《高等数学上册》课件

课程简介本课程将全面系统地介绍高等数学的基础知识和主要内容。从实数、极限、连续、导数、积分等基础知识开始,深入探讨常微分方程、多元函数微积分、级数等重要概念,为后续的专业学习打下坚实的基础。ppbypptppt第一章函数函数是数学中最基础和重要的概念之一。本章将介绍函数的基本概念和性质,并讨论一些常见的基本初等函数,以及复合函数和反函数的相关知识。1.1函数的概念和性质什么是函数?函数是一种数学关系,它把自变量与因变量联系起来。函数可以用公式、图像或者表格等形式来表示。函数的基本性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等基本性质,这些性质决定了函数的特点和应用范围。函数的分类常见的初等函数包括代数函数、指数函数、对数函数、三角函数等,它们有各自的特点和应用领域。基本初等函数1多样化基本初等函数包括常见的线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等,涵盖了数学建模和实际应用中最基础和重要的函数类型。2图像表现每种函数都有其独特的图形特征,如直线、指数增长、周期性等,能很好地反映函数的性质和行为。3应用广泛基本初等函数在科学、工程、经济等各个领域广泛应用,是理解和分析复杂现象的基础。1.3复合函数和反函数1复合函数函数与函数相结合构成新函数2反函数原函数关系的逆过程3性质探讨复合函数和反函数的性质及运算复合函数是将两个或多个函数组合起来,形成新的函数。反函数则是原函数关系的逆过程。这两个概念及其相关的性质和运算规则在高等数学中非常重要,是后续微积分学习的基础。我们将通过例题和图形化的方式,深入理解这些基础知识。第二章极限极限是高等数学中的一个核心概念。它描述了函数或数列在某个点附近的逼近行为。通过学习极限,我们可以更好地理解连续性、导数和积分等重要概念。2.1数列的极限1定义数列的极限是数列在无限项过程中趋于某一定值的概念。2判断通过极限定义或等价无穷小判断数列极限存在。3运算数列极限的基本运算性质,如加法、乘法、复合等。数列极限是高等数学中一个基础概念,贯穿于整个微积分理论之中。掌握数列极限的定义及相关定理,有利于学习后续的函数极限、连续性、导数和积分等内容。函数的极限1定义函数极限是描述函数在某点附近的趋势和变化性质。2连续性函数极限与函数的连续性密切相关。3性质极限具有加法、乘法、分配等性质。函数极限是高等数学的基础之一,它描述了函数在某点附近的趋势和变化性质。函数极限与函数的连续性密切相关,并且具有一些基本的代数性质。理解函数极限对于后续学习微积分等内容非常重要。无穷小和无穷大无穷小无穷小是一种趋近于0但永远不等于0的数学概念。理解无穷小可以帮助我们分析函数的渐近行为和极限的存在性。无穷大无穷大是一种超出有限范围的数学概念。它可以用来描述函数在某点的无限增长或无限减小的情况。掌握无穷大有助于研究极限、连续性和可导性。无穷小与无穷大的关系无穷小和无穷大是相互依存的概念。一个函数的无穷小意味着另一个函数的无穷大,反之亦然。理解这种关系有助于分析函数的复杂行为。第三章连续本章将讨论函数连续性的概念及其重要性。我们将学习如何判断函数是否连续,以及如何分析函数在某些点上的间断情况。这些知识对于后续的微积分理解和应用至关重要。3.1函数的连续性1连续函数的概念函数在某点连续是指该点附近的函数值都可以无限接近于函数在该点的值。这是函数连续性的基本定义。2连续性的分类函数的连续性可分为点连续、区间连续和一致连续。点连续是指函数在某一点连续,区间连续是指函数在某个区间内连续,一致连续则是指函数在整个定义域内都连续。3连续性的性质连续函数具有重要的性质,如有界性、最大值最小值定理、介值定理等。这些性质为后续微积分的学习奠定了基础。3.2间断点和间断函数1连续函数在定义域上处处连续的函数2间断点函数在某点不连续的点3间断函数在定义域上有间断点的函数连续函数是数学分析的基础。但现实世界中存在许多非连续的函数,即在定义域上存在间断点的函数。这些间断点可能是可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。我们需要了解这些不同类型的间断,才能更好地分析和应用高等数学中的各种概念和定理。