中考数学一轮复习考点+题型讲练测第18讲 等腰三角形（练习）（原卷版）

第18讲等腰三角形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01等腰三角形的定义题型02根据等边对等角求角度题型03利用等边对等角证明题型04根据三线合一求解题型05根据三线合一证明题型06格点图中画等腰三角形题型07根据等角对等边证明等腰三角形题型08根据等角对等边证明边相等题型09根据等角对等边求边长题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点题型11等腰三角形性质与判定综合题型12等腰三角形有关的折叠问题题型13等腰三角形有关的规律探究问题题型14等腰三角形有关的新定义问题题型15等腰三角形有关的动点问题题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系题型17利用等边三角形的性质求线段长题型18手拉手模型题型19等边三角形的判定题型20等边三角形与折叠问题题型21等边三角形有关的规律探究问题题型22利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题题型23利用垂直平分线的性质求解题型24线段垂直平分线的判定题型01等腰三角形的定义1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y满足SKIPIF1<0，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于SKIPIF1<0，则它的顶角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足SKIPIF1<0，那么这个等腰三角形的周长为．题型02根据等边对等角求角度1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形SKIPIF1<0的两条对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的度数为．2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线与SKIPIF1<0边所夹的锐角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为．

题型03利用等边对等角证明1．（2023·广东深圳·统考三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．2．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于D，E是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0的延长线于F，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3．（2023·广东广州·统考一模）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的弦，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点P，过点B的直线交SKIPIF1<0的延长线于点C，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．4．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均落在格点上，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）线段SKIPIF1<0的长等于．（2）以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径作圆，在SKIPIF1<0上找一点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0，并简要说明点SKIPIF1<0的位置是如何找到的（不要求证明）．题型04根据三线合一求解1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为直径作半圆O，交SKIPIF1<0于点D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是度．

3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0是等边三角形，点E是SKIPIF1<0的中点，过点E作SKIPIF1<0于点F，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的反向延长线于点D，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．题型05根据三线合一证明1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0的延长线交边SKIPIF1<0于点D．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的半径．2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0．

(1)尺规作图：请利用直尺和圆规作出SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0（保留作图痕迹，不写作法）．(2)连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判断四边形SKIPIF1<0的形状并说明理由．3．（2023·广东江门·统考一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．题型06格点图中画等腰三角形1．（2021·广东广州·执信中学校考三模）如图，在SKIPIF1<0的正方形网格中有两个格点A、B，连接SKIPIF1<0，在网格中再找一个格点C，使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）

A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·贵州贵阳·校考一模）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（

）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个题型07根据等角对等边证明等腰三角形1．（2018·河北·模拟预测）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）在▱ABCD中，对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．3．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，矩形SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0（如图1），交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，再将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0（如图2），延长SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0为等腰三角形；(2)当SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为正方形时，求SKIPIF1<0的值；(3)当四边形SKIPIF1<0为菱形时，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．4．（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E是SKIPIF1<0边上一点，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至点F，使CSKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点H．’(1)求证：SKIPIF1<0是等腰三角形；(2)若点E为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．题型08根据等角对等边证明边相等1．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．2．（2021·湖北咸宁·统考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于SKIPIF1<0的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D．则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是．3．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线分别交AD于点E，F．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则BE的长为．（用含a，b的代数式表示）．4．（2022·山东德州·统考二模）我们把宽与长的比为黄金比（SKIPIF1<0）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCD中，SKIPIF1<0，BC＝4，SKIPIF1<0的平分线交AD边于点E，则AE的长为．5．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积是50，则SKIPIF1<0．题型09根据等角对等边求边长1．（2020·河北·模拟预测）把两个同样大小含SKIPIF1<0角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点SKIPIF1<0，且另外三个锐角顶点SKIPIF1<0在同一直线上．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．2．（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，以点B为圆心，SKIPIF1<0的长为半径作弧交SKIPIF1<0于E，分别以点C，E为圆心，大于SKIPIF1<0的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点F，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3．（2023·浙江杭州·校考二模）已知如图，在矩形SKIPIF1<0中，点E是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点H，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点G，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．

