

六、分段函数

1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量X的不同取值范围，有

着不同的对应关系的函数.

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的丑

集；各段函数的定义域的交集是空集.

3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

思考分段函数是一个函数还是几个函数？

考点一区间的表示

【例1】（2019•全国高一课时练习）已知区间（4〃-1,2〃+1）,则。的取值范围为

【练1】（2020•三亚华侨学校高一月考）不等式0<2x-lW3的解集用区间可表示

为（）

A.(1,2)B.(0,2]C.[1,2)Dg，2]

考点二函数的判断

【例2】（2019•浙江湖州.高一期中）下列对应关系是从集合A到集合3的函数的

是()

A.A=R,3={小>0},f：》—丁=|刀|

B.A=R,5={小>0},f：xfy=lnx

C.A=Z,B=N,f：%—>j=Jx

D.A=Z,B=N,f：x->y-x2

【练2】（2020•三亚华侨学校高一月考）下列图象表示函数图象的是（）

考点三定义域

【例3】（2020•上海高一开学考试）函数/（耳=岳与+'的定义域为（）

x—2

A.[0,2)B.(2,-H»)

C.g,2)"2,+oo)D.(»,2)U(2,+oo)

【练3】(2020•浙江高一课时练习)函数/(x)=J4—f—4的定义域是

()

A.[-2,2]B.{-2,2}C.(f,-2)U(2,”)D.(-2,2)

考点四解析式

【例4】（2020•全国高一课时练习）根据下列条件，求段）的解析式.

(1次x)是一次函数，且满足#x+l)—/(x)=2x+9；

(2)/(X+1)=X2+4X+1；

⑶2yg)+〃x)=%(J=0).

【练4】（2020•云南会泽。高一期末）求下列函数/（无）的解析式.

⑴已知〃1-X）=2X2-x+1,求/（%）；

（2）已知一次函数“X）满足〃〃切）=4尤-1,求"X）.

考点五函数值

1_V2

【例5】（2020•浙江高一课时练习）若函数"1-2X）=L^-（"0）,那么

X

A.1B.3C.15D.30

【练5】（2017•广东茂名高二期中（理））已知〃力=3三+21+%+4,则“10）=

2.(2020•全国高一课时练习)已知於)=占(若一1),g(x)=x2+2,则犬2)=

，＞(2))=.

考点六相等函数

【例6】(2019•内蒙古集宁一中高三月考)下列四组函数中，表示同一函数的是

()

A./(%)=|x|,^(x)=V?B./(x)=|.v|,g(x)=(Vx)2

C.f(x)=—,g{x}=x+1D.f(x)=yjx+\■y/x-1,g(x)=-]

x-1

【练6】(2020•石嘴山市第三中学高二月考(理))下面各组函数中是同一函数的是

0

A.y=J-2尤3与y=xl-2x

B.y=(«)与y=W

C.y-Vx+1-y/x—1与y=+

D./(x)=x2—2x-1与g(，)=/-2/-1

考点七分段函数

2%,0<x<1,

【例7】（2020•上海高一开学考试）已知函数/（%）=2,1<%<2,,则

I2

的值为（）

£

A.1B.2C.-3D.

2

2x-4,x>0

【练7】（2020•全国高一课时练习）已知函数寅x）=<t―3,x<。则%—4))=

课后练习

1.（2020高一上•临渭月考）函数y=反不T+熹的定义域为（）

V3—4%

A.[一/,|）B.[-|,|]C.D.（-1,0）U

（0,+3）

2.（2020高一上•临渭月考）函数f（x）=-2x2+4x,%G[0,3]的值域为（）

A.[—6,2]B.[—6,0]C(—2]

D.[0,2]

3.下列函数中,与函数y=词相同的是（)

A.y=—2%V~XB.y=—72x3C.y=—%V—2%

2-2

D.y=xX

4.（2018高一上•浙江期中）xeR,则/（%）与g。）表示同一函数的是

B./(4=1,gfrji=(r-H|

D.=

5.（2020高一上•威海期末）函数/（%）=噜坦的定义域为

/、/Q--v------------

6.(2019高三上•苏州月考)若/(2%)=3产+1,则函数/(%)=

7.已知x©[0,1],则函数y=喜的值域是.

