2024秋高中数学第七章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列第2课时离散型随机变量的分布列及两点分布课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

PAGEPAGE1第7章7.2第2课时A级——基础过关练1．(多选)下列问题中的随机变量听从两点分布的是()A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，取出白球，,0，取出红球))D．某医生做一次手术，手术胜利的次数为随机变量X【答案】BCD【解析】A中随机变量X的取值有6个，不听从两点分布．2．(多选)已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3【答案】ABD【解析】易得a＝0.1，则P(X≥3)＝0.3，故C错误．3．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51【答案】C【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.4．下列表中能成为随机变量X的分布列的是()A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7－0.1C．X－101P0.30.40.3D．X123P0.30.40.5【答案】C【解析】选项A，D不满意分布列的概率和为1，选项B不满意分布列的概率为非负数．5．若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为()X－11P4a－13a2＋aA．eq\f(1,3) B．－2C．eq\f(1,3)或－2 D．eq\f(1,2)【答案】A【解析】由分布列的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a－1＋3a2＋a＝1，,0≤4a－1≤1，,0≤3a2＋a≤1，))解得a＝eq\f(1,3).6．随机变量Y的分布列如下：Y123456P0.2x0.350.10.10.2则x＝________，P(Y≤3)＝________.【答案】0.050.6【解析】由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.7．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2则P(ξ≤0)＝________.【答案】eq\r(2)－eq\f(1,2)【解析】由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，eq\f(1,2)＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－eq\f(\r(2),2)，q＝1＋eq\f(\r(2),2)(舍去)．P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)＋1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)－eq\f(1,2).8．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则P(X＞1)＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】依题意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，则4P(X＝2)＝1，即P(X＝2)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,8).∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,2).9．从含有2名女生的10名高校毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．解：ξ的全部可能取值为0,1,2，“ξ＝0”表示入选3人全是男生，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，“ξ＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，“ξ＝2”表示入选3人中有2名女生，则P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).因此ξ的分布列为ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)10.若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1求当P(x<a)＝0.8时，实数a的取值范围．解：由随机变量X的分布列知P(x<－1)＝0.1，P(x<0)＝0.3，P(x<1)＝0.5，P(x<2)＝0.8，则当P(x<a)＝0.8时，实数a取值范围是(1,2]．B级——实力提升练11．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m<n，则P(m≤X≤n)＝()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)【答案】C【解析】P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．12．随机变量X的分布列为X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3).∴P(|X|＝1)＝a＋c＝2b＝eq\f(2,3).13．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C．[－3,3] D．[0,1]【答案】B【解析】设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).14．有一个公用电话亭，视察运用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在运用电话或等待运用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n·P01≤n≤5，,0n≥6，))那么P(0)的值是()A．0 B．1C．eq\f(32,63) D．eq\f(1,2)【答案】C【解析】由题意得P(1)＝eq\f(1,2)P(0)，P(2)＝eq\f(1,4)P(0)，P(3)＝eq\f(1,8)P(0)，P(4)＝eq\f(1,16)P(0)，P(5)＝eq\f(1,32)P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,8)＋\f(1,16)＋\f(1,32)))P(0)＝eq\f(63,32)P(0)，所以P(0)＝eq\f(32,63).15．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak(k＝1,2，…，n)，则常数a＝________.【答案】eq\f(2,nn＋1)【解析】由分布列的性质可得，a(1＋2＋…＋n)＝1，所以a＝eq\f(2,nn＋1).16．若随机变量X的分布列如下表所示，X0123Peq\f(1,4)aeq\f(1,4)b则a2＋b2的最小值为________．【答案】eq\f(1,8)【解析】由分布列的性质，知a＋b＝eq\f(1,2)，而a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,8)(当且仅当a＝b＝eq\f(1,4)时等号成立)．17．同时掷两枚质地匀称的骰子，视察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．解：同时掷两枚质地匀称的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的状况，X的可能取值为1,2,3,4,5,6，记(a，b)为两枚骰子朝上一面出现的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为其次枚骰子掷出的点数，则可得出下表.X出现的点数状况数1(1,1)12(2,2)，(2,1)，(1,2)33(3,3)，(3,2)，(3,1)，(2,3)，(1,3)54(4,4)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,4)，(2,4)，(1,4)75(5,5)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(4,5)，(3,5)，(2,5)，(1,5)96(6,6)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)，(5,6)，(4,6)，(3,6)，(2,6)，(1,6)11由古典概型可知X的分布列为X123456Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(5,36)eq\f(7,36)eq\f(1,4)eq\f(11,36)C级——探究创新练18．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事务A，试列举A包含的基本领件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．解：(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本领件为(－2,2)，(2，－2