4．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在矩形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为．5．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0绕点M旋转，使点C与点B重合得到SKIPIF1<0，设边SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点N．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．（2020·福建厦门·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（3，2），点P（m，0）（m＜6），若△POA是等腰三角形，则m可取的值最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2018·湖北武汉·统考一模）已知矩形ABCD,AD＞AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为.3．（2018·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．题型11等腰三角形性质与判定综合1．（2022·福建·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若SKIPIF1<0，求∠ADB的度数．2．（2023·广西·模拟预测）已知SKIPIF1<0是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，SKIPIF1<0的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．3．（2023·广西·模拟预测）如图，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)判断SKIPIF1<0的形状，并证明你的结论；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．4．（2022·北京西城·统考一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．5．（2023·广西·模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一点，以SKIPIF1<0为直角边作等腰SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长．题型12等腰三角形有关的折叠问题1．（2023·安徽芜湖·统考二模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一动点，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠得SKIPIF1<0．（1）如图（1），若SKIPIF1<0为边长为4的等边三角形，当点D恰好落在线段SKIPIF1<0上时，则SKIPIF1<0＝；（2）如图（2），若SKIPIF1<0为直角三角形．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．分别连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝．2．（2023·安徽蚌埠·一模）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，沿SKIPIF1<0折叠得SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的平分线上，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足，则SKIPIF1<0的度数是SKIPIF1<0．3．（2023·吉林长春·一模）实践与探究

(1)操作一：如图①，已知三角形纸片SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为SKIPIF1<0，点B的对应点为点E，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点F，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______度；(2)操作二：如图②，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0继续折叠，点E的对应点为点G．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点M，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点N，则图②中度数为SKIPIF1<0的角共有______个．(3)根据以上操作所得结论，解答下列问题：①求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为______．4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0折叠，使点A与点D重合，折痕为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．求证：四边形SKIPIF1<0是菱形．题型13等腰三角形有关的规律探究问题1．（2021·四川乐山·统考一模）如图，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，以斜边SKIPIF1<0为直角边作等腰直角三角形SKIPIF1<0，再以SKIPIF1<0为直角边作等腰直角三角形SKIPIF1<0，…，按此规律作下去，则SKIPIF1<0的长度为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·河南三门峡·统考二模）如图，在单位为1的方格纸上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，是斜边在SKIPIF1<0轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若SKIPIF1<0的顶点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则依图中所示规律，SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，有一个等腰直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直角边SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到等腰直角三角形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,再将SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到等腰直角三角形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0……，依此规律，得到等腰直角三角形SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为．4．（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，得到第1个等腰直角三角形SKIPIF1<0；分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，得到第2个等腰直角三角形SKIPIF1<0……以此规律作下去，得到等腰直角三角形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为．5．（2021·山东聊城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，…都是等腰直角三角形，其直角顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…均在直线SKIPIF1<0上．设SKIPIF1<0．．的面积分别为SKIPIF1<0，…，依据图形所反映的规律，SKIPIF1<0．题型14等腰三角形有关的新定义问题1．（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．

(1)如图1，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①试判断四边形SKIPIF1<0是否是双等腰四边形，并说明理由；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数；(2)如图2，点SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0内一点，点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上一点，四边形SKIPIF1<0是双等腰四边形，且SKIPIF1<0．延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．2．（2023·贵州铜仁·校考一模）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，已知SKIPIF1<0上一点E满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；【尝试应用】（2）如图2，等边SKIPIF1<0边长为SKIPIF1<0，E为高线SKIPIF1<0上的点，将SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，请你在此基础上继续探究出等边SKIPIF1<0的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形SKIPIF1<0中，过SKIPIF1<0的中点E作SKIPIF1<0垂线交SKIPIF1<0的延长线于点F，连接SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0“最近值”的平方．题型15等腰三角形有关的动点问题1．（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正半轴上一动点，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为一边向下作等边三角形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图1，点P是等腰直角SKIPIF1<0的斜边SKIPIF1<0上一动点（不与点A，C重合），点D在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则腰SKIPIF1<0的长为（

）

A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<03．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处，联结SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的长是．

4．（2022·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的长是一元二次方程SKIPIF1<0的两个实数根．动点SKIPIF1<0以每秒1个单位长度的速度从点SKIPIF1<0出发沿着折线SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0．(1)求直线SKIPIF1<0的解析式；(2)连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0秒，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式，并写出自变量SKIPIF1<0的取值范围；(3)在直线SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为等腰三角形？若存在，直接写出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，说明理由．题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，分别以SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边为斜边向外作等腰直角三角形SKIPIF1<0和等腰直角三角形SKIPIF1<0，点G是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的正切值；(3)如图3，以SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边为斜边向外作等腰直角三角形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，试探究线段SKIPIF1<0的关系，并加以证明．2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，四边形SKIPIF1<0是矩形，点E在边SKIPIF1<0的延长线上，点F在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G．

(1)求证：SKIPIF1<0是直角三角形；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)探究三条线段SKIPIF1<0之间的等量关系，并说明理由．3．（2023·湖北十堰·统考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点（不与点SKIPIF1<0重合），将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0．

