2021届数学新高考小题 (三十四)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练(34)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.已知复数z满足(l-i)-z=4i,则目=(

A.V2B.2c.2V2D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的代数形式的除法运算先求出z,再根据复数的模长公式求出|z|.

【详解】解：：(1-i>z=4i,,.•.z=A=(蒜2)7+2".#1=2夜.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的代数形式的除法运算，考查复数的模，属于基础题.

2.已知集合4={%|%2一%<0},B={x|x>I或x<0},则()

A.B^AB.A^BC.=RD.=0

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系.

【详解】解：解不等式％2一%<0得O<X<1,则4=何0<%<1}.

因为3={x|x>l或x<0},所以4门8=0,

故选:D.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关系.

3.已知。=log3O.2,Z?=log02O.3,c=lO°』，则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数与指数函数的单调性，将a、b、c与0、1比较，即可得出答案.

【详解】因为y=log3%在(。,+8)上单调递增，

所以a=log,0.2<log,1=0,

因为y=log。2x在(0,+oo)上单调递减，

所以0=log02l<b=log020.3<log020.2=1,

因为y=10'在R上单调递增，

所以c=10°」>10°=1,

所以a<。<c.

故选：A

【点睛】本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与0、1

比较大小，熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键.

4.(1—x)(l+x)3的展开式中，V的系数为()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意转化条件得(1—X)(I+X)3=(l+X)3—X(l+X。再由二项式定理写出(1+X)3的通项公式，分别令

尸=3、r=2,求和即可得解.

详解】由题意(l—X)(I+X)3=(I+X)3—X(l+X)3,

3

(1+X)的通项公式为Tr+t=C；-片./=G•V,

令厂=3,则=C；=1；

令r=2,则=C；=3；

所以(1—x)(l+x)3的展开式中，d的系数为1一3=一2.

故选：B.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5.函数“X）与g（x）=的图象关于y轴对称，则函数/（x）的部分图象大致为（）

A.

【答案】D

【解析】

【分析】

卡里，通过求/图，

由诱导公式对g（x）化简，结合两函数图象的关系可求出〃x）=

/（%）即可排除错误答案.

3兀

【详解】解：（、2smX尸2cosx—1,因为/（X）与g（x）图象关于y轴对称,

g（x）=----

xX

贝U正止1=22…,

-XX

c兀1

/\2COS--F1c

3=-^-二〉。，7

排除C,--<0,排除B,

1^2)£71冗

2

//、2cos乃+11八诩”人

/(〃)=---------=----<0,排除A,

7171

故选:D.

【点睛】本题考查了诱导公式，考查了函数图象的变换，考查了函数图象的选择.本题的关键是求出了（X）的

解析式.

6.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之

又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一

个圆内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当"变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆

的面积.运用割圆术的思想，可得到si〃3°的近似值为（）（乃取近似值3.14）

A.0.012B.0.052

C.0.125D.0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为3。,根据等腰三角形的面

积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3。的近似值.

360°1

【详解】当〃=120时，每个等腰三角形的顶角为-=3°，则其面积为SA=]/sin3°,

又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，

所以120x工,sin30aTir1=>sin3°«—®0.052,

260

故选：B

【点睛】本题考查三角形与圆的面积公式，属于基础题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键.

7.已知函数/(X)=1+1g(J/+1+x),若等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，且

/(4-1)=一10，/(%)20-1)=1°，则5202。二()

A.-4040B.0

C.2020D.4040

【答案】C

【解析】

【分析】

结合对数的运算性质，对/(一尤)进行整理可得/(X)为奇函数，从而可知q+“2020=2,代入等差数列的

求和公式即可求出S2020的值.

【详解】解：因为/(%)=1+1g(+1+q定义域为R,关于原点对称，且

f(-X)=(-X)3+lg(Vx2+1-x)=-X3+1gJ1-—

=-X3-lg(&+]+x)=-/(x),所以/(x)为奇函数，

由_1)=_/(。2020_1)=/(1_〃2020)得，〃1_]=]_“2020，所以4+〃2020=2,

因为｛为｝为等差数列，所以$2020=里迎竽0城=2020,

故选:C.

【点睛】本题考查了对数的运算，考查了函数的奇偶性的判断，考查了等差数列的求和公式.本题的关键是

求出4+。2020=2.

