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文档简介
初中数学:19类最值问题,超全解析
最经济问题
•8
A
Af
\AP+BP\
一本移动的多媒体教材d
如图,在△ABC中,AC=BC=
2,乙4c8=9(T,。是BC边的中作C关于48的对称点C'
点,E是4B边上一动点,则EC+当D、E、C'三点共时,取到等号,如图②
ED的最小值是.所以CE+DE最小值为DC'
vLCBA=JLABC=45°•••Z.DBC'=90°
在AD8CT,
DC=y/DB2+C'B2=71?+2?=V5
CE+DE最小值为遥
利用三角形两边差求最值
•8
A
P
\AP-BP\
如图,作点H关于工轴的对称点国,连接48'并延长与X轴的交点,
即为所求的M点.此时4M-BM=AM-B'M=AB'.
(2014沙洋一模)已知点4(1,5),8(3,-1).不妨在x轴上任取一个另一点M',连接M'8、M%',则
点M在x轴上.当最大时.点M的坐M'A-M'B=MrA-M'B'<AB1
标为.AM-BM,此时XM-BM取得最大值
•••8'贴8(3,-1)关fx轴的对称点•B,(3,1)
设直线4所解析式为y=kx+b
k=-2
k+b=5,解得:
3k+b=Ib=7
二九线4B'解析式为y=-2x+7
令y=0,解得x=g
・•・M(p0)
手拉手全等取最值
一本移动的多媒体教材
取48中点0,连接0。'
如图,△A8C和△ADE都是等腰直角二角:CDA0'=90°-乙DAC
形.Z.BAC=LDAE=90°,AB=AC=2.0Z.EA0=90°-/.DAC:.£DA0'=LEA0
为4c中点,若点。在在直线8c上运动,连又,:。和。'分别是4c和48中点
•••AO'=A0
接0£,则在点0运动过程中,线段0E的最
在A4。。'和AEA0中
小值.
AC=AD
Z.DA01=/.EA0
{A0f=A0
•••△40。'=AEA0(SAS)DO1=E0
当O'DIBC时,O'D最小
A8。。'是等腰口角三角形
,V2,,11
.•・O'D=—BO1,BO'=-AB=-x2=1
0*0=yEO散小但为当
4手拉手相似取最值
一本移动的多媒体教材d
如图,连接CE
如图,4ABCMADE,ABAC=/.DAE=••△ABC-AADE
90°,AB=6,AC=8,F为DE中点,若•••Z-ACD=乙AEG
点D在直线BC上运动,连接CF,则在点。乂♦:乙AGE=乙DGC
运动过程中,线段CF的最小值是.••・△AGEDGC
AGEG
••—,
DGCG
又•・•LAGD=LEGC
•••△AGDEGC
•••Z.ADG=乙ECG
一本移动的多媒体教材
又••,RtZi/WE中,乙4DG+乙4EG=90°
如图.4ABCMADE,Z.BAC=Z.DAE=•••乙ECG+LACD=90°,即/DCE=90°
90°,AB=6,AC=8,F为DE中点,若
•;F是DE的中点,CF=|DE,
点。在直线BC上运动,连接CF,则在点。
•■△ABCMADE,
运动过程中,线段CF的最小值是.
••.当4。18(?时,4D最短,此时DE最短,
当AD1BC时,AD=AB^(:=4.8,B
ADABHn4.86
,-'DE=BC'即而=7?
•••DE=8,二CF=4x8=4.
平移构造平行四边形求最小
M'
AC+CD+DB
一本移动的多媒体教材a
如图,直线y=3x+3与x轴、y轴分别交丁
点48,点。在动点Q右侧的x轴上,且始
终满足QD=1,点MdWi线4B上,其横坐
标为-3,何当C为何值时,四边形MQ08的
周长最小?最小值是多少?
