2021-2022学年高一数学考点讲练（人教A版2019必修一） 对数函数（解析版）

4.4对数函数

考点讲解

考点1：对数函数的概念及应用

函数y=logd3>0,且存1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+oo）.

【例1】（1）下列函数是对数函数的是（）

A.y=2+l0gMB.y=log，2a）（〃>0,且存1）

C.y=log«x2（a>o,且存1）D.y=\nx

【解析】D结合对数函数的形式y=logaX（〃>0且存1）可知D正确.

（2）若函数y=k）g（2a-i）x+32—5。+4）是对数函数，则。=.

【解析】因为函数y=logQ—i）x+m2—5〃+4）是对数函数，

"2。一1>0,

所以•:2〃一#1,

.2—54+4=0,

解得a=4.

（3）已知对数函数的图象过点（16,4）,则/.

【解析】设对数函数为/）=1。能（。>0且存1）,

由H16）=4可知log”16=4,fl=2,

•；/（X）=10g2X,

/l）1

/-=10g2]=_L

1

【方法技巧】

判断一个函数是对数函数的方法

〔

对

同时数

成立：函

数

〕

【针对训练】

1.下列给出的函数：①y=k>gsx+l；②yulogoX^”〉。，且时1）；③y=logM-g

@y-|logu；⑤y=logN§（x>0,且印）；⑥y=log2万.其中是对数函数的为（）

A.③④⑤B.②④⑥

C.①③⑤⑥D.③⑥

【解析】(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.

2.若函数,/(x)=(a2+a—5)k>g„x是对数函数，贝ija=

【解析】山/十。-5=1得a=—3或a=2.

又。>0且存1,所以4=2.

考点2：对数函数的定义域

【例2】求下列函数的定义域：

(1)/~(x)=(=;(2)J(x)—~r+ln(.x+1)；(3)./(x)=k>g(zrT)(—4x+8).

logjx+l42-x

【解析】⑴要使函数府)有意义，则bg|X+l>0,BPlog1x>-\,解得(Kr<2,即函数段)的定义

22

域为(0,2).

x+1>0>[x>—1

⑵函数式若有意义，需满足叱<2,解得一1<%<2,故函数的定义域为(一1,2).

“v2,

-4x+8>0,

解得<x>3，故函数y=log(2x-i)(—4x+8)的定义域为"xL<x<2,且xHl>

(3)由题意得<2x-l>0,

、2x—1*,Li.12J

【方法技巧】

求对数型函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负.

(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对

数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等

于I.

【针对训练】

3.求下列函数的定义域：

(1)段)=lg(x—2)+=;

(2)y(x)=logr+l(16—4x).

x—2>0,

【解析】(1)要使函数有意义，需满足

lx-3和,

解得x>2且*3,

所以函数定义域为(2,3)U(3,+oo).

|16-4x>0,

(2)要使函数有意义，需满足k+1>0，

Lr+1^1,

解得一14<0或0<x<4,

所以函数定义域为(一1,O)U(O,4).

考点3：对数的比较

【例3】比较下列各组值的大小：

34

(1)logs—和logs—;(2)log12和log12；(3)log23^Dlog54

'433W

【解析】⑴法一(单调性法)：对数函数)，=logsr在(0,+8)上是增函数，而言所以k)W<log5m.

34

法二(中间值法)：因为唾5不：0，log5§>0，

34

所以1。85不10851

(2)法一(单调性法)：由于log2=—log12=­Lp

I1吟1吟

又因对数函数y=log2X在(0,+8)上是增函数，

且|>/，所以O>10g2；>10g2(

所以」所以log[2<log]2.

Iog2^Iog2§35

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出)，=log12及y=log12的图象，由图易知:log|2<

3

log12.

5

(3)取中间值1,

因为Iog23>log22=1=log55>log54,

所以Iog23>log54.

【方法技巧】

比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型解题方法

底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母需对底数进行分类讨论

底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较

底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.

【针对训练】

4.比较下列各组值的大小：

(1)log20.5,log20.6；

33

(2)logi.51.6,logi,51.4；

(3)logo.57,logo.67；

(4)log37l,log20.8.

