余弦定理、正弦定理的应用

编号：019课题:§11.3余弦定理、正弦定理的应用

目标要求

1、理解并掌握解三角形中的常见术语问题.

2、理解并掌握测量距离、高度问题.

3、理解并掌握测量角度问题.

4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的综合应用问题.

学科素养目标

解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、

圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三

角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力，而

且还对学生的数学思路的发展有帮助.

重点难点

重点：测量距离、高度、角度问题；

难点：正弦定理、余弦定理的综合应用问题.

教学过程

基础知识点

1.解三角形中的常见术语

术语

术语意义图形表示

名称

啰

与目标视线在同一铅直平面内的水

仰角与平视线和目标视线的夹角，目标视线铅角

直—水平视线

俯角在水平视线_______时叫仰角，目标视线线\俯角

在水平视线——时叫俯角.

视线

北

从正北方向___________转到目标方向线所西卡东

方位成的水平角，如点8的方位角为a（如

角图所示）.方位角的取值范围：0°〜

360°.南

方向指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目如图，左图中表示北偏东

角标方向线所成的小于90。的水平角，它是方位30°,右图中表示南偏西

角的另一种表示形式.60°.

2.本质：仰角、俯角、方位角等都是在生产、生活中为方便使用而人为定义的.方向角亦是在

测量中人为设置的量.

3.应用：仰角、俯角、方向角、方位角等经常用于求距离、高度和角度的题目中.选择合适的

角可以简化运算,提高测量的精确度.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是（）

A.若尸在。的北偏东44°方向，则Q在尸的东偏北44°方向.

B.方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均

71

是［0,耳）・

C.方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.

D.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.

题2.如图，为了测量隧道A8的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据（）

A.a,a,bB.a,13,aC.a,b,yD.a,/3,b

题3.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东

60°,则A在B的（）

A.北偏东10°A北偏西10°C.南偏东10°D南偏西10°

关键能力•合作学习

类型一测量距离、高度问题（数学建模、数学运算）

【题组训练】

题4.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一

点C,测出A,C的距离为50m,/AC3=45°,NCAB=105°后，

可以计算出AB两点的距离为（）

OSB

A.50^2mB.50yf^mC.25A/2mD.--------m

2

B

题5.已知船A在灯塔C北偏东85°且到。的距离为2km,船3在灯塔。北偏西65°且到

C的距离为ekm,则A、8两船的距离为()

A.2^3kmB.3-J2kmC.kmD.A/T3km

题6.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=1Qm,从D,C两地测得A点的仰角分

别为30°和45°,则A点离地面的高A3等于()

A.10mB.5y/3mC.5(A/3—l)mD.5(\/3+1)m

【解题策略】

1.求距离问题时应注意的两点

(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知，则直接求解;若有未知量,则先把未知量

放在另一确定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用，就选择更便于计算的定理.

2.解决测量高度问题的一般步骤

(1)画图：根据已知条件画出示意图.

(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中，经常用到直角三角形.

(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几

何知识,注意方程思想的运用.

【补偿训练】

题7.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得/

CAB=30°,NCA4=75°,42=120S则河的宽度为()

C

、—1------•'

-------------/--------

A30°75°B

A.230mB.240mC.50mD.60m

题&在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座

塔吊的高是()

A.20(1+—)mB.20(1+73)mC.10(6+72)mD.20(76+A/2)m

类型二测量角度问题(数学建模、数学运算)

【典例】题9.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为6-1海里的B处有一艘走私船,

在A处北偏西75。方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以100海里/时的速度

追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从2处向北偏东30°方向逃窜.

(1)问C与B相距多少海里?C在B的什么方向？

(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.

【解题策略】

解决测量角度的常用方法与注意点

(1)测量角度问题的关键是弄清题意，画出图形,并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦

定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.

(2)求角的度数时,多用余弦定理求角.因为余弦函数在(0,乃)上是单调递减的,而正弦函数

不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在(0,万］上时,用正、余弦定理皆可.

