新教材2024年高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制素养作业新人教A版必修第一册

第五章5.1.2A组·素养自测一、选择题1．下列转化结果错误的是(C)A．22°30′化成弧度是eq\f(π,8)B．－eq\f(10π,3)化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7π,6)D．eq\f(π,12)化成角度是15°[解析]对A，22°30′＝22.5°＝eq\f(π,8)，正确；对B，－eq\f(10π,3)＝－eq\f(10π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－600°，正确；对C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6)，错误；对D，eq\f(π,12)＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15°，正确．2．若α＝5rad，则角α的终边所在的象限为(D)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴α＝5rad为第四象限角，其终边位于第四象限．3．将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(D)A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2πrad＝360°，315°＝eq\f(7,4)πrad.故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是eq\f(7,4)π－10π.4．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km，把南极旁边的地球表面看作平面，则地球每自转eq\f(π,3)rad，昆仑站运动的路程约为(C)A．2200km B．1650kmC．1100km D．550km[解析]因为昆仑站距离地球南极点约1050km，地球每自转eq\f(π,3)rad，所以由弧长公式得：l＝1050×eq\f(π,3)≈1100，故选C．5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)[解析]阴影部分的两条边界分别是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的终边，所以α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．6．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是(C)A．tan1 B．eq\f(1,sin1)C．eq\f(1,sin21) D．eq\f(1,cos1)[解析]如右图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交eq\o(AB,\s\up8(︵))于D，则∠AOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝1，AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1).∴扇形的面积S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,sin21)＝eq\f(1,sin21).二、填空题7．315°＝eq\f(7,4)π弧度，eq\f(7,12)π弧度＝105度．8．将－1360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－8π＋eq\f(4π,9)．[解析]∵－1360°＝－4×360°＋80°，而80°＝eq\f(4π,9)，∴应填－8π＋eq\f(4π,9).9.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，则劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为eq\f(4π,3)．[解析]连接AO，OB，因为∠ACB＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为eq\f(π,3)×4＝eq\f(4π,3).三、解答题10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．[解析](1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))eq\f(3π,4)＋2kπ<α<eq\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z}．(2)将终边为OA的一个角eq\f(11π,6)改写为－eq\f(π,6)，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))－eq\f(π,6)＋2kπ<α≤eq\f(5π,12)＋2kπ，k∈Z}．(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ≤α≤\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).(4)与第(3)小题的解法类似，将其次象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，所以满意条件的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|\f(2π,3)＋kπ<α<\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)).11．(1)把310°化成弧度；(2)把eq\f(5π,12)rad化成角度；(3)已知α＝15°、β＝eq\f(π,10)、γ＝1、θ＝105°、φ＝eq\f(7π,12)，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．[解析](1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12).明显eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12).故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化为角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.明显，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.B组·素养提升一、选择题1．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，则eq\f(α,2)的终边在(D)A．第一象限 B．第四象限C．x轴上 D．y轴上[解析]∵eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．当k为奇数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，eq\f(α,2)的终边在y轴的非负半轴上．综上，eq\f(α,2)终边在y轴上，故选D．2．(多选题)圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则(BC)A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的4倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍[解析]α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2l,2r)＝α，故圆心角不变，由面积公式S＝eq\f(1,2)lr知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC．3．(多选题)下列表述中正确的是(ABC)A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))C．终边在坐标轴上角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·\f(π,2)，k∈Z))D．终边在直线y＝x上角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))[解析]终边在直线y＝x上角的集合应是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))α＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．故选ABC．4．若角α与角x＋eq\f(π,4)有相同的终边，角β与角x－eq\f(π,4)有相同的终边，那么α与β间的关系为(D)A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z)D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]∵α＝x＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．二、填空题5．已知θ∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋（－1）k·\f(π,4)，k∈Z))，则θ的终边所在的象限是第一或其次象限．[解析]当k为偶数时，α＝2mπ＋eq\f(π,4)(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－eq\f(π,4)＝2mπ－eq\f(5π,4)(m∈Z)，∴θ的终边在第一或其次象限．6．如图所示，已知一长为eq\r(3)dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板拦住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是eq\f(（9＋2\r(3)）π,6)dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是eq\f(7π,4)dm2.[解析]eq\o(AA1,\s\up8(︵))所在的圆的半径是2，所对圆心角为eq\f(π,2)，eq\o(A1A2,\s\up8(︵))所在的圆的半径是1，所对圆心角为eq\f(π,2)，eq\o(A2A3,\s\up8(︵))所在的圆的半径是eq\r(3)，所对圆心角是eq\f(π,3).点A走过的路程是3段圆弧长之和，即：eq\f(2×π×2,4)＋eq\f(1×π×2,4)＋eq\f(2×\r(3)×π,6)＝eq\f(（9＋2\r(3)）π,6)(dm)；3段弧所对应的扇形总面积为：eq\f(π·22,4)＋eq\f(π·12,4)＋eq\f(π·（\r(3)）2,6)＝eq\f(7π,4)(dm2)．三、解答题7．已知一个扇形的周长为12cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．[解析]设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，依据题意，扇形的周长2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,3)＝2.8．在一块顶角为eq\f(2π,3)、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的肯定值；(2)比较两种方案中的扇形面积的大小．[解析](1)由题图①所示的方案，可得∠OAD＝eq\f(π,6)，R1＝2，所以扇形的周长为C1＝2R1＋eq\f(π,6)×R1＝2×2＋eq\f(π,3)＝4＋eq\f(π,3).由题图②所示的方案，可得∠MON＝eq\f(2π,3)，R2＝1，所以扇形的周长为C2＝2R2＋eq\f(2π,3)×R2＝2×1＋eq\f(2π,3)＝2＋eq\f(2π,3).所以两种方案中扇形的周长之差的肯定值为|C1－C2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(