第四章导数导数是微积分的基础概念之一。它描述了函数在某一点的变化率,能够反映函数的局部性质,在解决许多实际问题中发挥重要作用。本章将系统介绍导数的基本概念和性质,以及导数在各种函数上的计算方法。4.1导数的概念和性质1导数的定义导数是函数在某点的瞬时变化率,表示函数在该点的切线斜率。它反映了函数在该点的局部变化趋势。2导数的性质导数具有线性性、乘法性、链式性等重要性质,为后续微分和积分理论的建立奠定了基础。3导数的计算利用导数的定义和性质,可以建立起一系列求导公式,极大地方便了导数的计算。4.2求导法则1基本求导法则常数、幂函数、指数函数、三角函数等基本函数的导数。2复合函数求导运用链式法则求复合函数的导数。3隐函数求导对隐函数进行求导，得到隐函数的导数。导数求导法则是微积分学习的基础之一。通过掌握各种基本函数的导数计算公式和链式法则、隐函数求导等方法，我们可以灵活地求出各种复杂函数的导数。这为后续学习微分应用奠定了基础。高阶导数定义高阶导数是指对一个函数进行多次求导,得到的导数。主要包括一阶导数、二阶导数、三阶导数等。用途高阶导数在描述函数变化率的变化、分析函数极值、判断函数凹凸性等方面非常重要。求解方法可以利用求导公式逐次求出高阶导数,或利用隐函数求导法进行求解。微分的概念和性质微分是研究函数变化率的基础工具。它可以用来描述函数在某点附近的近似变化情况,为我们分析和解决实际问题提供了强有力的方法。下面我们来系统地学习微分的概念和性质。5.1微分的概念和性质1定义微分是对函数在某一点的无穷小增量与自变量的无穷小增量的比值2性质微分具有线性性、可微函数的合成律、微分的可逆性等重要性质3应用微分可用于求函数的极值、判断函数的变号、求函数的近似值等微分是微积分中一个重要概念。它可以准确地刻画函数在某个点附近的局部变化情况,在解决各种实际问题中起着至关重要的作用。掌握微分的概念和性质,是学习后续内容的基础。微分中值定理含义微分中值定理阐述了函数在一定区间内的平均变化率与某点的导数之间的关系。它为函数的定性分析和定量计算提供了重要依据。Rolle定理Rolle定理是微分中值定理的特殊情况,它描述了函数在闭区间上连续且两端点函数值相等时,必然存在至少一点处导数为0。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是更一般的形式,它说明了函数在闭区间上连续且可导时,必然存在至少一点处导数等于平均变化率。5.3微分的应用1优化利用微分确定最大值和最小值2企业决策运用微分分析成本效益3科学研究运用微分分析数据趋势微分不仅可以用来描述函数的变化率,还可以应用于诸多实际问题的分析和解决。在优化决策、企业管理和科学研究等领域,微分都发挥着重要作用。通过微分,我们可以找到函数的极值点,分析成本收益,并了解数据变化的趋势,为实际问题提供更好的解决方案。第六章积分积分是微积分的重要概念之一,包括不定积分和定积分。不定积分是原函数的推导,定积分是曲线下面积的计算。两种积分理论有密切联系,是深入理解微积分的关键。6.1不定积分1定义不定积分是研究原函数与导数之间的关系的一个重要概念。它表示一个导数为给定函数的原函数。2性质不定积分具有多种性质,如线性性质、常数可分性、和差公式等,这些性质便于求解不定积分。3基本积分公式一些基础的不定积分公式,如幂函数、指数函数、三角函数等的积分公式,为后续的积分计算奠定基础。6.2定积分1定积分概念积分定义域有限2定积分性质可加性、线性性3基本定积分基本积分公式定积分是对函数在有限区间上的累积值进行度量的一种方法。它可以描述物理中的位移、流量等概念。定积分具有可加性、线性性等重要性质,并有一些基本积分公式可供应用。学习定积分的概念及其性质,有助于更好地理解和应用积分方法。微积分基本定理1无穷小与微分微积分基本定理阐述了无穷小与微分的关系,为积分和求导之间的转换奠定了理论基础。2不定积分与定积分这一定理揭示了不定积分和定积分之间的联系,为这两种重要的积分概念建立起了桥梁。3计算与应用微积分基本定理不仅为诸多积分问题的解法提供了指导,而且在工程、经济等领域广泛应用。6.4广义积分1收敛性判断了解广义积分的收敛性判断条件2计算方法掌握广义积分的计算技巧3典型例题解决广义积分的实例练习广义积分是