8.(2016高三上•泰兴期中)函数y=ln(x+1)的定义域是.

9.(2021,怀柔模拟)已知函数9%)=sin(x+g),g(%)=cos(安+g),再从条

oo

件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(1)/(%)的单调递增区间；

(2)/(%)在区间[0,自的取值范围.

条件①：/(无)=%(久)+遮外%);条件②：/(%)=%(久)•g(x);条件③：

/(%)=%(%)-g(x).

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

-1

10.已知f(x)=-(XH-2),h(x)=x2+l.

x+2

(1)求f(2),h(1)的值；

(2)求f[h(2)]的值;

(3)求f(x),h(x)的值域.

11.(2020高一上•绵阳月考)已知二次函数满足/(%)=a/+5%+c(aA

0),f(x+1)-f(x)=2%,且/(0)=1.

(1)求函数/(%)的解析式

(2)画出函数/(%)在区间［-1,1］上的图像并写出函数的单调区间.

12.(2020高一上,河南月考)已知函数/(%)=a/+2ax+1—b,/(%)在

区间［0,1］上的最大值为2,最小值为-1.

(1)求a,b的值；

(2)若arb,函数,g(%)=/(%)-mx在区间(一1,1)上没有最值，求实

数m的取值范围.

精讲答案

思考1

答案确定，一一对应.

思考2

答案不确定，例如函数的定义域为N={—1,0,1},值域为3={0,1},则对应关

系/（X）=》2或/（X）=R均可.

思考1

答案不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.

思考2

答案””读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“一oo”或"十才’作为区间一端

时，这一端必须是小括号.

思考

t案不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域

及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了.

思考

答案不一定.并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不

’0,xGQ,

适用于所有函数，如O（x）=,八列表法虽在理论上适用于所有函数，

[1,xGLnRQ.

但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.

思考

答案分段函数是一个函数，而不是几个函数.

【例11

【答案】（-8,1）

【解析】由题意，区间(旬―L22+1),则满足4。-1<2。+1,解得。<1,即。

的取值范围为(-8,1).故答案为(-8,1).

【练1】

【答案】D

【解析】由0<2x—1W3解得;<xW2,用区间表示为(；,2,故选D.

【例2】

【答案】D

【解析】A.A=R,B={x|x>o),f：x—y=W不是函数关系，：当x=0

时，网=0,|x|>0不成立，，不是函数关系；

B.A=R,B={x|x>0),f：xfy=lnx的定义域是(0,+oo),不是R,当

xWO时，y=lnx无意义，.,.不是函数关系；

C.A=Z,B=N,f：x—>y=的定义域是,不是Z,当x是负整

数时，y=6无意义，...不是函数关系;

D.A=Z,B=N,f：x—,是函数关系.故选：D

【练2】

【答案】C

【解析】A、B、D都不满足函数定义中一个.解与唯一的一个第对应的关系，所

以选C

【例3】

【答案】C

2x-l>01

【解析】由c八，解得这7且#2.

x-2^02

・•.函数/(同二岳与+上的定义域为g,2)32,+s)

故选：C.

x—2

【练3】

【答案】B

\2-40

【解析】由题意,/\得尤J4=0,解得x=±2..•.定义域为「2,2}.

[4-x2>0

故选：B.

【例4】

2x

【答案】(1次0=%+3；(2网)=/+2工一2；(3)/(%)=----(%*0)

3x3

【解析】(1)解由题意，设/(x)=ax+b(a/))

*.*3/(x+l)—/(^)=2x+9.*.3a(x+l)+3Zj—ax—Z>=2x+9,

_2a=2

即2ax+3a+2b=2x+9,由恒等式性质，得｛，.,.a=l,b=3

3a+2b=9

，所求函数解析式为兀r)=x+3.