8.在四面体A8CZ)中，8C=Cr>=60=A5=2,NABC=9O,二面角A-3C—。的平面角为150°,

则四面体A8C3外接球的表面积为()

31124

A.—71B.-----H

33

C.31%D.1247

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，写出AB,C,O坐标，利用球心到距离等于半径求出球心坐标，从而求出

球体半径，即可求出球体的表面积.

【详解】解：取8。中点E为坐标系原点，过点E作垂直于平面BCD的直线为z轴，£3所在直线为x轴,

EC所在直线为>轴，如下图所示.

由已知条件可得：8(1,0,0),C(-l,0,0),£>(0,73,0),A(l,-V3,l).

设四面体ABCD外接球的球心为0(%>,z),由=|Q5|=|OC|=|。。|得:

=j2+（y_6j+Z2

x=0

解得：=则球心。o,-^—,3.

3I3

z=3

；.四面体ABCD外接球的半径R=|OA|=j『+F亨+6+（3—1）2=栏，所以四面体ABCD外接球

31I24乃

的表面积S=4%/?2=4»x±=-----.

33

故选：B.

【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，关键是建立空间直角坐标系求出各顶点坐标，属于中档题.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰一一，恢复经济正常运行.国人万众一心，众志成城，防控

疫情、复工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法

正确的是（）

疫情防控期间某企业复工职工调查

申请休假

B.从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178

C.不到80名职工倾向于继续申请休假

D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据扇形图中的比例关系依次验证各个选项即可得到结果.

【详解】对于A，x=100—5.1-17.8—42.3=34.8,A错误；

对于倾向于在家办公的人员占比为17.8%,故对应概率为0.178,B正确;

对于C，倾向于继续申请休假人数为1644x5.1%之84人，C错误；

对于。，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为1644x(17.8%+42.3%)a988人，。正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查根据扇形图进行相关命题的辨析的问题，涉及到比例和频数的计算等知识，属于基础题.

10.已知向量1=(2,1),5=(1,-1),c={m-2,-«),其中机，〃均为正数，且(〃一5)〃工，下列说

法正确的是()

A.a与b的夹角为钝角

B.向量。在b方向上的投影为更

5

C.2m+n=4

D.mn的最大值为2

【答案】CD

【解析】

【分析】

对于A,利用平面向量的数量积运算判断；对于B,利用平面向量的投影定义判断；对于C,利用(1一石)〃C

判断；对于D,利用C的结论，2机+〃=4,结合基本不等式判断.

【详解】对于A,向量@=(2,1),5=(1，-1).则无石=2-1=1>0，则G石的夹角为锐角，错误；

a-bV2

对于B,向量1=(2,1),5=(1,-1),则向量M在坂方向上的投影为下|-=彳，错误；

对于C,向量G=(2,1),5=(1,-1),则万一5=(1)2),若(1_5)〃5，则(-〃)=2(切-2),变形可得

2加+行4,正确；

I|2〃z+鹿

对于D,由C的结论，2m+n=4,而〃均为正数，贝！|有(2wn)<—(------>=2,即机〃的最大

222

值为2,正确；

故选：CD.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.

y2

Y

11.已知椭圆C：W=1(。>。>0)的右焦点为厂，点尸在椭圆。上，点。在圆

E:(x+3)2+(y-4)2=4±,且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|-|P目的最小值为2右一6，且

椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是()

A.椭圆。的焦距为2B.椭圆C的短轴长为括

C.|PQ|+|PF|的最小值为2后D.过点尸的圆E的切线斜率为心|^

【答案】AD

【解析】

【分析】

由题意可求得。的值，再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得C的值，进而可判断出A、B

选项的正误；利用圆的几何性质可判断C选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可

求得切线的斜率，可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】圆E的圆心为七(一3,4),半径长为2，