【解析】⑴因为函数)，=log?X是减函数，且0.5<0.6,所以Iog20.5>log2().6.

333

(2)因为函数y=log].5X是增函数,且1.6X.4,所以10gl.51.6>Iogi.51.4.

(3)因为0>log70.6>log70.5,

所以Iog70.6<log70.5'

即K)g0,67<lOg0.57.

考点4：对数函数的图象问题

a的范围0<。<1a>\

tX=1%=1

，产10gxa>l)

&。)*

图象a。)~~；

!y=l0go*(0<a<l)

定义域(0,+oo)

值域R

性定点(1,0),即x=1时，y=0

质单调性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数

【例4】(1)当”>1时，在同一坐标系中，函数y=a*与y=k>g“x的图象为()

(2)已知府)=10期仅|,满足五-5)=1,试画出函数式x)的图象.

思路点拨:⑴结合«>1时y=及y=log“x的图象求解.

(2)由负—5)=1求得必然后借助函数的奇偶性作图.

【答案】

（1）,.,“>1,，丫=。-*是减函数，y=logoX是增函数，故选C.]

(2)［解］,：fi.x)=loga\x\,.\A-5)=log〃5=l,即。=5,

.\/(X)=lOg5仅

.\/(x)是偶函数，其图象如图所示.

变式训练

1.把本例⑴的条件"a>l"去掉，函数"y=logax"改为"y=log"（一X）”,则函数>>=/*与y=log“（一X）的图

象可能是（）

【答案】C

【解析】..,在y=log“（一x）中，一x>0,，xVO,

,图象只能在y轴的左侧，故排除A,D；

当时,y=loga（—X）是减函数,

产院，=（十）是减函数，故排除B；

当0<〃<1时，y=k）g“（一x）是增函数，

产"是增函数，•"满足条件，故选C.

2.把本例⑵改为段）=|k）g2（x+1）|+2,试作出其图象.

【解析】第一步：作y=logK的图象，如图（1）所示.

第二步：将y=log>的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y=log2（x+l）的图象，如图（2）所示.

第三步：将y=bg2（x+l）的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y=|log2（x+l）|的图象，

如图（3）所示.

第四步：将y=|log2（x+l）|的图象沿），轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图（4）所示.

y

y=llog2(*+i)l;1

/ydlog(%+1)1+2

12

1X-1：；0

1?H

(3)(4)

【方法技巧】

函数图象的变换规律

(1)一般地，函数y=/(d〃)+伙。，匕为实数)的图象是由函数y=/(x)的图象沿x轴向左或向右平移⑷

个单位长度，再沿y轴向上或向下平移以个单位长度得到的.

(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，而的图象是关于直线x

=a对称的轴对称图形；函数y=|/(x)|的图象与y=/(x)的图象在/(x)K)的部分相同，在«r)<0的部分关于x

轴对称.

考点5：解对数不等式

【例5】已知不等式log.Q<2+l)<lo或3x)<0成立，则实数x的取值范围是

[0<%<1,

【解析】原不等式①

[2x2+1>3X>1

fx>l

②

[2x2+]<3x<\

解不等式组①得

不等式组②无解，

所以实数x的取值范围是Q，

【答案】&9

【方法技巧】

常见的对数不等式的三种类型

(1)形如logax>loguZ?的不等式，借助y—\ogtlx的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>l与0

<a<l两种情况讨论；

(2)形如log小>6的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y=logd的单调性求解;

(3)形如log〃x>log网的不等式，可利用图象求解.

［提醒J注意对数式的真数大于零，且不等于1.

【针对训练】

5.已知函数兀r)=loga(x—1),g(x)=log„(6—2x)(a>0,且在1).

(1)求函数9(x)=>(x)+g(x)的定义域；

(2)试确定不等式兀r)见⑴中x的取值范围.

X—1>0,

【解析】⑴由，c八解得1«3,.•.函数0(x)的定义域为{x［l<x<3}.

(2)不等式j(X)<g(X),即为loga(X—l)<loga(6—2x),

l<x<3,

①当。>1时，不等式等价于

x—1<6—

7

解得

l<x<3>

②当OVaVl时，不等式等价于

［x—1>6—2x,

解^^弃<3.

