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文档简介
数学
第一章勾股定理
一、勾股定理:
1、直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a?+b2=c2。
2、勾股定理的验证
测量、数格子、拼图法、面积法,如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……
(通过面积的不同表示方法得到验证,也叫等面积法或等积法)。
3、勾股定理的适用范围
仅限于直角三角形。
二、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有关系a,b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
三、勾股数:
满足a?+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
常见的勾股数有:(6,8,10)、(3,4,5)、(5,12,13)、(9,12,15)、
(7,24,25)、(9,40,41)
四、勾股数的规律:
1、短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之和是短直
角边的平方。即当a为奇数且a<b时,如果b+c=a2,那么a,b,c就是一组勾股
数。
如:(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(9,40,41)……
2、大于2的任意偶数,2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是:2n,n2-1,n2+1
如:(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26).....
第二章实数
一、实数的概念及分类:
1、实数的分类
正有理数1
有理数1零厂有限小数和无限循环小数
实数JL负有理数-
正无理数]
上无理数」[无限不循环小数
负无理数
1
2、无理数
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如“等;
(2)有特定意义的数,如圆周率TT等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数值,如sin60。等。
二、实数的倒数、相反数和绝对值:
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反
数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a
与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(出伫0)。零
的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a2;若|a|=-a,则处0。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零
没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的
三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵
活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根:
1、算术平方根
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算
术平方根。特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“五”,读作根号a。|
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根
一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根
(或二次方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“土五”,读作"正、负根号a”。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平
方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
2
LnN0
注意而的双重非负性:]
La>0
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根(或
三次方根)。
表示方法记作
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是
零。
注意:月=-这说明三次根号内的负号可以移到根号外面J
四、实数大小的比较:
1、实数比较大小
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右
边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,则
a-b>Q<=>a>bz
a-b=Q<^a=b:
a-b<Q=a<
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,则
—>1<=>a>b;巴=l<=>a=d;—<l<=>a<6;|
bbb\
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则
|a|>|i|Oa<6o
(5)平方法:设a、b是两负实数,则
a2>b2=avb。|
五、算术平方根有关计算(二次根式):
1、含有二次根号“
被开方数a必须是非负数。
3
2、性质
(1)(后),=a(a20)|
ra(a>Q)
(2)4a^=h|=—\
<_—a(a<0)
(3)=^[a•4b(a>Q:b>0)
⑷分―
3、运觥果居有«孔“形式,嫡满足:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
六、实数的运算:
1、六种运算:力口、减、乘、除、乘方、开方。
2、实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
3、运算律
加法交换律a+b=b+a
加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律ab=ba
乘法结合律(ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac
第三章位置与坐标
一、生活中确定位置的方法:
1、行列定位法
把平面分成若干个行列的组合,然后用行号和列号表示平面中点的位
置,要准确表示平面中的位置,需要行号、列号两个独立的数据,缺
一不可。
2、方位角加距离定位法
4
此方法也叫极坐标定位法,是生活中常用的方法。在平面中确定位置
时需要两个独立的数据:方位角、距离。特别需要注意的是中心位置
的确定。
3、方格定位法
在方格纸上,一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定,记作(横
向方个数,纵向方个数)。需要两个数据确定物体位置。
4、区域定位法
是生活中常用的方法,也需要两个数据才能确定物体的位置。此方法
简单明了,但不够准确。如:A1区,D3区等。
5、经纬度定位法
利用经度和纬度来确定物体位置的方法,也同时需要两个数据才能确
定物体的位置。
二、平面直角坐标系:
1、平面直角坐标系及相关概念
在平面内,两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,
简称直角坐标系。通常两条数轴位置水平和垂直位置,规定水平轴向
右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。水平数轴称为x轴或横轴,垂
直数轴称为y轴或者纵轴,x轴、y轴统称坐标轴,公共原点。称为
坐标系的原点。
两条数轴把平面划分为四个部分,右上部分叫做第一象限,其余部分
按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。
2、点的坐标表示
在平面直角坐标系中,平面上的任意一点P,都可以用坐标来表示。
过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b
