2021-2022学年西藏林芝第二某中学高二（上）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年西藏林芝第二高级中学高二（上）期末数学试卷

（理科）

1.在等差数列｛〃｝中，若&2=1,公差d=2,则。6=（）

A.9B.11C.3D.6

2.下列函数中，最小值是2企的是（）

2cO2

A.y=x+-B.y=a+意Cyi+岛D.y=%3+^3

JX

3.“x<0”是“xER且xr0”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

4.以尸（0,1）为焦点的抛物线的标准方程是（）

A.x2=4yB.x2=2yC.y2-4xD.y2=2x

5.在△ABC中，a=30,b=25,A=150°,则△力BC的解的个数为（）

A.一个解B.两个解C.无解D.无法确定

6.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，

“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦.设经过〃次二分

形成即卦，则CI3+CZ4+=（）

A.120B.122C.124D.128

7.在AABC中，44=30。，a边的长度为1,则该三角形外接圆的半径为（）

A.1B.1C.2D.3

%4-y>-1

8.若变量x,y满足约束条件2x-yW1,则z=3久-y的最大值为（）

,y<1

A.—7B.—1C.1D.2

9.命题“Vx>2,/一3>o”的否定是（）

2

A.3x0>2,XQ—3<0B.Vx>2,%—3<0

2

C.Bx0>2,XQ—3<0D.Vx<2,x—3<0

10.已知抛物线C：y2=8x的焦点为尸，点尸是抛物线C上一动点，则线段FP的中点。的

轨迹方程是（）

A.x2=4（y-1）B.y2=4xC.y2=4（x—1）D.x2=4y

11.在AABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为小b,c,若百asinB=c-bcos4,则

角B=（）

B*C,瓢兀D,概兀

12.等比数列｛an｝中，的=1,a5=4a3,S”为｛5｝的前〃项和.若S-=63,则帆的值是()

A.6B.7C.8D.不存在

13.已知命题p：关于x的方程/一ax+a+3=0有实数根，命题q：m-l<a<m+l,p

是4的必要非充分条件，则实数机的取值范围是.

14.若x>0,则嘉的最大值是.

15.在AABC中，若a=l,b=V3,A+C=2B,则△ABC的面积是.

16.在等比数列｛0｝中，已知&2=2,。6=8,则。3。5+。8=.

17.设递增等差数列｛。"的前〃项和为S”，己知。3=1,。4是。3和。7的等比中项，

(/)求数列｛即｝的通项公式：

(〃)求数列｛aj的前n项和S".

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcosZ=2a.

(1)求学的值；

(2)若b=Q+1,c=b+2,求cosC的值.

19.设｛an｝是公比不为1的等比数列，的为生,劭的等差中项，%=一8.

(皆)求｛Qn｝的通项公式；

(团)设%=a2n-i-02n，求数列｛bn｝的前〃项和刈.

20.焦点在x轴上的椭圆的方程为31,点P(夜,1)在椭圆上.

(1)求，"的值.

(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

21.已知双曲线C：■-5=19>0/>0)与双曲线《一怖=1有相同的渐近线，且经过点

M(企,-&).(1)求双曲线C的方程；

(2)求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离

22.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M(-1,0).

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点M的直线/与抛物线C相切，求直线/的方程.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.

利用等差数列的通项公式直接求解.

【解答】

解：在等差数列｛即｝中，a2=1,公差d=2,

・••%=。2+4d=1+8=9.

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：选项A，当x<0时;y=x+l<0,最小值不可能是2vL即A错误；

选项8,因为正>0,所以+.22］近..=2&当且仅当a=奈即x=2时，等号

成立，即8正确；

选项C,因为/+4>4,所以y=M+=x2+4+4>4+^-4=1,当且仅当x=0

时，等号成立，即C错误；

选项。，当久<0时，y=x3+^<0,最小值不可能是2VL即。错误.

故选：B.

选项A,当％<。时，yV0,可排除；

选项&直接利用基本不等式，可判断；

选项C,配凑可得y=/+4+品一4,再结合对勾函数的单调性，得解；

选项。，当％<0时，y<0,可排除.