(2)设x+1=t,则x=t-1x。=(/—l)2+4(r-1)+1

即人。=户+2/—2.，所求函数解析式为人》)=/+2%一2.

⑶解,•,/(X)+2/1£|=X,将原式中的x与g互换，得/(£j+2/(x)=(.

/(x)+2/W=x

2x

于是得关于本)的方程组小、I解得/(%)=

■臼⑴二

【练4】

【答案】(1)“力=2/一3X+2；(2)/(X)=2X-1^/(X)=-2X+1.

【解析】(1)(换元法)设/=17,则无=1T,

/./(/)=2(1-/)2-(1-/)+1=2r-3r+2,

/(x)=2x2-3%+2.

(2)(待定系数法)•.・〃元)是一次函数，，设/(力=依+纵”0),则

/(/(x))=/(ax+b)=a^ax+b^+b=c^x+ab+b,

a=2

a2=4

/(/(x))=4x-l,,解得｛,1或

ab+b=-lb=——

3

〃x)=2x-g或f(》)=-2尤+1.

【例5】

【答案】C

[2[/i\1-----

【解析】由于“1—2X)=N(XWO)，当％=:时，f-=—p^=15,故选

16

C.

【练5】

【答案】3214

【解析】V/(X)=3^3+2X2+X+4,则/(10)=3000+200+10+4=3214,故答

案为：3214

[例6]

【答案】A

【解析】对于4/(x)=|x|，g(x)=J3=|x|,两个函数的定义域和对应关系

都相同，表示同一函数；

对于B-.的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+s),两个函数的定义域不同，不是

同一函数；

对于c/(x)=x+l(x，l)的定义域为{x|xwl},g(x)=x+l的定义域为R,两个函数

的定义域不同，不是同一函数；

对于。"⑺的定义域为{%1%21},且(九)的定义域为{X|工4-1或%>1},两个函数

的定义域不同，不是同一函数.

故选4

【练6】

【答案】D

【解析】因为选项A中，对应关系不同，选项B中定义域不同，对应关系不

同，选项C中，定义域不同，选项D中定义域和对应法则相同，故选D.

故选：D.

【例7】

【答案】A

3111

【解析】由题意得,/(5)=2,/(2)=-,/(-)=2x5=1,所以

/⑵口§)=1,故选：A.

【练7】

【答案】一2

【解析】由题得/(-4)=一(一4)一3=1,所以加一4)户/⑴=2-4=一2.

故答案为：一2

练习答案

1.【答案】A

【考点】函数的定义域及其求法

【解析】由题意可得,解得—,

所以函数的定义域为.

故答案为：A

【分析】使函数解析式有意义，只需,解不等式组即可求解.

3—4%>0

2.【答案】A

【考点】函数的值域

【解析】二次函数/(%)=-2x2+4%开口向下，对称轴为x=1,

则函数在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,3］上单调递减，

函数的最大值为/(I)=2,

函数的最小值为/(3)=-6,

据此可得函数的值域为［-6,2］.

故答案为：A

【分析】求出二次函数的对称轴方程，得到函数的单调区间，从而得出其最

值，得到答案。

3.【答案】C

【考点】判断两个函数是否为同一函数

【解析】根据题意，由于函数)/=产滔，那么对于A,由于对应关系不一

样，定义域相同不是同一函数，对于B,由于y=—A/2%3,对应关系式不同，

不成立，对于D,由于y=/后定义域相同，对应法则不同，不是同一函数，

排除法选C.

4.【答案】C

【考点】判断两个函数是否为同一函数

【解析】A中：g(x)==|%|丰%2;B中：g(K)=(%-1)°=1(%丰0);C

中一的=等=之”。，纲=寻={—中:

比2_Q

/(%)===%一3(%H-3),

故答案为：C.

