中考数学二轮复习 重难点06 相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接型）（原卷版）

重难点突破06相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01三线八角模型题型02铅笔头模型题型03锯齿型模型题型04翘脚模型题型05三角板拼接模型题型01三线八角模型模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系.已知图示结论（性质）直线AB、CD被直线EF所截，且AB与CD不平行1）同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8；2）内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8；3）同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5；4）对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【快速判断同位角、内错角与同旁内角】【针对训练】例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（）A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（

）A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1是内错角的是（

）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD,BC∥EF．若∠1=58°，则A．120° B．122° C．132° D．148°变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（A．10° B．20° C．30° D．40°变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=（A．70° B．110° C．130° D．150°变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．140° B．130° C．120° D．110°题型02铅笔头模型已知图示结论（性质）证明方法AB∥DE∠B+∠C+∠E=360°遇拐点做平行线（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠N+∠E=540°a∥b∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）【针对训练】例3如图，已知：AB∥CD，求证：变式1如图，如果AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．变式2问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．变式3如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）题型03锯齿型模型已知图示结论（性质）证明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐点做平行线（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【针对训练】例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（）A．70° B．65° C．35° D．5°变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，AB∥CD．求证：∠AEC=∠A+∠C方法一证明：如图，过点E作MN∥AB方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F．变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD=．变式3问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1∥NAn，变式4．如图1，四边形SKIPIF1<0为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪SKIPIF1<0刀，剪出SKIPIF1<0个角，那么这SKIPIF1<0个角的和是____________°．变式5（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．题型04翘脚模型已知图示结论（性质）证明方法AB∥DE∠1=∠2+∠3遇拐点做平行线（方法不唯一）AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°【针对训练】例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D−∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）．∵∠DAM=∠D，∴①_____________∵∠D−∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③__________°，∴④_____________∴BC∥DE．所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC∥DE．变式1（2023·云南·校考一模）如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=70°，则∠F=°．变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式．变式3①如图1，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②如图2，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③如图3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④如图4，直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0EF，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式4．①如图1，ABSKIPIF1<0CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABSKIPIF1<0CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABSKIPIF1<0CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABSKIPIF1<0CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④变式5．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+SKIPIF1<0∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．题型05三角板拼接模型【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数..【针对训练】例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（

）

A．5° B．10° C．15° D．20°变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND=变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（

）A．15° B．30° C．45° D．60°变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°变式4（2022·山东淄博·