综上可得，当”>1时，不等式的解集为(1,I

当0<“<1时，不等式的解集为1，3).

考点6：对数函数性质的综合应用

【例6】(1)已知y=log，2—w)是［0,1］上的减函数，则a的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(0,2)D.［2,+oo)

(2)函数««)=10或(》2+2了+3)的值域是.

【解析】⑴B(2)(-oo,-1］

(l)..7(x)=k)g“(2—ax)在［0,1］上是减函数，且y=2—ar在［0,1］上是减函数，

1«>1,

[10g«2>loga(2—a),a>l,

即〈J：.l<a<2.

[a>\,[2—a>0,

(2求x)=log1(/+2x+3)=log1[(x+1/+2]，

因为(x+1)2+222,

所以log|Kx+1)2+2闫0/2=-1,所以函数小)的值域是(-8,—1].

变式训练;

1.求本例⑵的函数於)在［—3,1］上的值域.

【解析】VxG［-3,l］-

/•2<x2+2x+3<6,

，lo坛6Wo匹(/+2%+3月0登2,

即一log26g(%)0-L

・・JU)的值域为［—k)g26,-1］.

2.求本例(2)的单调区间.

【解析】Vx2+2x+3=(x+l)2+2>0,

又y=lo或在(0,+oo)为减函数，

且£=必+2彳+3在(-8,—1)上为减函数，在［-1,+8)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y=

10已(r+21+3)单调递增区间为(-8,-1),单调递减区间为［-1,+oo).

【方法技巧】

1.已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求

解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系.

2.求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解.

考点7：几类函数模型的增长差异

y=6?(tz>l)^=lo&X«>l)y=Ax(fc>0)

在(0,+8)上的增减性增函数增函数增函数

随尤增大逐渐近似与y轴随X增大逐渐近似与X轴

图象的变化趋势保持固定增长速度

平行平行

随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y=a(Q0)的增

增长速度长速度，y=logX«>1)的增长速度越来越慢；

②存在一个xo，当x>xo时，有a'‘>kr>logd

【例7】(1)下列函数中，增长速度最快的是()

A.y=202UB.y=2021

C.y=k)g202ixD.y=2021JC

(2)下面对函数y(x)=log|x,g(x)=(；、上

与〃(X)=—2x在区间(0,+8)上的递减情况说法正确的是()

7

A.7U)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,/7(X)递减速度越来越慢

B..*x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,"(X)递减速度越来越快

C.式X)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,/7(X)递减速度不变

D.7U)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,"X)递减速度越来越快

【解析】⑴A(2)C

(1)指数函数y=〃，在时呈爆炸式增长，并且随。值的增大，增长速度越快，应选A.

(2)观察函数段)=k)g；x,g(x)=Q)'与6(x)=-2x在区间(0,+s)上的图象(如图)可知：

函数_/(x)的图象在区间(0」)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+◎上，递减较慢，且越来

越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0,+8)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数/心)的图象递减速

度不变

【方法技巧】

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型)，=丘+/40)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=。'5>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急

剧，形象地称为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=log，Ma>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速

度平缓.

【针对训练】

7.四个变量“，y2,”，以随变量x变化的数据如表:

X151015202530

V226101226401626901

679

722321024377681.05X103.36x101.07X10

2102030405060

24.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于x呈指数函数变化的变量是

【解析】"以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y”/，A，以均是

从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量”的增长速度最快，画出它们的图象(图略),

可知变量”关于x呈指数型函数变化.故填y2.

◎知识小结

1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y=log«MG>()且HI)这种形式.

2.在对数函数y=log“x中，底数。对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的

图象和性质.

3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.

4.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且

范围不明确，一般要分31和两类分别求解.

5.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想

在解决问题中的应用.

6.直线上升、指数爆炸、对数增长

对于直线y=fcr+b(kK))、指数函数y="(a>l)、对数函数y=k>g融(6>1),当自变量变得很大时，指数

函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.