【跟踪训练】

题10.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的2处，两船相距anmile,乙船向

正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的血倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上

乙船?相遇时乙船行驶了多少nmile?

【拓展延伸】

1.函数与方程思想在距离问题中的应用

⑴函数思想的应用

将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系，结合有关函数的图

象和性质，加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.

(2)方程思想的应用

余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量，只要知道其中三个独立的量(必须有边)

就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题

的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.

【拓展训练】

题11.某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船

位于港口。北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿

正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过/小时

与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.

类型三余弦定理、正弦定理的综合应用(数学建模)

角度1余弦定理、正弦定理在立体几何中的应用

【典例】题12.如图,为了测量河对岸的塔高有不同的方案,其中之一是选取与塔底2在

同一水平面内的两个测点C和D,测得8=200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是

45°和30。，且/CB£)=30°,求塔高AA

角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的应用

【典例】题13.如图，在△ABC中，乙4BC=90°,48=石，岚：=1,「为△ABC内一点，NBPC

=90°.

⑴若求朋；

2

(2)若NAPB=150°，求tanZPBA.

【解题策略】

在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法

(1)分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形，找出该三角形与其他三角形之间的关

系.

(2)根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.

【题组训练】

题14.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底

D和A,2(与塔底D同一水平面)处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为

45°,30°,且两点相距91m,由点。看的张角为150°,则瑞云塔的高度。=

A.91mB.13y/21mC.13^7mD.916m

题15.如图所示，位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇

险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的。处的乙船,

现乙船朝北偏东6的方向沿直线CB前往B处救援,则cos。=.

【补偿训练】

题16.某海域的东西方向上分别有A,B两个观测点(如图)，它们相距5(3+石)海里.现有一

艘轮船在。点发出求救信号，经探测得知。点位于A点北偏东45。，2点北偏西60。，这时,

位于B点南偏西60°且与3点相距206海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/

小时.

(1)求B点到D点的距离2D;

(2)若命令C处的救援船立即前往。点营救,求该救援船到达D点需要的时间.

题17.如图,某公园内有两条道路现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△

JT

ABC所在区域改造成绿化区域，已知ABAC=-,AB=2km.

（1）若绿化区域△ABC的面积为1km2,求道路BC的长度；

（2）绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路2C每千米修建费用都是的函

数,其中绿化区域△ABC改造费用为％=10sinNACB（单位:万元/平方千米），新建道路

27r

BC新建费用为为=5sin2ZACB（单位:万元/千米），设ZABC=8（0＜。W后），某工程

队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建,已知绿化区域改造费与道路新建费用越高，

则工程队所获利润也越高,试问当。为何值时,该工程队获得最高利润？

课堂检测•素养达标

题18.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔

2在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔3的（）

A.北偏东10。B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°

题19.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后

到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,

其方向是北偏东65°,那么8,C两点间的距离是（）

A10月海里A10近海里C.20j§■海里。20拒海里

题20.如图所示,在山底A处测得山顶2的仰角NCAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶

走1000m到达S点，又测得山顶仰角/。$2=75°,则山高2C为（）

A.5000mB.200mC.1000A/2mD.1000m

题21.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛民又从B沿北偏东10°的方

向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿方向

行驶海里至海岛C.

题22.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75。，距离为12痴海里;在A处看灯塔C,

在货轮的北偏西30°,距离为8月海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东

60°,求：

(1)4处与。处之间的距离；

(2)灯塔C与。处之间的距离.

编号：019课题:§11.3余弦定理、正弦定理的应用

目标要求

1、理解并掌握解三角形中的常见术语问题.

2、理解并掌握测量距离、高度问题.

3、理解并掌握测量角度问题.

4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的综合应用问题.

学科素养目标

解三角形是高中数学的重要教学内容，它涉及三角形的边、角、面积，以及三角函数、

圆等知识，综合性较强.在解三角形的教学中，重点讲解如何运用正弦定理和余弦定理解三

角形问题，以及判断三角形的解.做好解三角形的教学，不但可以提高学生的解题能力，而

且还对学生的数学思路的发展有帮助.

