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文档简介
第五章5.1.2A组·素养自测一、选择题1.下列转化结果错误的是(C)A.22°30′化成弧度是eq\f(π,8)B.-eq\f(10π,3)化成角度是-600°C.-150°化成弧度是-eq\f(7π,6)D.eq\f(π,12)化成角度是15°[解析]对A,22°30′=22.5°=eq\f(π,8),正确;对B,-eq\f(10π,3)=-eq\f(10π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°=-600°,正确;对C,-150°=-150×eq\f(π,180)=-eq\f(5π,6),错误;对D,eq\f(π,12)=eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°=15°,正确.2.若α=5rad,则角α的终边所在的象限为(D)A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限[解析]∵eq\f(3π,2)<5<2π,∴α=5rad为第四象限角,其终边位于第四象限.3.将-1485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(D)A.-eq\f(π,4)-8π B.eq\f(7,4)π-8πC.eq\f(π,4)-10π D.eq\f(7,4)π-10π[解析]∵-1485°=-5×360°+315°,又2πrad=360°,315°=eq\f(7,4)πrad.故-1485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是eq\f(7,4)π-10π.4.毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动,也会因为地球自转而每天行八万里路程.已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km,把南极旁边的地球表面看作平面,则地球每自转eq\f(π,3)rad,昆仑站运动的路程约为(C)A.2200km B.1650kmC.1100km D.550km[解析]因为昆仑站距离地球南极点约1050km,地球每自转eq\f(π,3)rad,所以由弧长公式得:l=1050×eq\f(π,3)≈1100,故选C.5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),\f(7π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),\f(7π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(2π,3),2kπ+\f(7π,6)))(k∈Z)[解析]阴影部分的两条边界分别是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的终边,所以α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(2π,3),2kπ+\f(7π,6)))(k∈Z).6.若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所夹扇形的面积是(C)A.tan1 B.eq\f(1,sin1)C.eq\f(1,sin21) D.eq\f(1,cos1)[解析]如右图所示,设∠AOB=2,AB=2.过点O作OC⊥AB于C,延长OC交eq\o(AB,\s\up8(︵))于D,则∠AOD=eq\f(1,2)∠AOB=1,AC=eq\f(1,2)AB=1.在Rt△AOC中,OA=eq\f(AC,sin∠AOC)=eq\f(1,sin1).∴扇形的面积S=eq\f(1,2)×2×eq\f(1,sin21)=eq\f(1,sin21).二、填空题7.315°=eq\f(7,4)π弧度,eq\f(7,12)π弧度=105度.8.将-1360°表示成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为-8π+eq\f(4π,9).[解析]∵-1360°=-4×360°+80°,而80°=eq\f(4π,9),∴应填-8π+eq\f(4π,9).9.如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=eq\f(π,6),则劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为eq\f(4π,3).[解析]连接AO,OB,因为∠ACB=eq\f(π,6),所以∠AOB=eq\f(π,3),又OA=OB,所以△AOB为等边三角形,故圆O的半径r=AB=4,劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为eq\f(π,3)×4=eq\f(4π,3).三、解答题10.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分的角的集合.[解析](1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))eq\f(3π,4)+2kπ<α<eq\f(4π,3)+2kπ,k∈Z}.(2)将终边为OA的一个角eq\f(11π,6)改写为-eq\f(π,6),此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成,故满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))-eq\f(π,6)+2kπ<α≤eq\f(5π,12)+2kπ,k∈Z}.(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到,所以满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ≤α≤\f(π,2)+kπ,k∈Z)).(4)与第(3)小题的解法类似,将其次象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分,所以满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|\f(2π,3)+kπ<α<\f(5π,6)+kπ,k∈Z)).11.(1)把310°化成弧度;(2)把eq\f(5π,12)rad化成角度;(3)已知α=15°、β=eq\f(π,10)、γ=1、θ=105°、φ=eq\f(7π,12),试比较α、β、γ、θ、φ的大小.[解析](1)310°=eq\f(π,180)rad×310=eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°=75°.