山西省晋中市太谷区多校2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

2023—2024中考学科素养自主测评卷（三）数学注意事项：1．本试卷共8页．满分120分，考试时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无处．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.－5的相反数是()A. B. C.5 D.-5【答案】C解析：-5的相反数是5．故选C．2.下列是小明非常喜欢的汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B解析：解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3.2024年3月5日在第十四届全国人民代表大会第二次会议上，国务院总理李强指出：2023年全年经济社会发展主要目标任务圆满完成，高质量发展扎实推进，社会大局保持稳定，全面建设社会主义现代化国家迈出坚实步伐．其中，经济总体回升向好．国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，把126万亿元用科学记数法表示为（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C解析：解：126万亿．故选C．4.如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点且落在上，的对应边，则下列说法正确的是（）A.旋转角为 B.平分C.平分 D.的度数是【答案】C解析：解：∵把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点且落在上，∴，∵，∴，∴，∴旋转角为，，∴，∵∴，∴，，∴平分，故C选项正确∵，∴，故选：C．5.下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】A解析：解：A.，故该选项正确，符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．6.某校医务室不断进行公共卫生的知识普及，为了了解普及效果，学校学生会与校医务室联合举行公共卫生知识竞赛，其中名女生和名男生在竞赛中表现突出，从表现突出的学生中随机抽取名学生进行赛后演讲，则抽到一男一女进行赛后演讲的概率是（）A. B. C. D.【答案】B解析：解：根据题意画出树状图，由树状图可知：所有等可能的结果共有种，选出的结果是“一男一女”的情况有种，所以选出的结果是“一男一女”的概率是，故选：B．7.如图、交于点．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：∵∴∴，∵，∴，∴，故选：A．8.已知反比例函数，则下列说法正确的是（）A.当时，y随x的增大而增大B.当点在该反比例函数的图象上时，则点也在该反比例函数的图象上C.点和点在该反比例函数的图象上，当时，D.该反比例函数的图象关于轴对称【答案】B解析：解：A、由，则函数图像在一、三象限内，y随x的增大而减小，故A选项错误；B、反比例函数图像上点关于原点对称、关于对称，即B选项正确；C、由，则函数图像在一、三象限内，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、反比例函数图像上的点关于原点对称、关于对称，即D选项错误．故选B．9.全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的．设购进甲种品牌的自行车辆，根据题意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】D解析：设购进甲种品牌的自行车辆，依题意得故选：D．10.如图是的小正方形网格，小正方形的边长为、点和是格点，连接，小明在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】A解析：解：如图所示，连接，∵小正方形的边长为2，∴∴，∴图中阴影部分的面积是故选：A．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.计算：＝_____．【答案】7解析：解：原式＝．故答案为7．12.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．某野外作业人员，因工作需要，用橇棍撬动一块2000N的大石头，经过分析后，撬棍的阻力臂是动力臂的则所需要的动力至少为__N．【答案】500解析：解：设所需要的动力至少为，由题意得：，解得：，即搅动这块大石头至少需要的动力是；故答案为：500．13.数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为__．【答案】##解析：解：由题意得，，∴点A表示的数为，故答案为：．14.如图，内接于半径为4的中，，过点A作的切线交的延长线于点D，交于点F、交于点E，则线段的长为__．【答案】解析：解：如图：连接并延长交于G，连接，∵，∴，∴是等边三角形，∵，，∴垂直平分，∴，，，∴，∴，∴∴，如图：连接，由，可得，∴，即，解得：，如图：作于H，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴．故答案为．15.如图，四边形中，，连接，过点C作于点F，交于点E，平分，若，延长交于点G，则的长为__．【答案】##解析：解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴；∵，∴A、E、F、D四点共圆，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，则，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴；∴，，∵，∴，∴，即，∴，，∴；如图所示，过点G作于H，∵，∴是等腰直角三角形，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，∴，解得，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（1）计算：；（2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务：解：去分母，得．…第一步去括号，得．……第二步移项，得．……第三步合并同类项，得．………………第四步两边都除以，得…………第五步任务：①以上解答过程中，第一步的依据是；②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现处错误，其中最后一次错误在第步，原因是；③直接写出该方程的正确解是．【答案】（1）；（2）①等式的基本性质2；②；五，没有除以；③解析：（1）（2）①以上答过程中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；②以上解答过程中，从前一步到后一步的变形中，共出现处错误，其中最后一次错误在第五步，原因是没有除以故答案为：；五，没有除以．③解：去分母，得去括号，得．移项，得．合并同类项，得．两边都除以，得故答案为：．17.如图，已知锐角，为边上的高．（1）尺规作图：作的平分线交于点E，交于点F；（2）在作出符合条件的（1）的图中，若，求证：．【答案】（1）如图，射线即为所求;（2）见解析【小问1解析】解：如图，射线即为所求．