重点难点

重点：测量距离、高度、角度问题；

难点：正弦定理、余弦定理的综合应用问题.

教学过程

基础知识点

1.解三角形中的常见术语

术语

术语意义图形表示

名称

啰

与目标视线在同一铅直平面内的水

仰角与平视线和目标视线的夹角，目标视线铅角

直—水平视线

俯角在水平视线—上方一时叫仰角，目标视线线\俯角

在水平视线—下午一时叫俯角.

视线

北

从正北方向—顺时针—转到目标方向线所西卡东

方位成的水平角，如点8的方位角为a（如

角图所示）.方位角的取值范围：0°〜

360°.南

方向指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目如图，左图中表示北偏东

角标方向线所成的小于90。的水平角，它是方位30°,右图中表示南偏西

角的另一种表示形式.60°.

2.本质：仰角、俯角、方位角等都是在生产、生活中为方便使用而人为定义的.方向角亦是在

测量中人为设置的量.

3.应用：仰角、俯角、方向角、方位角等经常用于求距离、高度和角度的题目中.选择合适的

角可以简化运算,提高测量的精确度.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是（）

A.若尸在。的北偏东44°方向，则Q在尸的东偏北44°方向.

B.方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系,其范围均

71

是［0,耳）・

C.方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致.

D.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.

【答案】选CD

提示:AX.因为若P在。的北偏东44。方向，则。应在尸的南偏西44°方向.

BX.因为方向角的范围为0。〜90°,而方位角的范围为0°-360°.

CV.由方位角与方向角的定义知正确.

。，方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角，这是方位角的定义.

题2.如图，为了测量隧道A8的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据（）

A.a,a,bB.a,/3,aC.a,b,yD.a,/3,b

【解析】选C.选择a,b,尸可直接利用余弦定理AB=扬+"2"cos7求解,而名尸无

法测量得到,故排除A,B,D.选C.

题3.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东

60°,则A在B的（）

A.北偏东10°A北偏西10°C.南偏东10°D南偏西10°

【解析】选A如图，由题意可知△ABC为等腰三角形，NACB=80°,

所以NCB4=L（180°-80°）=50°,又60°-50°=10°.所以A在8的北偏西10°.

2

关键能力•合作学习

类型一测量距离、高度问题（数学建模、数学运算）

【题组训练】

题4.如图所示，设A乃两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一

点C,测出A,C的距离为50m,NACB=45°,NCAB=105°后，

可以计算出AB两点的距离为（）

A.50^/2mB.50y/3mC.25A/2mD.----------m

2

AB50

【解析】选A.NABU180°-45°-105°=30°,在△ABC中由

sin45°sin30°

得A5=100x走=500(m).

2

题5.已知船A在灯塔C北偏东85。且到C的距离为2km,船B在灯塔C北偏西65。且到

C的距离为也km,则A、8两船的距离为()

A.2y/3kmB.3A/2kmC.yfl5kmD.A/13km

【解析】选D如图可知NAC5=85°+65°=150°,AC=2km,gkm,

所以AB?=人。2+BC2_2AC.5C•cos150°=13,所以AB二屈km.

北

♦

题6.如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从C两地测得A点的仰角分

别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()

A.10mB.5A/3mC.5(A/3—l)mD.5(\/3+1)m

【解析】选D方法一：设m,则BC=xm,所以B£»=(10+x)m.

所以tan/AD5=&_=^^=3,解x=5(G+l).

AD10+x3

所以A点离地面的高AB等于5(G+l)m.

方法二：因为NACB=45°,所以NACD=135°,所以NCAD=180°-135°-30°=15

由正弦定理,得AC=———•sinZADC=3一•sin30°=二。尸(m),

sinZCADsin15°J6-J2

所以4B=ACsin45°AB=ACsin45°=5(^/^+1)m.

【解题策略】

1.求距离问题时应注意的两点

(1)选定或确定所求量所在的三角形,若其他量己知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量

放在另一确定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

2.解决测量高度问题的一般步骤

(1)画图:根据已知条件画出示意图.