(3)解法一(化为弧度):α=15°=15×eq\f(π,180)=eq\f(π,12).θ=105°=105×eq\f(π,180)=eq\f(7π,12).明显eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12).故α<β<γ<θ=φ.解法二(化为角度):β=eq\f(π,10)=eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°=18°,γ=1≈57.30°,φ=eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°=105°.明显,15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ=φ.B组·素养提升一、选择题1.若eq\f(α,3)=2kπ+eq\f(π,3)(k∈Z),则eq\f(α,2)的终边在(D)A.第一象限 B.第四象限C.x轴上 D.y轴上[解析]∵eq\f(α,3)=2kπ+eq\f(π,3)(k∈Z),∴α=6kπ+π(k∈Z),∴eq\f(α,2)=3kπ+eq\f(π,2)(k∈Z).当k为奇数时,eq\f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上;当k为偶数时,eq\f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上.综上,eq\f(α,2)终边在y轴上,故选D.2.(多选题)圆的半径变为原来的2倍,弧长也增加到原来的2倍,则(BC)A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的4倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍[解析]α=eq\f(l,r)=eq\f(2l,2r)=α,故圆心角不变,由面积公式S=eq\f(1,2)lr知,扇形的面积增大到原来的4倍,故选BC.3.(多选题)下列表述中正确的是(ABC)A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B.终边在y轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α=\f(π,2)+kπ,k∈Z))C.终边在坐标轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α=k·\f(π,2),k∈Z))D.终边在直线y=x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α=\f(π,4)+2kπ,k∈Z))[解析]终边在直线y=x上角的集合应是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))α=eq\f(π,4)+kπ,k∈Z},D不正确,其他选项均正确.故选ABC.4.若角α与角x+eq\f(π,4)有相同的终边,角β与角x-eq\f(π,4)有相同的终边,那么α与β间的关系为(D)A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=2kπ(k∈Z)D.α-β=2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]∵α=x+eq\f(π,4)+2k1π(k1∈Z),β=x-eq\f(π,4)+2k2π(k2∈Z),∴α-β=eq\f(π,2)+2(k1-k2)·π(k1∈Z,k2∈Z).∵k1∈Z,k2∈Z,∴k1-k2∈Z.∴α-β=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z).二、填空题5.已知θ∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α=kπ+(-1)k·\f(π,4),k∈Z)),则θ的终边所在的象限是第一或其次象限.[解析]当k为偶数时,α=2mπ+eq\f(π,4)(m∈Z),当k为奇数时,α=(2m-1)π-eq\f(π,4)=2mπ-eq\f(5π,4)(m∈Z),∴θ的终边在第一或其次象限.6.如图所示,已知一长为eq\r(3)dm,宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板拦住,使木块底面与桌面成30°的角,则点A走过的路程是eq\f((9+2\r(3))π,6)dm,走过的弧所对应的扇形的总面积是eq\f(7π,4)dm2.[解析]eq\o(AA1,\s\up8(︵))所在的圆的半径是2,所对圆心角为eq\f(π,2),eq\o(A1A2,\s\up8(︵))所在的圆的半径是1,所对圆心角为eq\f(π,2),eq\o(A2A3,\s\up8(︵))所在的圆的半径是eq\r(3),所对圆心角是eq\f(π,3).点A走过的路程是3段圆弧长之和,即:eq\f(2×π×2,4)+eq\f(1×π×2,4)+eq\f(2×\r(3)×π,6)=eq\f((9+2\r(3))π,6)(dm);3段弧所对应的扇形总面积为:eq\f(π·22,4)+eq\f(π·12,4)+eq\f(π·(\r(3))2,6)=eq\f(7π,4)(dm2).三、解答题7.已知一个扇形的周长为12cm,当扇形的半径为何值时,这个扇形的面积最大?并求出此时的圆心角.[解析]设扇形的半径为r,圆心角为θ,则扇形的弧长为l=rθ,依据题意,扇形的周长2r+l=12,解得l=12-2r,所以扇形的面积S=eq\f(1,2)lr=eq\f(1,2)(12-2r)×r=-r2+6r=-(r-3)2+9,故当r=3时,S取得最大值,此时l=12-2×3=6,扇形的圆心角θ=eq\f(l,r)=eq\f(6,3)=2.8.在一块顶角为eq\f(2π,3)、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,现有如图所示的两种方案.(1)求两种方案中扇形的周长之差的肯定值;(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.[解析](1)由题图①所示的方案,可得∠OAD=eq\f(π,6),R1=2,所以扇形的周长为C1=2R1+eq\f(π,6)×R1=2×2+eq\f(π,3)=4+eq\f(π,3).由题图②所示的方案,可得∠MON=eq\f(2π,3),R2=1,所以扇形的周长为C2=2R2+eq\f(2π,3)×R2=2×1+eq\f(2π,3)=2+eq\f(2π,3).所以两种方案中扇形的周长之差的肯定值为|C1-C2|=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4+\f(
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