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文档简介
第18讲等腰三角形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01等腰三角形的定义题型02根据等边对等角求角度题型03利用等边对等角证明题型04根据三线合一求解题型05根据三线合一证明题型06格点图中画等腰三角形题型07根据等角对等边证明等腰三角形题型08根据等角对等边证明边相等题型09根据等角对等边求边长题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点题型11等腰三角形性质与判定综合题型12等腰三角形有关的折叠问题题型13等腰三角形有关的规律探究问题题型14等腰三角形有关的新定义问题题型15等腰三角形有关的动点问题题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系题型17利用等边三角形的性质求线段长题型18手拉手模型题型19等边三角形的判定题型20等边三角形与折叠问题题型21等边三角形有关的规律探究问题题型22利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题题型23利用垂直平分线的性质求解题型24线段垂直平分线的判定题型01等腰三角形的定义1.(2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模)已知x,y满足SKIPIF1<0,则以,的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对2.(2019·陕西西安·校联考一模)已知等腰三角形的一个外角等于SKIPIF1<0,则它的顶角是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<03.(2023·四川广安·统考二模)已知等腰三角形的两边长满足SKIPIF1<0,那么这个等腰三角形的周长为.题型02根据等边对等角求角度1.(2023·广东东莞·三模)如图,正方形SKIPIF1<0的两条对角线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的度数为.2.(2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模)SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的平分线与SKIPIF1<0边所夹的锐角为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.3.(2022·广东佛山·校联考模拟预测)如图,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的度数为.
题型03利用等边对等角证明1.(2023·广东深圳·统考三模)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部,若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.2.(2023·辽宁大连·统考一模)如图,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于D,E是SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0的延长线于F,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.3.(2023·广东广州·统考一模)如图,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的弦,SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点P,过点B的直线交SKIPIF1<0的延长线于点C,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的长为.4.(2023·天津西青·统考一模)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0均落在格点上,连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)线段SKIPIF1<0的长等于.(2)以SKIPIF1<0为圆心,SKIPIF1<0为半径作圆,在SKIPIF1<0上找一点SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0.请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点SKIPIF1<0,作出SKIPIF1<0,并简要说明点SKIPIF1<0的位置是如何找到的(不要求证明).题型04根据三线合一求解1.(2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测)如图,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的长为.2.(2023·湖南永州·统考二模)如图,已知在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0为直径作半圆O,交SKIPIF1<0于点D.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的度数是度.
3.(2023·黑龙江哈尔滨·统考三模)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值为.4.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图,SKIPIF1<0是等边三角形,点E是SKIPIF1<0的中点,过点E作SKIPIF1<0于点F,延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的反向延长线于点D,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的长为.题型05根据三线合一证明1.(2023·湖北武汉·校考模拟预测)如图,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆,SKIPIF1<0的延长线交边SKIPIF1<0于点D.
(1)求证:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的半径.2.(2023·湖北襄阳·统考模拟预测)如图,已知在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,点D是SKIPIF1<0外一点,SKIPIF1<0.
