初中数学：19类最值问题超全解析

初中数学：19类最值问题，超全解析

最经济问题

•8

A

Af

\AP+BP\

一本移动的多媒体教材d

如图，在△ABC中，AC=BC=

2,乙4c8=9(T,。是BC边的中作C关于48的对称点C'

点，E是4B边上一动点，则EC+当D、E、C'三点共时，取到等号，如图②

ED的最小值是.所以CE+DE最小值为DC'

vLCBA=JLABC=45°•••Z.DBC'=90°

在AD8CT，

DC=y/DB2+C'B2=71?+2?=V5

CE+DE最小值为遥

利用三角形两边差求最值

•8

A

P

\AP-BP\

如图，作点H关于工轴的对称点国,连接48'并延长与X轴的交点,

即为所求的M点.此时4M-BM=AM-B'M=AB'.

(2014沙洋一模)已知点4(1,5),8(3,-1).不妨在x轴上任取一个另一点M',连接M'8、M%',则

点M在x轴上.当最大时.点M的坐M'A-M'B=MrA-M'B'<AB1

标为.AM-BM,此时XM-BM取得最大值

•••8'贴8(3,-1)关fx轴的对称点•­B,(3,1)

设直线4所解析式为y=kx+b

k=-2

k+b=5,解得:

3k+b=Ib=7

二九线4B'解析式为y=-2x+7

令y=0,解得x=g

・•・M(p0)

手拉手全等取最值

一本移动的多媒体教材

取48中点0,连接0。'

如图，△A8C和△ADE都是等腰直角二角：CDA0'=90°-乙DAC

形.Z.BAC=LDAE=90°,AB=AC=2.0Z.EA0=90°-/.DAC:.£DA0'=LEA0

为4c中点，若点。在在直线8c上运动,连又,:。和。'分别是4c和48中点

•••AO'=A0

接0£,则在点0运动过程中，线段0E的最

在A4。。'和AEA0中

小值.

AC=AD

Z.DA01=/.EA0

{A0f=A0

•••△40。'=AEA0(SAS)DO1=E0

当O'DIBC时,O'D最小

A8。。'是等腰口角三角形

,V2,,11

.•・O'D=—BO1,BO'=-AB=-x2=1

0*0=yEO散小但为当

4手拉手相似取最值

一本移动的多媒体教材d

如图，连接CE

如图，4ABCMADE,ABAC=/.DAE=••△ABC-AADE

90°,AB=6,AC=8,F为DE中点,若•••Z-ACD=乙AEG

点D在直线BC上运动，连接CF,则在点。乂♦:乙AGE=乙DGC

运动过程中，线段CF的最小值是.••・△AGEDGC

AGEG

••—，

DGCG

又•・•LAGD=LEGC

•••△AGDEGC

•••Z.ADG=乙ECG

一本移动的多媒体教材

又••,RtZi/WE中，乙4DG+乙4EG=90°

如图.4ABCMADE,Z.BAC=Z.DAE=•••乙ECG+LACD=90°,即/DCE=90°

90°,AB=6,AC=8,F为DE中点，若

•；F是DE的中点，CF=|DE,

点。在直线BC上运动，连接CF,则在点。

­•■△ABCMADE,

运动过程中，线段CF的最小值是.

••.当4。18(?时，4D最短，此时DE最短，

当AD1BC时，AD=AB^(：=4.8,B

ADABHn4.86

,-'DE=BC'即而=7?

•••DE=8,二CF=4x8=4.

平移构造平行四边形求最小

M'

AC+CD+DB

一本移动的多媒体教材a

如图，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交丁

点48,点。在动点Q右侧的x轴上,且始

终满足QD=1,点MdWi线4B上，其横坐

标为-3,何当C为何值时，四边形MQ08的

周长最小？最小值是多少？

19

MQ+Q。+DB+MB=彳+MQ+DB

过8作8N〃。4使得BN=QD=1,连接NQ

•••NB//DQ且NB=DQ四边形Q0BN为平行四边形

・•・NQ=BD・,•MQ+80=MQ+NQ

一本移动的多媒体教材

如图，立线y=：万+3与北轴、y轴分别交了

过M作关于X轴的对称点M'连接NM，

点、A、8,点。在动点Q右侧的x轴匕且始

终满足QD=1，点M4：食线4B上，其横坐

标为一3,问当t为何值时，四边形MQ08的

周长最小？最小侑是多少？

4--=9.