(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形,在高度问题中，经常用到直角三角形.

(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几

何知识,注意方程思想的运用.

【补偿训练】

题7.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得/

CA8=30°,NCA4=75°,AB=120犯则河的宽度为()

C

A30°75°B

A.230mB.240mC.50mD.60m

【解析】选D在△ABC中，N042=30°,NCBA=75：

所以ZACB=75°,ZACB=NABC.所以AC=AB=]20m.

如图，作CD±AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.

心“»工、、巾2ACCD-120CD

在Rt^ACD中，由正弦定理，得----------=----------,所以-------=-------

sinZADCsinZCADsin90°sin30°

所以CD=60,所以河的宽度为60m.

题&在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座

塔吊的高是()

A.20(1+—)mB.20(1+73)mC.10(6+^)mD.20(76+72)m

【解析】选B如图，由条件知四边形ABC。为正方形，

所以AB=CZXBC=Ar)=20m.在△OCE中，NEDC=60",

ZDCE=90°,CD=2Qm,所以EC=CD•tan60°=20A/3(m),

所以BE=BC+CE=(20+20有)=20(1+百)m.

类型二测量角度问题（数学建模、数学运算）

【典例】题9.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为6-1海里的B处有一艘走私船,

在A处北偏西75。方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以10通海里/时的速度

追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从8处向北偏东30°方向逃窜.

（1）问C与B相距多少海里?C在8的什么方向？

（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.

四步内容

条件：已知人.B.C三个位置.八，B两处的距

离及方向.A.C两处的距离及缉私艇的时速

理解和走私船的时速.已知走私船的航行方向.

题意结论：（1）求B.C之间的距离及（'在B的什

么方向；（2）缉私艇沿什么方向能最快追上

走私船并求追上的时间.

思路先画出示意图.再利用正弦、余弦定理解三

探求角形.

(1)根据题意作出示意图.如图.①

则八8=6一1.八('=2.

Z/M('=12O".

在△八3(,中由余弦定理0

—东

得：BC:=AB2+AC--

南

2AB,AC,cos12()0=6.

所以3('=病，由正弦定理得

AC,BC加2V_6

sinz^ABCsin/^BACsinz^ABCV23

解得sinN/W（'=容.所以/八3（'=45°.

所以（'在8的正西方向.

（2）由（1）知BC=76,ZDBC=120°,

书写设/小时后缉私艇在处追上走私船.

表达则BD=18.CD=10而.在ABCD中由正弦定

理得芈黑=.%子）•解得疝上比刀=♦•

sin120sinZ_/x.u2

所以NBCD=30°•所以△BCD是等腰三角形.

所以10，=而•即

fa

所以缉私艇沿东偏北3（）°方向行驶3小时才

能最快追上走私船.②

注意书写的规范性：

①根据题意作出示意图有利于分析问题.故

解三角形的实际问题如果没有图.需先作出

图.而且作图要规范；

②从图中找到某一三角形的三个元素后方

可求解.同时注意实际问题应该有设有答.

（1）解决角度问题的关键是将实际问题转化

为具体的解三角形问题.即确定所求角.找

出三角形中已知的边和角：

题后

（2）利用余弦定理、正弦定理将这些边和角

反思

联系起来求解：

（3）关于追击问题通常利用相遇时的时间相

等设出时间变量后建立关系式求解.

【解题策略】

解决测量角度的常用方法与注意点

（1）测量角度问题的关键是弄清题意,画出图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦

定理或余弦定理解三角形,最后将结果转化为实际问题的解.

（2）求角的度数时，多用余弦定理求角.因为余弦函数在（0,不）上是单调递减的，而正弦函数

不单调,一个正弦值可能对应两个角.若角在（0,万］上时,用正、余弦定理皆可.

【跟踪训练】

题10.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的8处，两船相距anmile,乙船向

正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的血倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上

乙船?相遇时乙船行驶了多少nmile?

r

【解析】如图所示,设两船在C处相遇，并设NCA5=e,

乙船行驶距离BC为尤nmile,则AC二小x,

由正弦定理得sine='C,sm120=工,而。＜60°,

AC2

所以。=30°,所以/4(78=30°,8。=48=0

所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.

