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文档简介
重难点突破06相交线与平行线的5种模型(三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型)目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01三线八角模型题型02铅笔头模型题型03锯齿型模型题型04翘脚模型题型05三角板拼接模型题型01三线八角模型模型介绍:三条直线相交组成八个角,去讨论它们之间的关系.已知图示结论(性质)直线AB、CD被直线EF所截,且AB与CD不平行1)同位角有4组,如:∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8;2)内错角有2组,如:∠3与∠5、∠6与∠8;3)同旁内角有2组,如:∠3与∠6、∠4与∠5;4)对顶角有4组,如:∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.直线AB、CD被直线EF所截,且AB∥CD1)同位角相等:∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8;2)内错角相等:∠3=∠5、∠6=∠8;3)同旁内角互补:∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°;4)对顶角相等:∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【快速判断同位角、内错角与同旁内角】【针对训练】例1(2018·广东广州·中考真题)如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是()A.∠4,∠2 B.∠2,∠6 C.∠5,∠4 D.∠2,∠4变式1(2021·广西贺州·统考中考真题)如图,下列两个角是同旁内角的是(
)A.∠1与∠2 B.∠1与∠3 C.∠1与∠4 D.∠2与∠4变式2(2021·广西百色·统考中考真题)如图,与∠1是内错角的是(
)A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5例2(2022·陕西·统考中考真题)如图,AB∥CD,BC∥EF.若∠1=58°,则A.120° B.122° C.132° D.148°变式1(2022·浙江杭州·统考中考真题)如图,已知AB∥CD,点E在线段AD上(不与点A,点D重合),连接CE.若∠C=20°,∠AEC=50°,则∠A=(A.10° B.20° C.30° D.40°变式2(2022·四川德阳·统考中考真题)如图,直线m∥n,∠1=100°,∠2=30°,则∠3=(A.70° B.110° C.130° D.150°变式3(2022·辽宁·统考中考真题)如图,直线m∥n,AC⊥BC于点C,∠1=30°,则∠2的度数为()A.140° B.130° C.120° D.110°题型02铅笔头模型已知图示结论(性质)证明方法AB∥DE∠B+∠C+∠E=360°遇拐点做平行线(方法不唯一)AB∥DE∠B+∠M+∠N+∠E=540°a∥b∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×(n-1)=180°×(拐点数+1)【针对训练】例3如图,已知:AB∥CD,求证:变式1如图,如果AB∥CD,那么∠B+∠F+∠E+∠D=°.变式2问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求思路点拨:小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可分别求出∠APE、∠CPE的度数,从而可求出∠APC的度数;小丽的思路是:如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数;小芳的思路是:如图4,延长AP交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数.问题解决:请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算,你求得的∠APC的度数为°;问题迁移:(1)如图5,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、(2)在(1)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.变式3如图,已知AB∥CD.(1)如图1所示,∠1+∠2=;(2)如图2所示,∠1+∠2+∠3=;并写出求解过程.(3)如图3所示,∠1+∠2+∠3+∠4=;(4)如图4所示,试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n=.变式4(1)如图1,l1∥l2,求∠A1+∠A2+∠A3=______.(直接写出结果)(2)如图2,l1∥l2,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_____.(直接写出结果)(3)如图3,l1∥l2,求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_______.(直接写出结果)(4)如图4,l1∥l2,求∠A1+∠A2+…+∠An=_______.(直接写出结果)题型03锯齿型模型已知图示结论(性质)证明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐点做平行线(方法不唯一)AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【针对训练】例4(2020·湖南·中考真题)如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为()A.70° B.65° C.35° D.5°变式1(2023·北京西城·统考一模)下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.已知:如图,AB∥CD.求证:∠AEC=∠A+∠C方法一证明:如图,过点E作MN∥AB方法二证明:如图,延长AE,交CD于点F.变式2(2023·甘肃陇南·校考一模)如图,直线AB∥CD,∠EFG−∠AEF=30°,则∠FGD=.变式3问题情境:如图1,已知AB∥CD,∠APC=108°.求∠PAB+∠PCD的度数.