M考点演练

一、选择题

,■函数尸藤匕的定义域为(

)

A.(一oo,2)B.(2,+oo)

C.(2,3)U(3,+oo)D.(2,4)U(4,+oo)

[x—2>0>

【解析】C要使函数有意义，贝IJ解得x>2且*3,故选C.

Ilog2(x—2)#0.

2.如图，若Ci，C2分别为函数y=logox和y=logu的图象，则()

A.0<a<b<11t\

B.0<b<a<1

C.a>b>1J

O\*

D.b>a>1

【解析】B作直线y=l,则直线与Ci,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知

3.函数y=log2X的定义域是口,64),则值域是()

A.RB.[0,+oo)

C.[0,6)D.[0,64)

【解析】C由函数y=log2X的图象可知y=log>在(0,+8)上是增函数，因此，当xW[1,64)时,yG[0,6).

4.函数7(x)=k)g“(x+2)(0<a<l)的图象必不过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】A..7(x)=log〃(x+2)(0<aVl),.•.其图象如下图所示，故选A.

5.若lg(2x-4)Wl,则x的取值范围是()

A.(-00,71B.(2,7］

C.17,+oo)D.(2,+oo)

【解析】B由lg(2x-4)Wl,得0<入一4勺0,

即2X7,故选B.

6.已知log„|>log/,1>0,则下列关系正确的是()

A.0<b<a<\B.Q<a<b<\

C.\<b<aD.1<a<b

【解析】A由log百>0,log际>0,可知a,〃£（0,l）,

又loga|>log/,1,作出图象如图所示，

结合图象易知：.Q<b<a<\,

7.石■。=20,2,/?=log4（3.2）,c=log2（0.5）,则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

02

【解析】AVt7=2>l>/?=log4（3.2）>0>c=log2（0.5）,・・.a>b>c.故选A.

8.若函数7U）=〃+logaa+l）在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a的值为（）

A.；B.；C.2D.4

【解析】B当。>1时，a+loga2+l=mlog“2=—1,a=g（舍去）.

当0<。<1时，l+a+log〃2=。，

/.10^2=­1,a=；.

9.当4>1时，有下列结论：

①指数函数y=〃，当。越大时，其函数值的增长越快；

②指数函数丫=炉，当。越小时，其函数值的增长越快；

③对数函数y=log,a，当a越大时，其函数值的增长越快；

④对数函数y=k)gd，当“越小时，其函数值的增长越快.

其中正确的结论是()

A.①③B.①④

C.②③D.②④

【解析】B结合指数函数及对数函数的图象可知①④正确.故选B.

10.四人赛跑，假设他们跑过的路程f(x)(其中汜{1,2,3,4})和时间式41)的函数关系分别是力(笛=/,

力(x)=4x,力(x)=logM，力(x)=2"，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A.力(x)=/B.及(x)=4x

C.力(X)=log2XD.力(X)=2'

【解析】D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是力⑴

=2',故选D.

二、填空题

11.函数y=log(u(—x2+3x+4)的值域是.

【解析】[-2,+oo)—x2+3x+4—

25

.,.有0<—x2+3x+4<-^-,

根据对数函数y-logo.u的图象(图略)即可得到：

25

logo,4(--v2+3x+4)>logo.4'^_=—2,

.•.原函数的值域为[-2,+oo).

12.若y=k)g“(ax+3)(a>0且存1)在区间(T，+℃)上是增函数，则a的取值范围是.

【解析】(1,3]因为y=log“(ar+3)(a>0且用)在区间(一1,+s)上是增函数，

--a+3K),

所以<a>\,

4>0且在1,

解得1<日3.故a的取值范围是(1,3].

13.已知函数犬x)=log2a2+a).若述3)=1,则a=.

【解析】-7由/3)=1得1og2(32+a)=l,所以9+a=2,解得。=-7.

14.已知函数y=log〃(x—3)—l的图象恒过定点P,则点P的坐标是.

【解析】(4,—1)y=k>giA的图象恒过点(1,0),令x—3=1,得x=4,则y=-1.

15.函数y=/与函数y=xlnx在区间(0,+oo)上增长较快的一个是.

【解析】y=(当x变大时，x比Inx增长要快，

二『要比xlnx增长的要快.

