八年级数学期中课件

数学

第一章勾股定理

一、勾股定理：

1、直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即a?+b2=c2。

2、勾股定理的验证

测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……

(通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法)。

3、勾股定理的适用范围

仅限于直角三角形。

二、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c有关系a，b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

三、勾股数：

满足a?+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：(6,8,10)、(3,4,5)、(5,12,13)、(9,12,15)、

(7,24,25)、(9,40,41)

四、勾股数的规律：

1、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直

角边的平方。即当a为奇数且a<b时，如果b+c=a2,那么a,b,c就是一组勾股

数。

如：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(9,40,41)……

2、大于2的任意偶数，2n(n>1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1

如：(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26).....

第二章实数

一、实数的概念及分类：

1、实数的分类

正有理数1

有理数1零厂有限小数和无限循环小数

实数JL负有理数-

正无理数］

上无理数」［无限不循环小数

负无理数

1

2、无理数

无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如“等；

（2）有特定意义的数，如圆周率TT等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数值，如sin60。等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值：

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反

数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a

与b互为相反数，则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。

2、绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（出伫0）。零

的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a,则a2；若|a|=-a,则处0。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零

没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的

三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵

活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根：

1、算术平方根

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算

术平方根。特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“五”，读作根号a。|

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根

一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根

（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“土五”，读作"正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平

方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

2

LnN0

注意而的双重非负性:]

La>0

3、立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或

三次方根）。

表示方法记作

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是

零。

注意：月=-这说明三次根号内的负号可以移到根号外面J

四、实数大小的比较：

1、实数比较大小

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右

边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，则

a-b>Q<=>a>bz

a-b=Q<^a=b:

a-b<Q=a<

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，则

—>1<=>a>b;巴=l<=>a=d;—<l<=>a<6;|

bbb\

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则

|a|>|i|Oa<6o

（5）平方法：设a、b是两负实数，则

a2>b2=avb。|

五、算术平方根有关计算（二次根式）：

1、含有二次根号“

被开方数a必须是非负数。

3

2、性质

(1)(后)，=a(a20)|

ra(a>Q)

(2)4a^=h|=—\

<_—a(a<0)

(3)=^[a•4b(a>Q:b>0)

⑷分―

3、运觥果居有«孔“形式，嫡满足：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

六、实数的运算:

1、六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方。

2、实数的运算顺序

先算乘方和开方,再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

3、运算律

加法交换律a+b=b+a

加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律ab=ba

乘法结合律(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

第三章位置与坐标

一、生活中确定位置的方法：

1、行列定位法

把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位

置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺

一不可。

2、方位角加距离定位法

4

此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。在平面中确定位置

时需要两个独立的数据：方位角、距离。特别需要注意的是中心位置

的确定。

3、方格定位法

在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横

向方个数，纵向方个数）。需要两个数据确定物体位置。

4、区域定位法

是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。此方法

简单明了，但不够准确。如：A1区，D3区等。

5、经纬度定位法

利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确

定物体的位置。

二、平面直角坐标系：

1、平面直角坐标系及相关概念

在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，

简称直角坐标系。通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向

右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。水平数轴称为x轴或横轴，垂

直数轴称为y轴或者纵轴，x轴、y轴统称坐标轴，公共原点。称为

坐标系的原点。

两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分

按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。

2、点的坐标表示

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P,都可以用坐标来表示。

过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b

分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐

标。

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P,都有唯——对有序实数

（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在

平面上找到唯----点与它对应。

3、特殊位置上点的坐标特点

（1）坐标轴上点的坐标特点

5

X轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐

标都为0；

(2)与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点

与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的

横坐标相同；

(3)各象限内点P(a,b)的坐标特点

第一象限：a>0,b>0；

第二象限：a<0,b>0；

第三象限：a<0,b<0；

第四象限：a>0,b<0,

4、根据点的坐标描点连线组成图形

(1)已知点的坐标确定点的位置：分别根据坐标值在x轴、y轴作

垂线，交点及为该点。

(2)连线只能连各组内的点，两组之间的点不要相连。

5、建立适当的直角坐标系求点的坐标

(1)建立坐标系的思路：首先分析选择适当的点做为坐标原点；其

次过原点在水平和垂直的方向画出x轴和y轴；再次确定正方形、单

位长度。

(2)建立坐标系的方法不唯一，原则是：运算简单，所得坐标简单。

三、轴对称与坐标变换：

1、图形的坐标变化与轴对称

(1)横坐标不变，纵坐标分别乘-1,所得图形与x轴对称；反之与

y轴对称；

(2)在坐标系中作轴对称图形的方法：确定对称点坐标，描出各对

称点，依次连线。

2、直角坐标系中对称点的坐标关系

(1)关于x轴对称的两点坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的两点坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

第四章一次函数

一、函数：

1、变量的定义

6

在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

注意：变量还分为自变量和因变量。

2、常量的定义

在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3、函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的

每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是

自变量，y是x的函数，y的值称为函数值。

4、函数的三种表示法

（1）表达式法（解析式法）；

（2）列表法；

（3）图象法。

a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）；

b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫

做列表法；

c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而

画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5、求函数的自变量取值范围的方法

（1）要使函数的表达式有意义；

a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；

b、分式时，让分母H0；

c、含二次根号时•，让被开方数R0。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

注意：可能含有隐含非负或大于0的条件。

6、求函数值方法

把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。

7、描点法画函数图象的一般步骤如下

Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函

数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲

线连接起来）。

8、判断y不是x的函数的题型

7

A、给出解析式让你判断

可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不

是：

B、给出图像让你判断

过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（22）时，y不是x的函数；

否则y是x的函数。

二、正比例函数：

1、正比例函数的定义

一般地，形如y=kx（k是常数，k#0）的函数，叫做正比例函数，其

中k叫做比例系数。

注意：

a、自变量x的次数是一次累，且只含有x的一次项；

b、比例系数kWO；

c、不含有常数项，只有x一次嘉的单项而已。

2、正比例函数图像

一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k#0）的图象是一条经过原

点的直线，我们称它为直线y=k>o

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右升，即

随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，

即随着x的增大y反而减小。

k>0.撇一三象限丫

从左到右上升

Y随x的增大而增大/

K<0,捺二四象限O

从左到右下降\一

Y随x的增大而减小।

画正比例函数的最简单方法

（1）先选取两点，通常选出（0,0）与点（1,k）；

（2）在坐标平面内描出点（0,0）与点（1,k）；

（3）过点（0,0）与点（1,k）做一条直线。

8

这条直线就是正比例函数y=kx（kWO）的图象。

三、一次函数：

1、一次函数的定义

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，kHO）的函数，叫做一次函数，

当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函

数。

注意：

a、自变量x的次数是一次暴，且只含有x的一次项；

b、比例系数k,0；

c、常数项可有可无。

2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,

它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向

上平移；当b<0I3寸，向下平移）。

3、系数k的意义

k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相

交。

系数b的意义：b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b从左向右升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

直线y=kx+b与y轴的交点是点（0,b）；与x轴的交点是点（-b,

0）o

4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系

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K<0，捺

K<0,捺

b<0,与y轴交点在x轴下方

b>0,与y轴交点在x轴上方

二三四象限

一二四象限

从左到右下降

从左到右下降

Y随x的增大而减小

Y随x的增大而减小

5,画一次函数图像的最简单方法

（1）先选取两点，通常黜点（0,b）与点（±0）3

（2）在坐标平面网S出点<0,0）与点（1,k）;

（3）过点（0,b）与点（吃0）做/直线。

这条直线就是正比例函数y=kx（k#0）的图象。

6、待定系数法确定一次函数解析式

根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。

步骤：

a、写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这

些系数，因此叫做待定系数）；

b、把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式

给出），即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程

或方程组。（有几个待定系数，就要有几个方程）

c、解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析