对数函数（十三大题型）（原卷版）

6.3对数函数课程标准学习目标（1）理解对数函数的概念及图象、性质，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.（2）结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，发展直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.（1）理解对数函数的概念.（2）初步掌握对数函数的图象和性质.（3）能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.知识点01对数函数的概念1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．知识点诠释：（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．知识点02对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点诠释：关于对数式的符号问题，既受..的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．【即学即练2】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是增函数 D．的值域为知识点03底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）知识点04反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．知识点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【即学即练4】33．（2023·高一校考课时练习）若函数的图象与且的图象关于直线对称，则的值等于（

）A． B． C． D．题型一：对数函数定义的判断例1．（2023·黑龙江双鸭山·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B．C．（，） D．例2．（2023·高一校考课时练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于A．3 B． C． D．例3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·全国·高一随堂练习）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．【方法技巧与总结】判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．题型二：利用对数函数的定义求参数例4．（2023·全国·高一专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且例5．（2023·高一课时练习）若函数的图象过点，则（

）A．3 B．1 C．1 D．3例6．（2023·江苏连云港·高一校考阶段练习）设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12变式2．（2023·北京东城·高一校考期中）函数为对数函数，则．变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是对数函数，则．变式4．（2023·全国·高一专题练习）函数是对数函数，则实数a＝.【方法技巧与总结】的系数为1题型三：求对数函数的表达式例7．（2023·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为.例8．（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为.例9．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习），当；，则变式5．（2023·甘肃白银·高一统考开学考试）写出一个满足且不是常数函数的函数：．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数同时满足（1）；（2），其中，则符合条件的一个函数解析式＝．变式7．（2023·全国·高一随堂练习）已知为对数函数，，则．变式8．（2023·全国·高一专题练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为.【方法技巧与总结】待定系数法题型四：对数型函数过定点问题例10．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）函数（且）的图象恒过点．例11．（2023·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为．例12．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象必过定点．变式9．（2023·全国·高一专题练习）函数（，且）的图象恒过点．变式10．（2023·高一课时练习）函数的图象过定点．变式11．（2023·高一课时练习）函数（且）恒过定点.【方法技巧与总结】令真数为1求解.题型五：对数函数的图象问题例13．（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

例14．（2023·全国·高一假期作业）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A． B．C． D．例15．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

变式12．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

变式13．（2023·全国·高一专题练习）若，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式14．（2023·全国·高一专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．变式15．（2023·全国·高一假期作业）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧与总结】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．题型六：对数函数的定义域例16．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是.例17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.例18．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．变式16．（2023·海南海口·高一海口一中校考期中）函数的定义域为．（用区间表示）变式17．（2023·云南曲靖·高一校考阶段练习）求函数的定义域.变式18．（2023·高一课时练习）函数的定义域为.变式19．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是．【方法技巧与总结】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．题型七：对数函数的值域与最值例19．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是．例20．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是．例21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为，求实数的取值范围.变式20．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为．变式21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为.变式22．（2023·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．变式23．（2023·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是.变式24．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，设，则函数的值域为．变式25．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则的值域是.变式26．（2023·全国·高一专题练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是.变式27．（2023·云南昆明·高一昆明一中统考期末）函数的最大值为.变式28．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上的最大值是2，则a等于【方法技巧与总结】数形结合题型八：对数函数的单调性及其应用例22．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．例23．（2023·上海·高一专题练习）若函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是．例24．（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是．变式29．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（

）A． B． C． D．变式30．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．变式31．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．变式32．（2023·全国·高一专题练习）设函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．变式33．（2023·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．题型九：比较指数幂的大小例25．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．例26．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．例27．（2023·全国·高一专题练习）三个实数的大小关系为（

）A． B．C． D．变式34．（2023·全国·高一专题练习）若，，，则（

）A． B． C． D．变式35．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．变式36．（2023·高一课时练习）设，，，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．变式37．（2023·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）若，，，则有（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．题型十：解对数型不等式例28．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．例29．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为例30．（2023·高一课时练习）使成立的实数x的集合是.变式38．（2023·高一课时练习）若（a＞0，且a≠1），则a的取值范围是．变式39．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集是.变式40．（2023·高一课时练习）若函数（其中a为常数，且）满足，则的解集是.变式41．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则关于的不等式的解集为．变式42．（2023·全国·高一假期作业）已知（且），则实数的取值范围为.变式43．（2023·高一课时练习）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为．【方法技巧与总结】利用对数函数的单调性求解题型十一：判断对数函数的奇偶性例31．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，.(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.例32．（2023·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）设为奇函数，a为常数．(1)求a的值；(2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标．例33．（2023·云南迪庆·高一统考期末）已知函数(1)若，求函数的定义域；(2)若函数是奇函数，求的值变式44．（2023·高一校考课时练习）已知函数，(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(2)记函数，问：是否存在实数使得函数为偶函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．变式45．（2023·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）已知是偶函数，(1)求的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.变式46．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程有解，求实数m的取值范围．变式47．（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求的值；(2)设，若，求的取值范围.【方法技巧与总结】断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。题型十二：反函数例34．（2023·天津和平·高二耀华中学校考阶段练习）如果直线与直线关于直线对称，那么，的值分别为（

）A．， B．， C．， D．，例35．（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）函数与函数互为反函数，则（

）A． B． C． D．例36．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）若函数的反函数，则（

）A．1 B．e C． D．变式48．（2023·浙江台州·高一台州一中校考期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（

）A． B． C． D．变式49．（2023·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知是定义在上的严格减函数，若，，那么其反函数是（

）A．定义在上的严格增函数 B．定义在上的严格减函数C．定义在上的严格增函数 D．定义在上的严格减函数变式50．（2023·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数，函数与的图像关于直线对称，则的解集为（

）A． B．C． D．变式51．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求的反函数；(2)若函数，当时，，求a的取值范围．【方法技巧与总结】反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．题型十三：对数函数性质的综合应用例37．（多选题）（2023·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．在区间上单调递减C．的值域为 D．图象关于点中心对称例38．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（

）A．若值域为，则 B．若定义域为，则C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则例39．（2023·北京·高三北京四中校考阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足．(1)求函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)求不等式的解集．变式52．（2023·湖北武汉·高二校联考阶段练习）已知函数的图像关于轴对称．(1)求的值；(2)若函数，，求的最大值．变式53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.(1)求实数的值；(2)将图像上每一点的纵坐标不变、横坐标变为原来的3倍，再将图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，请写出函数的表达式；(3)解不等式.变式54．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知函数是奇函数.(1)求的值;(2)判断在区间上的单调性，并证明;(3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.【方法技巧与总结】如果函数的定义域为某个区间，则函数在这个区间的任何子集内部都有意义；如果函数在区间上有意义，而的定义域为，则必有．考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．一、单选题1．（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）函数（且）恒过定点（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高一专题练习）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时6．（2023·全国·高一随堂练习）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

7．（2022春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）关于函数，下列描述不正确的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则8．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为