(1)如图1，连接SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是_________，位置关系是________；(2)如图2，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，连接SKIPIF1<0，写出此时线段SKIPIF1<0之间的等量关系，并加以证明；(3)如图3，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的长．4．（2023·山东东营·统考一模）（1）问题：如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0边上一点（不与点B，C重合），将线段SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0和线段SKIPIF1<0的数量关系是______，位置关系是______；（2）探索：如图②，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点A旋转，使点D落在SKIPIF1<0边上，试探索线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间满足的等量关系，并证明结论；（3）应用：如图3，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．题型17利用等边三角形的性质求线段长1．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为．2．（2021·江西·统考二模）如图，在等边三角形SKIPIF1<0中，D是SKIPIF1<0的中点，P是边SKIPIF1<0上的一个动点，过点P作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E，连接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0是等腰三角形，则SKIPIF1<0的长是．3．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形SKIPIF1<0中，P，Q两点分别在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0的中点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．题型18手拉手模型1．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D在线段SKIPIF1<0上运动（不与A、B重合），将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别沿直线SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，给出下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0；③当点D在SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0是等边三角形；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0；其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．（2021·山东济南·统考二模）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ，给出下列结论：①CD＝CP＝CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为SKIPIF1<0；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形；⑤当PQ⊥BQ时，AD的长为SKIPIF1<0．其中所有正确结论的序号是．题型19等边三角形的判定1．（2023·上海杨浦·二模）已知：在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，点A恰好落在腰SKIPIF1<0上的点E处．(1)如图，当点E是腰SKIPIF1<0的中点时，求证：SKIPIF1<0是等边三角形；(2)延长SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0的延长线于点F，连接SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，求证：四边形SKIPIF1<0是矩形．2．（2019·山东·校考一模）如图，已知等边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，BF，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）试说明SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系和数量关系．3．（2022·安徽马鞍山·校考一模）如图1，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，且A，C，E在同一条直线上，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)如图3，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的形状．题型20等边三角形与折叠问题1．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一个动点（与点A、B不重合），直线SKIPIF1<0是经过点SKIPIF1<0的一条直线，把SKIPIF1<0沿直线l折叠，点B的对应点是点SKIPIF1<0．

(1)基础图形：如图1，当SKIPIF1<0时，若点SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0边上，求SKIPIF1<0的长度；(2)模型变式：如图2，当SKIPIF1<0时，若直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长度为______；(3)动态探究：如图3，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上运动过程中，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0如果直线SKIPIF1<0始终垂直于SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值是否变化？若变化，求出SKIPIF1<0的变化范围；若不变化，求出SKIPIF1<0的值；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，请直接写出在直线SKIPIF1<0的变化过程中，SKIPIF1<0的最大值．2．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图1，等边三角形纸片SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D在边SKIPIF1<0上（不与点B、C重合），SKIPIF1<0，点E在边SKIPIF1<0上，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠得到SKIPIF1<0（其中点SKIPIF1<0是点C的对应点）．

(1)当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，依题意补全图2，并指出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系；(2)如图3，当点SKIPIF1<0落到SKIPIF1<0的平分线上时，判断四边形SKIPIF1<0的形状并说明理由；(3)当点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最小时，求SKIPIF1<0的长；(4)当A，SKIPIF1<0，D三点共线时，直接写出SKIPIF1<0的余弦值．题型21等边三角形有关的规律探究问题1．（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“SKIPIF1<0……”的路线运动．设第n秒运动到点SKIPIF1<0（n为正整数），则点SKIPIF1<0的坐标是．2．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作MA1⊥AC于点A1，过点A1，作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…按着这个规律进行下去，点A2021的坐标是．3．（2021·广东汕头·统考一模）如图，边长为4的等边SKIPIF1<0ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边SKIPIF1<0OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边SKIPIF1<0O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边SKIPIF1<0On﹣1BAn，则A2021的横坐标．题型22利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题1．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延长线分别交SKIPIF1<0于点E，F，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点H，给出下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．其中正确结论的个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·山东泰安·统考二模）如图，正SKIPIF1<0的边长为2，沿SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0翻折得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O，点M为SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点N，连接SKIPIF1<0．以下四个结论：①SKIPIF1<0是等边三角形：②SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0最小时SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．正确的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．（2022·福建厦门·校考二模）如图，四边形SKIPIF1<0是矩形纸片，SKIPIF1<0，对折矩形纸片SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，折痕为SKIPIF1<0，展平后再过点SKIPIF1<0折叠矩形纸片，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0，折痕SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0；再次展平，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．有如下结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是等边三角形；④SKIPIF1