分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐
标。
在平面直角坐标系中,平面上的任意一点P,都有唯——对有序实数
(即点的坐标)与它对应;反之,对于任意一对有序实数,都可以在
平面上找到唯----点与它对应。
3、特殊位置上点的坐标特点
(1)坐标轴上点的坐标特点
5
X轴上点的纵坐标为0;y轴上点的横坐标为0;原点的横坐标、纵坐
标都为0;
(2)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点
与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同;与y轴平行直线上所有点的
横坐标相同;
(3)各象限内点P(a,b)的坐标特点
第一象限:a>0,b>0;
第二象限:a<0,b>0;
第三象限:a<0,b<0;
第四象限:a>0,b<0,
4、根据点的坐标描点连线组成图形
(1)已知点的坐标确定点的位置:分别根据坐标值在x轴、y轴作
垂线,交点及为该点。
(2)连线只能连各组内的点,两组之间的点不要相连。
5、建立适当的直角坐标系求点的坐标
(1)建立坐标系的思路:首先分析选择适当的点做为坐标原点;其
次过原点在水平和垂直的方向画出x轴和y轴;再次确定正方形、单
位长度。
(2)建立坐标系的方法不唯一,原则是:运算简单,所得坐标简单。
三、轴对称与坐标变换:
1、图形的坐标变化与轴对称
(1)横坐标不变,纵坐标分别乘-1,所得图形与x轴对称;反之与
y轴对称;
(2)在坐标系中作轴对称图形的方法:确定对称点坐标,描出各对
称点,依次连线。
2、直角坐标系中对称点的坐标关系
(1)关于x轴对称的两点坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的两点坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。
第四章一次函数
一、函数:
1、变量的定义
6
在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。
注意:变量还分为自变量和因变量。
2、常量的定义
在某一变化过程中,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量。
3、函数的定义
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的
每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是
自变量,y是x的函数,y的值称为函数值。
4、函数的三种表示法
(1)表达式法(解析式法);
(2)列表法;
(3)图象法。
a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法);
b、由一个函数的表达式,列出函数对应值表格来表示函数的方法叫
做列表法;
c、把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而
画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5、求函数的自变量取值范围的方法
(1)要使函数的表达式有意义;
a、整式(多项式和单项式)时为全体实数;
b、分式时,让分母H0;
c、含二次根号时•,让被开方数R0。
(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。
注意:可能含有隐含非负或大于0的条件。
6、求函数值方法
把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值。
7、描点法画函数图象的一般步骤如下
Step1:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
Step2:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函
数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
Step3:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲
线连接起来)。
8、判断y不是x的函数的题型
7
A、给出解析式让你判断
可给x值来求y的值,若y的值唯一确定,则y是x的函数;否则不
是:
B、给出图像让你判断
过x轴做垂线,垂线与图像交点多余一个(22)时,y不是x的函数;
否则y是x的函数。
二、正比例函数:
1、正比例函数的定义
一般地,形如y=kx(k是常数,k#0)的函数,叫做正比例函数,其
中k叫做比例系数。
注意:
a、自变量x的次数是一次累,且只含有x的一次项;
b、比例系数kWO;
c、不含有常数项,只有x一次嘉的单项而已。
2、正比例函数图像
一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k#0)的图象是一条经过原
点的直线,我们称它为直线y=k>o
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限(正奇),从左向右升,即
随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限(负偶),从左向右下降,
即随着x的增大y反而减小。
k>0.撇一三象限丫
从左到右上升
Y随x的增大而增大/
K<0,捺二四象限O
从左到右下降\一
Y随x的增大而减小।
画正比例函数的最简单方法
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线。
8
这条直线就是正比例函数y=kx(kWO)的图象。
三、一次函数:
1、一次函数的定义
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,kHO)的函数,叫做一次函数,
当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函
数。
注意:
a、自变量x的次数是一次暴,且只含有x的一次项;
b、比例系数k,0;
c、常数项可有可无。
2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,
它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向
上平移;当b<0I3寸,向下平移)。
3、系数k的意义
k表征直线的倾斜程度,k值相同的直线相互平行,k不同的直线相
交。
系数b的意义:b是直线与y轴交点的纵坐标。
当k>0时,直线y=kx+b从左向右升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
直线y=kx+b与y轴的交点是点(0,b);与x轴的交点是点(-b,
0)o
4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系
9
K<0,捺
K<0,捺
b<0,与y轴交点在x轴下方
b>0,与y轴交点在x轴上方
二三四象限
一二四象限
从左到右下降
从左到右下降
Y随x的增大而减小
Y随x的增大而减小
5,画一次函数图像的最简单方法
(1)先选取两点,通常黜点(0,b)与点(±0)3
(2)在坐标平面网S出点<0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,b)与点(吃0)做/直线。
这条直线就是正比例函数y=kx(k#0)的图象。
6、待定系数法确定一次函数解析式
根据已知的自变量与函数的对应值,或函数图像直线上的点坐标。
步骤:
a、写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这
些系数,因此叫做待定系数);
b、把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式
给出),即x、y的值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程
或方程组。(有几个待定系数,就要有几个方程)
c、解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析
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