(1)尺规作图:请利用直尺和圆规作出SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0(保留作图痕迹,不写作法).(2)连接SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,判断四边形SKIPIF1<0的形状并说明理由.3.(2023·广东江门·统考一模)如图,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的长.题型06格点图中画等腰三角形1.(2021·广东广州·执信中学校考三模)如图,在SKIPIF1<0的正方形网格中有两个格点A、B,连接SKIPIF1<0,在网格中再找一个格点C,使得SKIPIF1<0是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是(
)
A.2 B.3 C.4 D.52.(2022·贵州贵阳·校考一模)如图,A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点,其余的格点中任意放置点C(不包含点A、点B所在的格点),恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是()A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.(2018·河北石家庄·统考一模)如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为(
)
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个题型07根据等角对等边证明等腰三角形1.(2018·河北·模拟预测)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.2.(2021·陕西西安·校考模拟预测)在▱ABCD中,对角线SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的长.3.(2022·江苏泰州·统考二模)如图,矩形SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0(如图1),交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,再将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0(如图2),延长SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0为等腰三角形;(2)当SKIPIF1<0,四边形SKIPIF1<0为正方形时,求SKIPIF1<0的值;(3)当四边形SKIPIF1<0为菱形时,求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系.4.(2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模)如图,在矩形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,点E是SKIPIF1<0边上一点,SKIPIF1<0,延长SKIPIF1<0至点F,使CSKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G,连接SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于点H.’(1)求证:SKIPIF1<0是等腰三角形;(2)若点E为SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值.题型08根据等角对等边证明边相等1.(2023·广东东莞·模拟预测)如图,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线,且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F.若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.2.(2021·湖北咸宁·统考模拟预测)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于点E,F;再分别以点E,F为圈心,大于SKIPIF1<0的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D.则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是.3.(2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模)如图,在平行四边形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的平分线分别交AD于点E,F.若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则BE的长为.(用含a,b的代数式表示).4.(2022·山东德州·统考二模)我们把宽与长的比为黄金比(SKIPIF1<0)的矩形称为黄金矩形,如图,在黄金矩形ABCD中,SKIPIF1<0,BC=4,SKIPIF1<0的平分线交AD边于点E,则AE的长为.5.(2023·浙江宁波·校考一模)如图,直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,与双曲线SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0的面积是50,则SKIPIF1<0.题型09根据等角对等边求边长1.(2020·河北·模拟预测)把两个同样大小含SKIPIF1<0角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点SKIPIF1<0,且另外三个锐角顶点SKIPIF1<0在同一直线上.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.2.(2023·四川成都·统考一模)如图,四边形SKIPIF1<0是平行四边形,以点B为圆心,SKIPIF1<0的长为半径作弧交SKIPIF1<0于E,分别以点C,E为圆心,大于SKIPIF1<0的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点F,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.3.(2023·浙江杭州·校考二模)已知如图,在矩形SKIPIF1<0中,点E是SKIPIF1<0的中点,连接SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点H,延长SKIPIF1<0,SKIPIF1<0相交于点G,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.
4.(2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模)如图,在矩形SKIPIF1<0中,点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一点,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折,得到SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则线段SKIPIF1<0的长度为.5.(2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,M为SKIPIF1<0的中点,将SKIPIF1<0绕点M旋转,使点C与点B重合得到SKIPIF1<0,设边SKIPIF1<0交边SKIPIF1<0于点N.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.题型10求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1.(2020·福建厦门·校考模拟预测)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A(3,2),点P(m,0)(m<6),若△POA是等腰三角形,则m可取的值最多有(
)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.(2018·湖北武汉·统考一模)已知矩形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为.3.(2018·内蒙古赤峰·校联考一模)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点P是直线AD上一动点,若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个,则AB的长为.题型11等腰三角形性质与判定综合1.(2022·福建·统考模拟预测)已知SKIPIF1<0,AB=AC,AB>BC.(1)如图1,CB平分∠ACD,求证:四边形ABDC是菱形;(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系,并证明;(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若SKIPIF1<0,求∠ADB的度数.2.(2023·广西·模拟预测)已知SKIPIF1<0是等边三角形,点B,D关于直线AC对称,连接AD,CD.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)在线段AC上任取一点Р(端点除外),连接PD.将线段PD绕点Р逆时针旋转,使点D落在BA延长线上的点Q处.请探究:当点Р在线段AC上的位置发生变化时,SKIPIF1<0的大小是否发生变化?说明理由.(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证明.3.(2023·广西·模拟预测)如图,以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0.(1)判断SKIPIF1<0的形状,并证明你的结论;(2)若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的长.4.(2022·北京西城·统考一模)已知正方形ABCD,将线段BA绕点B旋转SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),得到线段BE,连接EA,EC.(1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部时,若BE平分∠ABC,AB=4,则∠AEC=______°,四边形ABCE的面积为______;(2)当点E在正方形ABCD的外部时,①在图2中依题意补全图形,并求∠AEC的度数;②作∠EBC的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF.用等式表示线段AE,FB,FC之间的数量关系,并证明.5.(2023·广西·模拟预测)如图,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一点,以SKIPIF1<0为直角边作等腰SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0时,求SKIPIF1<0的长.题型12等腰三角形有关的折叠问题1.(2023·安徽芜湖·统考二模)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一动点,连接SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠得SKIPIF1<0.(1)如图(1),若SKIPIF1<0为边长为4的等边三角形,当点D恰好落在线段SKIPIF1<0上时,则SKIPIF1<0=;(2)如图(2),若SKIPIF1<0为直角三角形.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.分别连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=.2.(2023·安徽蚌埠·一模)如图,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点,沿SKIPIF1<0折叠得SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的平分线上,SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为垂足,则SKIPIF1<0的度数是SKIPIF1<0.3.(2023·吉林长春·一模)实践与探究
(1)操作一:如图①,已知三角形纸片SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,将三角形纸片沿过点A的直线折叠,折痕为SKIPIF1<0,点B的对应点为点E,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点F,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0______度;(2)操作二:如图②,将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0继续折叠,点E的对应点为点G.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点M,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点N,则图②中度数为SKIPIF1<0的角共有______个.(3)根据以上操作所得结论,解答下列问题:①求证:SKIPIF1<0;②若SKIPIF1<0,则线段SKIPIF1<0的长为______.4.(2023·湖北恩施·统考一模)如图,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,点D是SKIPIF1<0的中点,将SKIPIF1<0折叠,使点A与点D重合,折痕为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0.求证:四边形SKIPIF1<0是菱形.题型13等腰三角形有关的规律探究问题1.(2021·四川乐山·统考一模)如图,SKIPIF1<0为等腰直角三角形,SKIPIF1<0,以斜边SKIPIF1<0为直角边作等腰直角三角形SKIPIF1<0,再以SKIPIF1<0为直角边作等腰直角三角形SKIPIF1<0,…,按此规律作下去,则SKIPIF1<0的长度为()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.(2021·河南三门峡·统考二模)如图,在单位为1的方格纸上,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…,是斜边在SKIPIF1<0轴上,斜边长分别为2,4,6,…,的等腰直角三角形,若SKIPIF1<0的顶点坐标分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则依图中所示规律,SKIPIF1<0的坐标为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.(2023·山东菏泽·统考三模)如图,在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,有一个等腰直角三角形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直角边SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上,且SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到等腰直角三角形SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,再将SKIPIF1<0绕原点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到等腰直角三角形SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0……,依此规律,得到等腰直角三角形SKIPIF1<0,则点SKIPIF1<0的坐标为.4.(2021·黑龙江·校联考三模)如图,在等腰直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,分别连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点,得到第1个等腰直角三角形SKIPIF1<0;分别连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点,得到第2个等腰直角三角形SKIPIF1<0……以此规律作下去,得到等腰直角三角形SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的长为.5.(2021·山东聊城·统考一模)如图,在平面直角坐标系中,SKIPIF1<0,…都是等腰直角三角形,其直角顶点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,…均在直线SKIPIF1<0上.设SKIPIF1<0..的面积分别为SKIPIF1<0,…,依据图形所反映的规律,SKIPIF1<0.题型14等腰三角形有关的新定义问题1.(2023·浙江湖州·统考二模)定义:如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形,且这条对角线是这两个等腰三角形的腰,那么我们称这个四边形为双等腰四边形.
(1)如图1,在四边形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,连结SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点,连结SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.①试判断四边形SKIPIF1<0是否是双等腰四边形,并说明理由;②若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的度数;(2)如图2,点SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0内一点,点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上一点,四边形SKIPIF1<0是双等腰四边形,且SKIPIF1<0.延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,连结SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的长.2.(2023·贵州铜仁·校考一模)定义:在一个等腰三角形底边的高线上所有点中,到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”,“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”.【基础巩固】(1)如图1,在等腰SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高,已知SKIPIF1<0上一点E满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0;【尝试应用】(2)如图2,等边SKIPIF1<0边长为SKIPIF1<0,E为高线SKIPIF1<0上的点,将SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,请你在此基础上继续探究出等边SKIPIF1<0的“最近值”;【拓展提高】(3)如图3,在菱形SKIPIF1<0中,过SKIPIF1<0的中点E作SKIPIF1<0垂线交SKIPIF1<0的延长线于点F,连接SKIPIF1<0,已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0“最近值”的平方.题型15等腰三角形有关的动点问题1.(2023·河北邢台·模拟预测)如图,在直角坐标系中,已知点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正半轴上一动点,连接SKIPIF1<0,以SKIPIF1<0为一边向下作等边三角形SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为(
)
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.(2023·河南安阳·统考模拟预测)如图1,点P是等腰直角SKIPIF1<0的斜边SKIPIF1<0上一动点(不与点A,C重合),点D在边SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为y,y与x的函数关系图象如图2所示,则腰SKIPIF1<0的长为(
)
A.1 B.SKIPIF1<0 C.2 D.SKIPIF1<03.(2023·上海虹口·统考一模)如图,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,点M在边SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上一动点,连接SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折,点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处,联结SKIPIF1<0,如果SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0的长是.