经过思考,小敏的思路是:如图2,过P作PE∥AB,根据平行线有关性质,可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°.问题迁移:如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.(1)当点P在A、B两点之间运动时,∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由.(2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系.(3)问题拓展:如图4,MA1∥NAn,变式4.如图1,四边形SKIPIF1<0为一张长方形纸片.(1)如图2,将长方形纸片剪两刀,剪出三个角(SKIPIF1<0),则SKIPIF1<0__________°.(2)如图3,将长方形纸片剪三刀,剪出四个角(SKIPIF1<0),则SKIPIF1<0__________°.(3)如图4,将长方形纸片剪四刀,剪出五个角(SKIPIF1<0),则SKIPIF1<0___________°.(4)根据前面探索出的规律,将本题按照上述剪法剪SKIPIF1<0刀,剪出SKIPIF1<0个角,那么这SKIPIF1<0个角的和是____________°.变式5(1)如图1,AM∥CN,求证:
①∠MAB+∠ABC+∠BCN=360°;②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN=540°;(2)如图2,若平行线AM与CN间有n个点,根据(1)中的结论写出你的猜想并证明.题型04翘脚模型已知图示结论(性质)证明方法AB∥DE∠1=∠2+∠3遇拐点做平行线(方法不唯一)AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°【针对训练】例5(2023·重庆大渡口·统考模拟预测)在数学课上老师提出了如下问题:如图,∠B=160°,当∠A与∠D满足什么关系时,BC∥DE?小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE,他解答这个问题的思路和步骤如下,请根据小明的思路完成下面的作图与填空:解:用直尺和圆规,在DA的右侧找一点M,使∠DAM=∠D(只保留作图痕迹).∵∠DAM=∠D,∴①_____________∵∠D−∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°,∵∠B=160°,∴∠B+∠BAM=③__________°,∴④_____________∴BC∥DE.所以满足的关系为:当∠D−∠A=20°时,BC∥DE.变式1(2023·云南·校考一模)如图,AB∥CD,∠A=30°,∠C=70°,则∠F=°.变式2(2021·全国·九年级专题练习)如图,如果AB∥EF,EF∥CD,则∠1,∠2,∠3的关系式.变式3①如图1,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0;②如图2,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0;③如图3,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0;④如图4,直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0EF,点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上,则SKIPIF1<0.以上结论正确的个数是(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个变式4.①如图1,ABSKIPIF1<0CD,则∠A+∠E+∠C=180°;②如图2,ABSKIPIF1<0CD,则∠E=∠A+∠C;③如图3,ABSKIPIF1<0CD,则∠A+∠E-∠1=180°;④如图4,ABSKIPIF1<0CD,则∠A=∠C+∠P.以上结论正确的个数是()A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④变式5.已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA、PD.(1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;(2)如图2,判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为.(3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+SKIPIF1<0∠PAB=∠APD,求∠AND的度数.题型05三角板拼接模型【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角,如:60°、75°、90°,依据平行线的性质,我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系,从而求出对应角度数..【针对训练】例6(2022·广东深圳·统考中考真题)将一副三角板如图所示放置,斜边平行,则∠1的度数为(
)
A.5° B.10° C.15° D.20°变式1(2022·江苏扬州·统考中考真题)将一副直角三角板如图放置,已知∠E=60°,∠C=45°,EF∥BC,则∠BND=变式2(2021·湖北宜昌·统考中考真题)如图,将一副三角尺按图中所示位置摆放,点F在AC上,其中∠ACB=90°,∠ABC=60°,∠EFD=90°,∠DEF=45°,AB//DE,则∠AFD的度数是(
)A.15° B.30° C.45° D.60°变式3(2021·贵州黔西·中考真题)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为()A.95° B.100° C.105° D.110°变式4(2022·山东淄博·
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