两点对称勺子型连两端求最小

PQ+QR+PR

一本移动的多媒体教材

过P点分别作射线。4、的对称点Pi』?

如图，乙408=45’，角内行点P,P0=

达接0Pi，0Pz，P岛QPiM

10.在角的两边上有两点QR（均不同

QP=QPlfRP=RP2

于。点），则△PQR的周长的最小值

AQPR的周长为QP+RP+QR

vQP=QP「RP=RP2

AQP+RP+QR=QP、+RP2+QR

当外,Q,R,P2四点共线时

QPi+RP2+QR坡小为PS?

根据对称性

LAOP=50P\乙BOP=LB0P2

OP=OPt=0P2=10

ihl^AOP+LBOP=45°AMOP?=90°

APtP2=J8/+叱=io&

•••APQR用长最小值为10立

7两点对称折线型连两端求最小

B'

■

4C+CD+DB

一本移动的多媒体教材

如图，乙408=30。，点M、N分别在

边04、OBI.,且0M=l,ON=3,作M关「08的对称点M',

作N关于0A的对称点NI

点P、Q分别在边08、0A上，则MP+

连接MWL即为MP+PQ+QN的坡小值.

PQ+QN的最小值是.

根据轴对称的定义可知：

△N'OQ=乙M'OB=30°,CONN'

ON”为等边二角形，

△0MM'为等边三角形.

:•乙N'OM'=90°

・•.M'N'=&+I2=y/lQ

时钟模型，中点商定边求最小值

一本移动的多媒体教材

如图，E.F是正方形A8CD的边AD上两个

TFZLIOE和ADCF中

动点.满足=连接CF交8。7点G.

连接交AG1点H.若正方形的边长为2,AB=DC

々BAD=Z.CDF=90°

则线段DH长度的最小值是.{AE=DF

•••HABE三ADCNSAS)

•••LBEA=Z.CFD

在&4DG和ACOG中

AD=DC

LADG=LCDG=45°•••t^ADGmACDG0AS)

DG=DG

B在ACDF中，乙CFD+4DCF=90°

•XEA4HE中乙“EA+LHAE=90°LAHE=90°

一本移动的多媒体教材

如图，E,广是正方形4BCD的边XD上两个

动点，满足=连接CF交BD于点G.取4B中点。，构造两定边

连接交卜点若正方形的边长为

BEAGH.2,vLAHB=900

则线段DH长度的最小值是.

1

•••OH=-x2=1

DO=>JAO24-AD2=V5

在A〃OD中

HD>OD-0//=V5-1

'L}O.H.D•.点共线时，取到等号

•••”。城小值为西-1

时钟模型，相似商定边求最小值

一本移动的多媒体教材4

如图所示，线段4口为。。的直径,点C

过0C作60、的宣角-角形OCE

在A8的延长线卜.，A8=4,BC=2,点

连接

P是0。上一动点.连接CP,以CP为斜

易证明△PCOszXDCE

边｛\PC的上方作Rt△PCD,11.使

ECDCED1

:.，=——>'=—

乙DCP=60。,连接0。，则。。长的最大OCPCPO2

值为_____.ED==1

•••OE=OCcos30°=2V3

在△EOD中,ODWED+EO

一点共线取等号，。。最大值为26十1

10转化构造两定边求最值

一本移动的多媒体教材

如图，在矩形48CD中，AB=延长£。交48于M

6,BC=8,4(?丐8。相交于。,£为。。易证明A0M8三WED

DE=BM

的一点，过点。作。F_L0E交8c于F,

连接MF

d=JDE2+BF2=QBM?+BF2=MF

而易证，MOF=90°

，MF=yjOM2+OF2

取MF中点”