4.(2022·黑龙江大庆·统考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的长是一元二次方程SKIPIF1<0的两个实数根.动点SKIPIF1<0以每秒1个单位长度的速度从点SKIPIF1<0出发沿着折线SKIPIF1<0向终点SKIPIF1<0运动,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线,交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.(1)求直线SKIPIF1<0的解析式;(2)连接SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0秒,求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的函数关系式,并写出自变量SKIPIF1<0的取值范围;(3)在直线SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0为等腰三角形?若存在,直接写出点SKIPIF1<0的坐标;若不存在,说明理由.题型16探究等腰三角形中线段间存在的关系1.(2022·湖北武汉·校考模拟预测)如图1,分别以SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边为斜边向外作等腰直角三角形SKIPIF1<0和等腰直角三角形SKIPIF1<0,点G是SKIPIF1<0的中点,连接SKIPIF1<0.
(1)求证:SKIPIF1<0;(2)如图2,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的正切值;(3)如图3,以SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边为斜边向外作等腰直角三角形SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,试探究线段SKIPIF1<0的关系,并加以证明.2.(2023·江苏盐城·校考二模)如图,四边形SKIPIF1<0是矩形,点E在边SKIPIF1<0的延长线上,点F在边SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G.
(1)求证:SKIPIF1<0是直角三角形;(2)求SKIPIF1<0的值;(3)探究三条线段SKIPIF1<0之间的等量关系,并说明理由.3.(2023·湖北十堰·统考一模)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点(不与点SKIPIF1<0重合),将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0.
(1)如图1,连接SKIPIF1<0,则线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是_________,位置关系是________;(2)如图2,当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时,连接SKIPIF1<0,写出此时线段SKIPIF1<0之间的等量关系,并加以证明;(3)如图3,在四边形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,请直接写出SKIPIF1<0的长.4.(2023·山东东营·统考一模)(1)问题:如图①,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,D为SKIPIF1<0边上一点(不与点B,C重合),将线段SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,则线段SKIPIF1<0和线段SKIPIF1<0的数量关系是______,位置关系是______;(2)探索:如图②,在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0绕点A旋转,使点D落在SKIPIF1<0边上,试探索线段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0之间满足的等量关系,并证明结论;(3)应用:如图3,在四边形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的长.题型17利用等边三角形的性质求线段长1.(2022·广东梅州·统考二模)如图,在边长为6的等边△ABC中,D、E分别为边BC、AC上的点,AD与BE相交于点P,若BD=CE=2,则△ABP的周长为.2.(2021·江西·统考二模)如图,在等边三角形SKIPIF1<0中,D是SKIPIF1<0的中点,P是边SKIPIF1<0上的一个动点,过点P作SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于点E,连接SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是等腰三角形,则SKIPIF1<0的长是.3.(2023·江苏南通·统考一模)如图,等边三角形SKIPIF1<0中,P,Q两点分别在边SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,D是SKIPIF1<0的中点.若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值是.题型18手拉手模型1.(2022·辽宁丹东·校考一模)如图,等腰SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,点D在线段SKIPIF1<0上运动(不与A、B重合),将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别沿直线SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,给出下列结论:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0;③当点D在SKIPIF1<0的中点时,SKIPIF1<0是等边三角形;④当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0;其中所有正确结论的序号是(
)A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④2.(2021·山东济南·统考二模)如图,等腰△ABC中,CA=CB=4,∠ACB=120°,点D在线段AB上运动(不与A、B重合),将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CAQ,给出下列结论:①CD=CP=CQ;②∠PCQ的大小不变;③△PCQ面积的最小值为SKIPIF1<0;④当点D在AB的中点时,△PDQ是等边三角形;⑤当PQ⊥BQ时,AD的长为SKIPIF1<0.其中所有正确结论的序号是.题型19等边三角形的判定1.(2023·上海杨浦·二模)已知:在直角梯形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折,点A恰好落在腰SKIPIF1<0上的点E处.(1)如图,当点E是腰SKIPIF1<0的中点时,求证:SKIPIF1<0是等边三角形;(2)延长SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0的延长线于点F,连接SKIPIF1<0,如果SKIPIF1<0,求证:四边形SKIPIF1<0是矩形.2.(2019·山东·校考一模)如图,已知等边SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点,且SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,BF,SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0;(2)试说明SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系和数量关系.3.(2022·安徽马鞍山·校考一模)如图1,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形,且A,C,E在同一条直线上,分别连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0;(2)如图2,连接SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点,过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线交于SKIPIF1<0,求证:SKIPIF1<0;(3)如图3,设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,交SKIPIF1<0的延长线于SKIPIF1<0,试判断SKIPIF1<0的形状.题型20等边三角形与折叠问题1.(2023·山西晋城·模拟预测)如图,已知等边SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一个动点(与点A、B不重合),直线SKIPIF1<0是经过点SKIPIF1<0的一条直线,把SKIPIF1<0沿直线l折叠,点B的对应点是点SKIPIF1<0.