【分析】判定两函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.

5.【答案】{xI；<x<3}

【考点】函数的定义域及其求法，对数函数的定义域

【解析】【解答】咨+1，，得-L<%<3

故答案为：{x|-l<x<3}

【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零以及真数

大于零即可得到关于X的不等式组，求解出X的取值范围即可。

6.【答案】+i

4

【考点】函数解析式的求解及常用方法

[解析】设t=2%,贝【J%=g,

因为/(为)=3%2+1,

所以/(t)=3x(|)2+1=9+1,

所以/(%)=—+1,故答案为—+1.

八,44

【分析】设t=2%,则久=g,求得f(t)=9+1，从而可得结果.

7.【答案】[0,1]

【考点】函数的值域

【解析】解：.."0。，1],则函数y=*

1

•••y=i--，xe[o,1],

Vy=，xG[0,1],单调递减

-1

.,.y=l-x——+1，x£[0,1],单调递增

.•・x=0时，y=0,

x=l时，y=&,

•••值域是[0,I].

故答案为：[0,1].

【分析】分离分子转化为y=i-W，xe[0,1],利用单调递增求解即可.

8.【答案】(-1,+8)

【考点】函数的定义域及其求法

【解析】解：由x+l>0,得x>-l.

.,•函数y=ln(x+1)的定义域是(-1,+8).

故答案为：(-1,+°°).

【分析】由对数式的真数大于0得答案.

9.【答案】(1)解：选①：/(%)=+V3^(x)=sin(x+7)+V3cos(x+

6

看)=2sin(x+?+$

=2sin(x+1)=2cosx,

由f(x)=2cosx知，单调递增区间[2kn—n,2kn](fcEz)

选②：f(x)=，(%)•9(%)=sin(%+-)-cos(%+-)=-sin(2x+-)

6，623，

令2/OT—§W2%+三£2/CTT+?kCZ,解得k7i--<x<kir+-,keZ,

所以f(x)的单调递增区间为\kn-^fkrc+^],kEZ

选③：=%(%)—g(x)=sin(%+-)—cos(x+-)=V2sin(x+---)=

6664

V2sin(x-,

令—]+2/OT<x—+2kn,kEZ,解得—B+2kn<x<—+

21221212

2/CT,fcEZ,

所以/(%)的单调递增区间为[2/OT—奈2/OT+软/cCZ,

(2)解：选①：/(%)=h[x)+V3^(x)=sin(x+^)+V3cos(x+~)=

2sin(%+£+g)

=2sin(%+])=2cos%,

当％e[0弓]时，o<cos%工1,所以/(%)=2cosxe[0,2].

选②:f(%)=力(%),9(%)=sin(x+-)-cos(x+-)=-sin(2x+-)

当xG[0,5时，^<2x+^<^,

所以一日qsin(2汽+g)W1，

所以/(x)=|sin(2x+J)G.

选③：f(x)=%(%)—g(x)=sin(x+-)—cos(%+-)=V2sin(x+---)=

6664

V2sin(x-,

当久eg]时，，

所以—渔产wsinQ—为工竽，

所以/(%)=V2sin(x-G[号之上/]

【考点】函数的定义域及其求法，正弦函数的图象，正弦函数的单调性

【解析】根据题意选①②③时，对于⑴主要利用三角函数关系式的变换和正

弦型函数的性质的应用求出函数的单调递增区间；

(2)利用函数的定义域求出函数的值域.

10.【答案】(1)解：f(2)=全=；，h(1)=12+1=2

(2)解：f[h(2)]=f(22+1)=f(5)=£=}

■\

(3)解：•・•工0,・・・f(x)HO;

...函数f(x)的值域为(-8,0)U(0,+8)；

h(x)=x2+l>l；

，函数h(x)值域为[1,+8)

【考点】函数的值域

【解析】(1)根据f(x),h(x)的解析式即可求出f(2),h(1)的值；

(2)先求出h(2)=5,进而求出