连接BN、ONBN=1MFON=^MF

MF=BN+ON

在△BON中BN+ON>OB

三点共线取等号「.d的最小值为5

11面积转化法求最值

一本移动的多媒体教材

如图所示,正方形4BCD的边长为1,点P为连接4C,DP

8C上任意•点（可以与8点或C或合），分•.•四边形力8co是正方形，止方形48co的边氏为1

别过8,C,。作射线4P的垂线，垂足分别是

・•・/1B=CD.S正方形488=1

Br,C\D\则88'+CC+DD'的坡大值与最

11

小值的和为—..SAADP_2s正方形.sc/)-2

S4ABP+S»ACP=5△4BC=2s止方形a"电

S△人BP+S3cp+SfDP-1

二+g”•CC+^AP•DDf

=£2•(.BB^CC+DD1)=1

2

则H8'+CC'+DD'=24P

一本移动的多媒体教材

如图所示,正方形4BCD的边长为1,点P为

BC上仔藏•点（可以与B点或C项合）.分

别过B,C,D作射线4P的垂线，垂足分别是

B'.C.D',则BB'+CC'+DD'的最大值与最

小值的和为一.

1W4PW2&当P与B重合时,有最大值2：

当尸与C重合时，有最小值企

■■>/2^BB'+CC'+DD'^2

...BB'+CC+DD'的最大值与最小值的和为0+2.

AB

相似转化法求最值

一本移动的多媒体教材［:A

如图，48是00的直役，点C在0。上，。是

。。上的一个动点，且C、D两点位于直径4B

当CD是直径时，DE最长

的两侧.连接CD,过心;C作CE工CD交DB的

延长线了点E.若AC=2,BC=4,则线段；48是直径

DE长的最大值是______「Z.4CS=90°

..AB=7AC»+BC»=2V5

■：eA=ZD,eACB=Z.DCE=90

,•,△/ISC-△DEC

.ABACBn2\/52

DECDDE2遥

••・DE=10

13相似系数化一法求最值

连接。E,在。BI:取。F=g

已知4点坐标为(4,0)、B点坐标为(0,3).。。=

EOF-fDABOE中

2,E为园上动点,则1B£+AE的最小值

乙BOE=Z.EOF

为________u

—OE=—OF=—2

OBOE3

•••△EOFs△BOE

EF22

•••-T77=-•••EF=­BE

BE33

24V10

••・-BE+AE=EF+AE>AF=一^—

—本移动的多媒体教材：\

14三角函数系数化一求最值

如图所示.•条堂口的公路］穿过战原,公路边有

由已知巧.没消防。从公路上出。进入草地衍政

•消防站4距离公路5千米的地方仃♦居民点8，

A、8的直线即离是13「米天，居民点8若火.啪间「嗡+整焉（如+仍）

消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最

7M间i最小.H求（，4+。历）的品小他

快速度是80千米小时.而在草地.卜•的法快速度是40

「米/小时,则消防车在出发后最快经过_____小时

过白A作射线4£•使咫4乂£=30。・1AEJM.

可到达居优点8.（友情捉梅消防车可从公路的任

.'.1DX+Dfl-DM+DB.iB.D.M点火找时N取最小.血*1小里山《战投般小

意位置进入草地行驶.）

HAM11，必DJD'.AtffrHCItfC

WJzCtfD,-ZF4D-30°.tfC-S

B

543510^35V3

13*■1"CD'~5tan308—-y-■BD*―3加―--~••,'AD'AC-CD'-12—-^―

.1•DT=40*sin300=6--

6

A

••.BF«■BD'+/TF=6+岁,t的最小俏为金x（6+竽）*产小时

一本移动的多媒体教材

15轨迹最值

如图所示,在平面直角坐标系中,己知点

4的坐标为(3,4),N点是以点力为圆心，

半径为3的I员I上的任意动点，以。N为直角

边作等腰直角阴形OMN,FL只点在第二

象限内，求4M的最小值及最大值.易得点M是回心为(-4,3)泮径为3的圆上面的点

一本移动的多媒体教材：4

16三动点的垂直三角形

过点P作4B对称点M

如图，在等边V角形4BC中，AB=4.P

过点P作4c对称点N

是BC边上的动点，Q是84边卜.的动点，

贝I],QP=QM,HP=HN

H是4c边卜.的动点，则△PQH的周长的

△的周长为

最小但为.PQH

QP+PH+QH=QM+QH+HM

连接MN

△PQH的周氏的最小值为MN

当点