【拓展延伸】

1.函数与方程思想在距离问题中的应用

⑴函数思想的应用

将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系，结合有关函数的图

象和性质，加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题.

(2)方程思想的应用

余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量，只要知道其中三个独立的量(必须有边)

就能求出其余三个量.因此,解三角形的实际应用问题中,直接求相关量较难时,通常将问题

的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决.

【拓展训练】

题11.某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船

位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿

正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时

与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.

【思路导引】(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里,根据余弦定理可得S关于t

的表达式为S900(1--)2+300,进而可知当。=工时,S有最小值为10石，进而求得此

V33

时的速度V.

(2)设小艇与轮船在B处相遇.根据余弦定理可得v关于t的表达式,再根据t的范围及二次

函数的单调性求得v的最小值及此时t的值.

【解析】⑴设相遇时小艇航行的距离为S海里,

22

则S=7(300+20-2X30tX20cos(90--30°)

=4900/一600f+400=小900«—3+300.

故当f=g时，Smin=IOAV=粤1=30G(海里/小时).

3

即小艇以30j§■海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

⑵设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.

由题意可得：(匕)2=202+(30/)2—2x20X30/xcos(90°—30°),

2

化简得声=^2-^22+900=400(j-1)+675,

由于0</w1,即122,所以当』=2时V取得最小值10屈，

2tt

即小艇航行速度的最小值为10而海里/小时.

类型三余弦定理、正弦定理的综合应用(数学建模)

角度1余弦定理、正弦定理在立体几何中的应用

【典例】题12.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在

同一水平面内的两个测点C和D,测得。=200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是

45°和30。，且/CBD=30°，求塔高AA

A

D

【思路导引】设.表示出BC=h,BD=^3h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.

【解析】在RtAABC中，ZACB=45°,若设则BC=h.

在RtAABD中，ZADB=3Q°,则BD=-j3h.在ABCD中，

由余弦定理可得CD1=BC2+BD1-2BC-BDcosZCBD,

222

即200=h+(3)2—2丸・血•乎，所以/?=200,解得/i=200(行-200舍去),

即塔高42=200米.

角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的应用

【典例】题13.如图，在△A2C中，NA8C=90°为AABC内一点，/BPC

=90°.

⑴若PB=L求朋；

2

(2)若NAPB=150°，求tanZPBA.

【思路导引】（1）根据PB,BC的值及NBPC求出NPBC的值,再在△ABP中，求出NPBA,利

用余弦定理求出PA的长.

⑵根据/PA4+NE43=30°,用/P8A表示NE48,再利用正弦定理求出tanZPBA.

【解析】⑴由已知得，NPBC=60°，所以NPft4=30°,在AAB尸中，

由余弦定理得出2=3+』—2义出><工《«30。=1，所以巳4=立（负值舍去）.

4242

(2)设/P8A=a,所以,PB=sina.

0s’11”---,化简得6cosa=4sin«,

在△PBA中，由正弦定理得，—

sin150°sin(30o-a)

所以tana=—,即tanZPBA=—

44

【解题策略】

在复杂图形中利用正弦定理、余弦定理解题的方法

（D分析复杂图形,找准需要解决的问题所在的三角形,找出该三角形与其他三角形之间的关

系.

（2）根据题目给出的条件,适当选用正弦定理或余弦定理解题.

【题组训练】

题14.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹.如图,一研究小组同学为了估测塔的高度,在塔底

D和A,2（与塔底D同一水平面）处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为

45°,30°,且A,B两点相距91m,由点。看的张角为150°,则瑞云塔的高度CD=

A.91mB.13-721mC.13^7mD.91A/3m

c

【解析】选C设CD=h,因为在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为45°,30°，

所以3。=6加4。=瓦

因为AB2=BD2+AD1-2BDADcos150°，所以9付=7A2，即”=1377（负值舍去）.