由于椭圆。的长轴长恰与圆E的直径长相等，则2。=4,可得。=2,

设椭圆的左焦点为点耳,由椭圆的定义可得归刊+归耳|=勿=4,.•』尸司=4—|尸耳|,

所以，归。|一归目=|PQ]—(4一归用)=归耳|+归。]一4"?制+|PE|—2—4"班k6=26一6,

当且仅当尸、Q、E、月四点共线，且当P、。分别为线段E片与椭圆C、圆E的交点时，等号成立,

则但用=J(—3+c)+(4—Op=J(C—3)2+16=26，­.-0<c<a=2,解得c=l,

所以，椭圆。的焦距为2c=2,A选项正确；

椭圆。的短轴长为给=2必二7=26，B选项错误；

\PQ\+\PF\>\PE\+|PF|-2>|£F|-2=[㈠-丁+(4_0『-2=472-2，

当且仅当P、。、E、/四点共线，且当P、。分别为线段EF与椭圆。、圆E交点时，等号成立，C

选项错误;

若所求切线的斜率不存在，则直线方程为x=l,圆心E到该直线的距离为卜3-1=4>2,则直线％=1与

圆E相离，不合乎题意；

若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为y=%(x—1),即依-y—Z=O,

由题意可得卜3：：4一%|:整理得3公+8k+3=0,解得％=一4±疗.

VF+1VF+13

D选项正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查利用椭圆的定义解决焦半径与椭圆上的点到圆上的点的距离和与差的最值问题，同时也

考查了过圆外一点引圆的切线问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

12.已知函数/(x)=[cosx|TsinM|,则下列结论中，正确的有()

A.乃是/(x)的最小正周期

B.”X)在作A上单调递增

c.7(x)的图象的对称轴为直线x=(+版'(ZeZ)

D./(x)的值域为[0,1]

【答案】BD

【解析】

【分析】

由〃—x)=./XX)，知函数为偶函数，又/(%+卞=/(劝，知'是/(X)的周期，

n

当xe[0,—]时，化简并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数/(x)的图象，根据图象判断

4

每一个选项是否正确.

【详解】由/(-x)=/(x),知函数为偶函数，又/(x+])=f(x),知]是“X)的周期，

当xe[0,工]时，/(%)=cos%-sinx=-41sin(x--),画出f(x)的图象如图所示：

44

y

3牙x

4~2442-7

由图知，“X)的最小正周期是A错误；

“X)在佰,上单调递增，B正确；

“X)的图象的对称轴为*=子,(左eZ),C错误；

/(x)的值域为[0,1],D正确.

故选：BD.

【点睛】本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键,

属于中档题.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若曲线/(x)=xlnx+x在点(1,7(1))处的切线与直线2x+ay-4=0平行，则。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函数/(x)在x=l处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式，得出

答案.

【详解】因为/(x)=xlnx+x.

所以/'(x)=Inx+1+1=Inx+2,

所以/(1)=2.

因为曲线/(x)=xlnx+x在点(1,7⑴)处的切线与直线2x+©-4=0平行，

2

即2=—=>n=—1.

a

故答案为:-1.

【点睛】本题考查函数的导函数的几何意义，属于基础题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等

于函数在这点的切线的斜率.

14.已知圆锥的顶点为S,顶点S在底面的射影为O,轴截面SA8是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧

面积为，点。为母线S3的中点，点C为弧AB的中点，则异面直线CO与OS所成角的正切值

为.

⑵•孚

【答案】(1).171

【解析】

【分析】

由轴截面的图形可知圆的半径和母线长，从而可求出侧面积；作。于E，通过求出

tan/CDE=一EC匕，从而可求异面直线所成角.

DE

【详解】解：因为轴截面SAB是边长为2的等边三角形，所以底面圆的半径为1，母线为2，

所以圆锥的侧面积为S=»xlx2=24；作OE1.AB于E，则。上_1底面圆，

因为。为母线SB的中点，所以E£>=2SO=LJF=7=且，

222

亚

又EC=J"?+OE?=+1=与

所以tanZ.CDE=,

DEB3

T

因为ED//SO,所以异面直线CO与OS所成角的正切值为巫

3

故答案为：2兀；晅

3

【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求解，考查了异面直线二面角的求解.本题的关键是将异面直线通过平移,

求其夹角.

15.CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020

年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨

屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作（这3名员工的工作视为相同的

工作），再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则

不同的安排方案共有种.

【答案】360

【解析】

【分析】

理解题意，分两步安排，先安排接待工作，再安排讲解工作.安排接待工作时，甲和乙至多安排1人，故分

没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数.

【详解】先安排接待