(1)基础图形:如图1,当SKIPIF1<0时,若点SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0边上,求SKIPIF1<0的长度;(2)模型变式:如图2,当SKIPIF1<0时,若直线SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的长度为______;(3)动态探究:如图3,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上运动过程中,点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0如果直线SKIPIF1<0始终垂直于SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0的值是否变化?若变化,求出SKIPIF1<0的变化范围;若不变化,求出SKIPIF1<0的值;SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,请直接写出在直线SKIPIF1<0的变化过程中,SKIPIF1<0的最大值.2.(2023·河北秦皇岛·统考三模)如图1,等边三角形纸片SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,点D在边SKIPIF1<0上(不与点B、C重合),SKIPIF1<0,点E在边SKIPIF1<0上,将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠得到SKIPIF1<0(其中点SKIPIF1<0是点C的对应点).
(1)当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时,依题意补全图2,并指出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系;(2)如图3,当点SKIPIF1<0落到SKIPIF1<0的平分线上时,判断四边形SKIPIF1<0的形状并说明理由;(3)当点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最小时,求SKIPIF1<0的长;(4)当A,SKIPIF1<0,D三点共线时,直接写出SKIPIF1<0的余弦值.题型21等边三角形有关的规律探究问题1.(2022·贵州遵义·校考三模)在平面直角坐标系中,若干个边长为1个单位长度的等边三角形,按下图中的规律摆放.点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“SKIPIF1<0……”的路线运动.设第n秒运动到点SKIPIF1<0(n为正整数),则点SKIPIF1<0的坐标是.2.(2022·辽宁抚顺·模拟预测)如图,等边三角形ABC的边长为1,顶点B与原点O重合,过点B作MA1⊥AC于点A1,过点A1,作A1B1∥OA,交OC于点B1;过点B1作B1A2⊥AC于点A2,过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2;…按着这个规律进行下去,点A2021的坐标是.3.(2021·广东汕头·统考一模)如图,边长为4的等边SKIPIF1<0ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边SKIPIF1<0OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边SKIPIF1<0O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边SKIPIF1<0On﹣1BAn,则A2021的横坐标.题型22利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题1.(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图,在正方形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是等边三角形,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延长线分别交SKIPIF1<0于点E,F,连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点H,给出下列结论:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.其中正确结论的个数是(
)
A.4 B.3 C.2 D.12.(2023·山东泰安·统考二模)如图,正SKIPIF1<0的边长为2,沿SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0翻折得SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点O,点M为SKIPIF1<0上一动点,连接SKIPIF1<0,射线SKIPIF1<0绕点A逆时针旋转SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点N,连接SKIPIF1<0.以下四个结论:①SKIPIF1<0是等边三角形:②SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0;③当SKIPIF1<0最小时SKIPIF1<0;④当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.正确的是(
)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④3.(2022·福建厦门·校考二模)如图,四边形SKIPIF1<0是矩形纸片,SKIPIF1<0,对折矩形纸片SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合,折痕为SKIPIF1<0,展平后再过点SKIPIF1<0折叠矩形纸片,使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0,折痕SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0;再次展平,连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0.有如下结论:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0是等边三角形;④SKIPIF1
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