16.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是

①y=10x1.05'；②y=20+x"；③y=30+lg(x—1)；④y=50.

【解析】①结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①.

三、解答题

17.函数兀0=1.1。g(x)=lnx+l,〃(x)=x5的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较

三个函数的增长差异(以1,a，b,c,d,e为分界点).

yl

4

【解析】由指数爆炸、对数增长、基函数增长的差异可得曲线G对应的函数是40=11、曲线C2对

应的函数是h(x)=x2,曲线。3对应的函数是g(x)=lnx+l.

由题图知，

当x<l时,J(x)>h(x)>g(x)；

当时，y(x)>g(x)>/7(x)；

当e<x<a时，gM>fix)>h(x)；

当a<x<b时，g(x)>/i(x)>/(x)；

当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；

当c<x<d时，力(x)Mx)>g(x)；

当x>d时,火x)>h(x)>g(x).

18.若函数y=loga(x+〃)3>0且存1)的图象过点(-1,0).

(1)求。的值；

(2)求函数的定义域.

【解析】⑴将(―1,0)代入y=loga(x+a)3>0,〃羊1)中，有0=log”(—1+。),则—1+〃=1,所以。=2.

(2)由(1)知y=log2(x+2),由x+2>0,解得“>—2,

所以函数的定义域为{X|A>—2}.

19.若函数於)为定义在R上的奇函数，且工金⑴，+8)时，yu)=iga+i),求人处的表达式，并画出大

致图象.

【解析】：益)为R上的奇函数，.\A0)=0.

又当xw(—00,0)时，一xe(o,+00),

x)=ig(i—x).

又x)=—/(X)，.'./U)=—lg(l—x),

1gx+1，x>0,

.\Ax)的解析式为7(x)=<0,x=0,

1gI-x，JC<0,

20.某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度/?(米)与生长时间/(年)的相关数据，选择〃

=m+b与/7=log〃(r+l)来刻画力与f的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.

【解析】据表中数据作出散点图如图:

由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.

将(2,1)代入到〃=log”(r+D中,得l=log“3,解得。=3.即%=log3«+l).

当t=8时,/?=log3(8+1)=2,

故可预测第8年松树的高度为2米.

21.已知函数式x)=ln(3+x)+ln(3—x).

(1)求函数y=/(x)的定义域；

(2)判断函数y=/(x)的奇偶性.

[3+x>0,

【解析】(1)要使函数有意义，贝U解得一3<x<3,故函数y=/(x)的定义域为(-3,3).

3—x>0.

(2)由(1)可知，函数y=/(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称.

对任意xG(—3,3),则一无6(—3,3).

••7(—X)=ln(3—X)+ln(3+x)=f(x),

...由函数奇偶性可知，函数y=/(x)为偶函数.

巩固提升

3

i.(多选题)已知iog]<im>o且wi),则实数。的取值范围可以是()

33

A.(0,B.(牙+8)

3

c.q,i)D.(i,+oo)

【解析】•.,log(<l=k>g〃a,故当0<«<1时，y=logflX为减函数，0<。<|；当a>\时，y=log(fx<0,

综上知A、D正确.

2.已知函数y=loga(x+3)—1(a>0且c#l)的图象恒过定点A,若点A也在函数火x)=3*+。的图象上，

则川og32»()

87

-

A.9一9

B.

5D.2

--

99

【解析】当x+3=l时，、=-1,所以4(一2,—1)；当x=-2时，-1=32+4.•.6=一3，.•.川og32)

1()Q

=31oga2—故选A.

3.设函数段)=log2(4x).k)g2(2x),^<x<4,则段)的最大值为()

A.10B.11

C.12D.13

【解析】设Z=log2X,V^<x<4,—2</<2,C.fix)=log2(4x)-log2(2x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(r

+l)=r2+3/+2=(/+1)2-I，令g(f)=(/+|)2—%—2/2,・••当f=2,即工=4时，，g⑺取得最大值g(2)=

12,即./U)的最大值为12,故选C.

4.设〃，b,c均为正数，且2"=10glmg)"=log?，(%=log2