【小问2解析】解：∵，为边上的高，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即．18.在“双减”政策和延时托管服务中，某联盟校为了更加有效地管理好各个校区，准确了解，两个校区九年级各名学生的课后书面作业时长情况，从这两个校区分别随机抽取名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：【收集数据】校区名九年级学生中，课后书面作业时长（分钟）在组的具体数据如下：，，，，，，，，，，，．整理数据】两个校区的频数分布表如下：组别校区校区【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：特征数平均数众数中位数方差校区校区根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查是；A．普查B．抽样调查（2）统计表中，，；（3）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是校区（选填“”或“”）；（4）把校区的调查结果作扇形统计图进行详细分析，则这个时间段所在扇形的圆心角的度数是；（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过分钟，请估计，两个校区能在分钟内（包括分钟）完成当日课后书面作业的学生总人数．【答案】（1）B（2），（3）（4）（5）【小问1解析】解：根据题意知本次调查是抽样调查；小问2解析】∵校区名九年级学生中，课后书面作业时长（分钟）在组的具体数据如下：，，，，，，，，，，，．∴∵，∴从小到大排列，第，个数据，∴，【小问3解析】根据校区的成绩的方差为，校区的方差为，∴课后书面作业时长波动较小的是校区，【小问4解析】校区这个时间段所在扇形的圆心角的度数是，【小问5解析】，答：估计，两个校区能在分钟内（包括分钟）完成当日课后书面作业的学生总人数为人．19.项目化学习项目主题：探究我国古代漏刻，并自制漏刻．项目背景：在古代，许多民族与地区使用水钟来计时，水钟在古代也叫“漏刻”或“漏壶”．图1是原始漏刻的示意图．其原理是水从上而的漏水壶慢慢漏人下方的受水壶中，受水壶中的浮子上竖直放置一根标尺（称为“漏箭”）．以此来计时．图2是唐代制造的四级漏刻．驱动任务：探究漏刻的原理，研究步骤：①自制图3所示的“漏壶”；②为了提高计时的准确性，需稳定“漏水壶”的水位；③打开出水口B，水位就稳定在BC位置，随着“受水壶”内的浮子的高度与经历的时间逐渐增加，读出“受水壶”中浮子上的刻度，就可以确定时间；试验数据：t（min）······h（mm）······④分析数据，得出结论．问题解决：请根据此次项目实施的相关材料完成下列任务：（1）根据表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合初中阶段所学的哪种函数，并求出相应的函数表达式；（2）如图3，受水壶中的水位最大高度为，若受水壶中的浮子上升到最大高度时，可以表示的时间是，求当浮子的高度为时，求可以表示的时间．【答案】（1）正比例，（2）15【小问1解析】解：由表中信息，判断受水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间符合正比例函数，设函数解析式为：，由题意可得：，解得：，所以水壶内的浮子逐渐增加的高度与经历的时间得函数表达式为．【小问2解析】解：根据题意可得：当浮子的高度为时实际为：．答：当浮子的高度为时，表示的时间为15时．20.文峰塔是古代人民为使当地文风、文脉顺达，多出人才，根据风水理论而建造的，具有观赏性和标志性双重意义的建筑．其遍布全国各地州县，是科举制度的产物，同时也是儒、释、道三种思想共同作用下的产物．汾阳文峰塔建于明末清初，位置在山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔经过维修后，雄伟挺拔，如图1所示，喜欢考古的王师傅为了比对汾阳文峰塔维修前后高度的变化，利用无人机对其进行测量．图2是王师傅测量的示意图，代表汾阳文峰塔，他先把无人机从C处向上垂直飞行44米到达A处．测得文峰塔顶M的仰角是，再将无人机继续向上垂直飞行50米到达B处，测得文峰塔顶M的俯角是．（1）求汾阳文峰塔维修后的高度．（结果精确到1米，参考数据：）；（2）已知汾阳文峰塔维修前残高米，根据（1）的结果，直接算出维修后高度增加约米．【答案】（1）85（2）【小问1解析】解：如图所示，过点A和B分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，则四边形和四边形都是矩形，∴，设，在中，，在中，，∴，解得，∴，∴，答：汾阳文峰塔维修后的高度约为．【小问2解析】解：米，∴维修后高度增加约米，故答案为：．21.阅读与理解小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务：如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系．根据题意，列表如下：．．．．．．．．．

．．．在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）．任务一：（1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像；（2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的；（3）函数的图像关于点成中心对称；任务二：（1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是；A．公理化思想B．类比思想C．函数思想D．转化思想（2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的．【答案】任务一：（1），，函数图像见解析；（2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的；（3）；任务二：（1）C；（2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的．解析：解：任务一：（1）当时，；当时，根据图表绘制图像如下：（2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的．（3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的，∴函数的图像关于点成中心对称．任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B．（2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的．22.综合与实践问题情境：如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．特例探究：（1）如图，当点在边上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，发现，请说明理由；拓展探究；（2）如图2，点和分别为和的中点，点在外部时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，和，判断与的数量关系，并证明；求异探究：（3）如图3，当点在的延长线上时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的长．【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）解析：（1）∵，，∴∵将线段绕点逆