本题考查基本不等式的应用，理解基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考

查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：当x<0时，满足xeR且XW0,即充分性成立，

当x>0时，满足xeR且x*0,但x<0不成立，即必要性不成立,

则》<0”是“KeR且x40”的充分不必要条件，

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，

是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：因为抛物线的焦点坐标是(0,1),

所以抛物线开口向上，且p=2,

则抛物线的标准方程产=4y,

故选4

由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p的值，即可写出抛物线的标准方程.

本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：在AABC中，a=30,b=25,A=150°,则由正弦定理可得=鸟，

sinlSOsmB

解得sinB=亮.

由于8为锐角，故满足条件的角8有唯一个，故△ABC的解的个数为1,

故选：A.

由正弦定理求得sinB=卷，由题意可得B为锐角，故满足条件的角B有唯一个，故△ABC的解的

个数为1.

本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，以及大边对大角，判断三角形的解的个数

方法，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：依题意可得｛aj是首项为2,公比为2的等比数列，

则+CI4++&6=8+16+32+64=120.

故选：A.

依题意可得也工是首项为2,公比为2的等比数列，写出通项公式，然后求和.

本题主要考查了归纳推理和等比数列的通项公式，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：在AABC中，乙4=30。，“边的长度为1,

设三角形外接圆的半径为R,

由正弦定理可得，三=2R,

所以：=2R,解得R=1,

2

故选：A.

根据正弦定理可得可得，高=2R,代入数据可得结果.

本题主要考查正弦定理，属于基础题.

8.【答案】D

俨+yN—1

【解析】解：由题意作出约束条件2%的平面区域,

(y<1

将z=3%—y化为y=3%—z,—z相当于直线y=3%—z的

纵截距，则由=1解得，

x=1,y=1,4(1,1),

则z=3x-y的最大值为：3x1-1=2,

故选：D.

由题意作出其平面区域，将z=3x—y化为y=3x—z,—z相当于直线y=3%-z的纵截距，由几

何意义可得.

本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为>2,就一3W0,

故选：C.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

10.【答案】C

【解析】解：设Q(x,y),P(#1，%)，则y；=8%i，

又F(2,0),Q为P尸的中点，

(x=2+丫1_?_?

由中点坐标公式得4/,从而？一；：一，

卜=当(71=2y

代入比=8%i，得(2y)2=8(2%-2),

即y2—4(%—1).

故选：C.

利用中点的坐标公式，结合代入法进行求解即可.

本题考查了动点的轨迹方程，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，

属于基础题.

根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得吗=tanB=*,结合范围Be（0,兀）,

cosB3

即可得解8的值.

【解答】

解：根据正弦定理，可知a=2Rsin4,b=2/?sinfi,c=27?sinC,

代入原式可得V5sinAsinB=sinC—sinBcosA,

又•・•/+8+C=ns

・•・sinC=sin（i4+B）=sin4cosB+cosAsinB,

则V^sinAsinB=sin/cosB,

vsinAH0,

sinB4n冉

—~=tsrio=­f

cosB3

.,.由B6（0,7T）,得8=*

故选：A.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前〃项和公式，注意〃的取值范围，属于基础题.

根据题意，由等比数列的通项公式可得q=±2,结合等比数列的前〃项和公式，分2种情况讨论，

分析可得答案.

【解答】

解：根据题意，等比数列｛an｝中,%=1.,a5=4a3,

则q2="=4,则q=±2,

a3

当q=2时，若£„=63,则有=63,解可得jn=6；

当q=-2时，若0=63,则有坐着工=63,变形可得：（-2严=一188,无解；

（1

故TH=6;

故选：A.

13.【答案】(一8,-3]37,+8)

【解析】解：命题p：由题意可得4=a2—4(a+3)>0,解得a>6或a<—2,

因为0是夕的必要不充分条件，

则fm—l,m+1]S(-oo,-2]U[6,4-oo),

所以只需m-1>6或m+1<-2,解得?n>7或m<一3,

所以实数m的范围为(一8,-3]U[7,+8),

故答案为：(—oo,-3]U[7,4-oo).

先求出命题〃对应的根的范围,然后根据充分，必要条件的定义以及集合的包含关系建立不等式,

由此即可求解.