题15.如图所示，位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇

险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,

现乙船朝北偏东6的方向沿直线CB前往B处救援,则cos。=.

二一^—

【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,NBAC=120°,

由余弦定理知BC~=AB2+AC2-2AB-ACcos1200=2800nBC=20s.

由正弦定理

nsinNACB=——sinABAC=--,ABAC=120°,

sinNACBsinABACBC7

则ZACB为锐角，cosZACB=二一.由8=ZACB+3O0,

7

J21

则cos9=cos(/AC8+30°)=cosZACB•cos30°-sinZACB,sin30°=----.

【补偿训练】

题16.某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距5（3+6）海里.现有一

艘轮船在。点发出求救信号，经探测得知。点位于A点北偏东45°,2点北偏西60°,这时,

位于B点南偏西60°且与B点相距20月海里的C点有一救援船,其航行速度为30海里/

小时.

D

⑴求B点到。点的距离2D;

(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救,求该救援船到达。点需要的时间.

【解析】(1)由题意知45=5(3+6)海里，/。氏4=90°-60°=30°,ZDAB=90°-45°

二45。，

所以NAZ)B=180°-(45°+30°)=105°,在△ZM8中，由正弦定理得

DBAB

sinZDAB~sinZADB，

AB.sinZDAB5(3+^-sm45°5(3+Ji)・sm45°

所以DB=----------------------=-----------------------------=-------------------------------------------------

sinZADBsin105°sin45°cos60°+cos45°sin60°

=浮殳口2=10机海里)

V3+1

2

⑵在△O8C中，NO8C=/D3A+/ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20百(海里)，

由余弦定理得

CD2=BD-+BC~-2BD-BC-cosZDBC=300+1200-2x1073x2073x-=900,

2

30

所以CD=30(海里)，则需要的时间/=——=1(小时).

30

答:救援船到达。点需要1小时.

题17.如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△

JT

ABC所在区域改造成绿化区域，已知ABAC=-,AB=2km.

6

(1)若绿化区域△ABC的面积为1km2,求道路BC的长度；

(2)绿化区域△ABC每平方千米的改造费用与新建道路8C每千米修建费用都是/ACB的函

数,其中绿化区域△ABC改造费用为％=10sinNACB(单位:万元/平方千米)，新建道路

27r

BC新建费用为%=5sin2ZACB(单位:万元/千米)，设ZABC=8(0＜。W瓦-),某工程

队承包了该公园的绿化区域改造与新道路修建，已知绿化区域改造费与道路新建费用越高，

则工程队所获利润也越高,试问当。为何值时,该工程队获得最高利润?

【解析】（1）因为绿化区域△ABC的面积为1km2,

所以工•ACAB-sinN8AC=l.

2

TT1TT

因为A3=2,NR4C=—,所以一・AC2・sin—=1,得AU2,

626

由余弦定理得

222

BC=AB+AC-2AB-ACcosABAC=4+4-2x2x2x与=8-46

所以BC=,8-4退="-后

即BC的长度为（卡-应）km.

⑵设绿化区域改造费与道路新建费用之和为y万元.

7TS77-

因为NABC=e,/BAC=—，所以NAC3=——6,

66

由正弦定理-----------=------=——,得BC=-------------,AC=-------------

•/5万xjx•冗sin0•,5万zj\•(、兀/n\

sin(-----0)sin—sin(------0)sin(------0)

6666

则由题意可得y=yrgAB-AC-sinNR4C+%-5C

、八.4万八、1八2sin°1「.〜5万八、1

=10sm(-----0)-2-------------------F5sin2(-----3)--------------

62sin(*6)26sin(*6)

=10sin+cos(--0)=10sin^+10(-^-cos^+—sin0)

622

=15sin6-5gcos0=106sin（^-—）,

6

因为o<ew二，所以—王<e—工

3662

所以loGsin（"令WIOG,当且仅当"彳="即6=g时取等号，

27r

所以当6=」时，该工程队获得最高利润.

3

课堂检测•素养达标

题18.如图,两座灯塔A和8与海岸观察站C的距离相等,灯塔