浙江省宁波市三锋教研联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在中，角所对边分别为，且，（）A． B．或 C． D．或2．已知向量，若，则（）A． B．2 C． D．43．已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列结论正确的是（）A．若直线不平行于平面，且，那么内存在一条直线与平行B．已知平面和直线，则内至少有一条直线与垂直C．如果两个平面相交，则它们有有限个公共点D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等5．已知的内角所对的边分别为，面积为，若，的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形6．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为，则其体积为（）A． B． C． D．7．已知扇形的半径为13，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，弧的中点为，则（）A． B． C． D．8．如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列命题是真命题的是（）A．空间三点可以确定一个平面B．为两个不同的平面，直线，则“”是“”必要不充分条件C．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行D．长方体是直平行六面体10．已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（）A． B．C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为11．正方体的棱长为1，分别为的中点，则（）A．直线与平面平行B．C．过的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形D．过的平面截此正方体所得的截面的面积范围是12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若为的外心，则D．若为的垂心，，则非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．已知球的半径为，则球的表面积是_________．14．如图，甲乙两人做游戏，甲在处发现在北偏东方向，相距6百米的处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要_________分钟．四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________16．已知中，，若在平面内一点满足，则的最大值为_________四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）设是不共线的两个非零向量．（1）若，求证：三点共线；（2）若与平行，求实数的值．18．（12分）记的内角的对边分别为，面积为，且．（1）求的外接圆的半径；（2）若，且边上的高，求角．19．（12分）如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，平面平面（1）证明：平面（2）证明：20．（12分）在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，是边长为1的正三角形，且分别是棱上的动点，为中点．（1）若为中点，证明：面（2）求的最小值22．（12分）在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足．（1）若，求的值；（2）在（1）条件下，求的最小值；（3）若，求的取值范围．2023学年第二学期宁波三锋教研联盟期中联考高一年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ACABADBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9101112BDACDABDABD或BD（均给满分）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13．14．215．16．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）由得，，所以，且有公共点，所以三点共线．（2）由与平行平行，则存在实数，使得，即，又是不共线的两个非零向量，因此9分解得，实数的值是18．18．（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圆的半径．（2）由（1）知，即又，所以，所以，所以，所以19．（1）连接交于，连接．因为四边形为直角梯形，，所以又因为所以．因为面面，所以平面．（2）因为四边形为直角梯形，所以．因为面面，所以平面．因为面，面面．所以．20．（1）．．或者．（2）且，（2）且，由正弦定理得，所以故，，即的取值范围．21．（1）取中点，连接，因为点分别为的中点，所以，，且因为四边形为正方形，所以，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面平面平面；（2）由题意可知，则．将平面展开到一个平面内如图，则的最小值即为展开图中的长．，从而，故．在中，由余弦定理可得，则，即的最小值为．22．（1）解：因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，又因为，可得，所以，即，因为，所以，又由，可得，解得，即，所以为的外心