本题考查了充分，必要条件的定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.

14.【答案】：

【解析】解：因为x>0,所以瑞=々3_”=今当且仅当久=%即x=2时.，等号成立，

Xx+x21x4

所以系的最大值为去

故答案为：

变形可得嘉=套，再利用基本不等式，得解•

本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】y

【解析】解：因为4+C=2B且4+B+C=n,

所以B=以

由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosF,

即3=1+c?-2c•cos],

整理得C2—C—2=0,

解得c=2或c=-l（舍），

所以△ABC的面积S=/acsiriB=^xlx2x^=

故答案为：孚

由已知先求出8,然后结合余弦定理可求c,再由三角形面积公式可求.

本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.

16.【答案】32

【解析】解：设等比数列的公比为g,

q4=发=%则q2=2,

a2

所以a3a5+。8=Q2a6+a6Q2=2X8+8X2=32.

故答案为：32.

根据已知条件，结合等比数列的性质，求出q2=2,即可求解.

本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题.

17.【答案】解：（①）设等差数列｛册｝的首项为的,公差为d（d>0）,

由的=1得，%+2d=1①,由％是。3和。7的等比中项得，（"1+3d¥=（的4-2d）（%+6d）②,

整理②得，2%d+3d2=0,因为d>0,所以2%+3d=0③，

联立①③得：出=—3,d=2.

所以=%+（JT—l）d——3+2（H-1）=2H—5.

2

（回）数列｛斯｝的前n项和%=nar+"（"［）。=-3n+那丁）=n-4n.

【解析】（m）设等差数列｛an｝的首项为由,公差为d（d>0）,由。3=1，是和。7的等比中项列

方程组，然后求解等差数列的首项和公差，则通项公式可求；

（助直接代入等差数列的前〃项和公式即可.

本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比中项的概念，考查了等差数列的前〃项和，是基础

题.

18.【答案】解：（1）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bcos4=2a,

利用正弦定理:sinAcosB+sinFcosA=2sin4,

整理得：sin（4+B）=sinC=2sin4

所以：吟=2.

sin/l

（2）由于（1）得：c=2a,

且满足b=Q+1,c=b+2,

b=a+1a=3

整理得：c=2a,解得b=4

、c=Q+3c=6

利用余弦定理：8SC==一9

【解析】（1）直接利用三角函数的关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果;

（2）利用（1）的结论和余弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于基础题.

19.【答案】解：（团）设等比数列｛斯｝的公比为q（q*1），

因为为。6，的等差中项，

2

所以2as=。6+。7，BP2a5=a5q+asq,

又因为。5力0,所以2=q+q2,

即q2+q—2=0,

因为q*1,

所以q——2.

n4

所以即=a4q-=-8x（-2y-4=（一2）"一1.

（团）由（团）得6n=a2n_1-a2n=（一2产-2一（_2产-1=^-2+22n-i=3X4时】，

所以｛%｝是以3为首项，4为公比的等比数列，

所以〃==4n-1.

【解析】（团）设等比数列｛0｝的公比为q（q01），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,

解方程可得公比，进而得到所求；

（团）求得%,可得｛%｝是以3为首项，4为公比的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和.

本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能

力，属于基础题.

20.【答案】解：（1）把尸（注,1）代入椭圆的方程络+《=1,

解得m=2.

22

（2）由（1）知椭圆的方程为3+9=1.

所以a=2,b=V2,c=yja2—b2=A/4—2=V2,

所以椭圆的长轴长为2a=4,短轴长为2b=2e，焦距2c=2伍离心率e=£=挈

a2

【解析】（1）把P（鱼,1）代入椭圆的方程，解得小.

（2）由（1）知椭圆的方程为5+1,即可得出答案.

本题考查椭圆的性质，属于基础题.

21.【答案】解：（团”.•双曲线C与双曲线4一卷=1有相同的渐近线，

•••设双曲线C的方程为J一q=A。40）,

代入M(VI-2)，解得;I=：,

故双曲线C的方程为：x2-^=l.

(团)由方程得a=l,b=V2,c=V3,故离心率e=(=遮.

其渐近线方程为y=±^x=±V2x；

焦点尸(±g,0)到渐近线的距离为：