19
MQ+Q。+DB+MB=彳+MQ+DB
过8作8N〃。4使得BN=QD=1,连接NQ
•••NB//DQ且NB=DQ四边形Q0BN为平行四边形
・•・NQ=BD・,•MQ+80=MQ+NQ
一本移动的多媒体教材
如图,立线y=:万+3与北轴、y轴分别交了
过M作关于X轴的对称点M'连接NM,
点、A、8,点。在动点Q右侧的x轴匕且始
终满足QD=1,点M4:食线4B上,其横坐
标为一3,问当t为何值时,四边形MQ08的
周长最小?最小侑是多少?
4--=9.
两点对称勺子型连两端求最小
PQ+QR+PR
一本移动的多媒体教材
过P点分别作射线。4、的对称点Pi』?
如图,乙408=45’,角内行点P,P0=
达接0Pi,0Pz,P岛QPiM
10.在角的两边上有两点QR(均不同
QP=QPlfRP=RP2
于。点),则△PQR的周长的最小值
AQPR的周长为QP+RP+QR
vQP=QP「RP=RP2
AQP+RP+QR=QP、+RP2+QR
当外,Q,R,P2四点共线时
QPi+RP2+QR坡小为PS?
根据对称性
LAOP=50P\乙BOP=LB0P2
OP=OPt=0P2=10
ihl^AOP+LBOP=45°AMOP?=90°
APtP2=J8/+叱=io&
•••APQR用长最小值为10立
7两点对称折线型连两端求最小
B'
■
4C+CD+DB
一本移动的多媒体教材
如图,乙408=30。,点M、N分别在
边04、OBI.,且0M=l,ON=3,作M关「08的对称点M',
作N关于0A的对称点NI
点P、Q分别在边08、0A上,则MP+
连接MWL即为MP+PQ+QN的坡小值.
PQ+QN的最小值是.
根据轴对称的定义可知:
△N'OQ=乙M'OB=30°,CONN'
ON”为等边二角形,
△0MM'为等边三角形.
:•乙N'OM'=90°
・•.M'N'=&+I2=y/lQ
时钟模型,中点商定边求最小值
一本移动的多媒体教材
如图,E.F是正方形A8CD的边AD上两个
TFZLIOE和ADCF中
动点.满足=连接CF交8。7点G.
连接交AG1点H.若正方形的边长为2,AB=DC
々BAD=Z.CDF=90°
则线段DH长度的最小值是.{AE=DF
•••HABE三ADCNSAS)
•••LBEA=Z.CFD
在&4DG和ACOG中
AD=DC
LADG=LCDG=45°•••t^ADGmACDG0AS)
DG=DG
B在ACDF中,乙CFD+4DCF=90°
•XEA4HE中乙“EA+LHAE=90°LAHE=90°
一本移动的多媒体教材
如图,E,广是正方形4BCD的边XD上两个
动点,满足=连接CF交BD于点G.取4B中点。,构造两定边
连接交卜点若正方形的边长为
BEAGH.2,vLAHB=900
则线段DH长度的最小值是.
1
•••OH=-x2=1
DO=>JAO24-AD2=V5
在A〃OD中
HD>OD-0//=V5-1
'L}O.H.D•.点共线时,取到等号
•••”。城小值为西-1
时钟模型,相似商定边求最小值
一本移动的多媒体教材4
如图所示,线段4口为。。的直径,点C
过0C作60、的宣角-角形OCE
在A8的延长线卜.,A8=4,BC=2,点
连接
P是0。上一动点.连接CP,以CP为斜
易证明△PCOszXDCE
边{\PC的上方作Rt△PCD,11.使
ECDCED1
:.,=——>'=—
乙DCP=60。,连接0。,则。。长的最大OCPCPO2
值为_____.ED==1
•••OE=OCcos30°=2V3
在△EOD中,ODWED+EO
一点共线取等号,。。最大值为26十1
10转化构造两定边求最值
一本移动的多媒体教材
如图,在矩形48CD中,AB=延长£。交48于M
6,BC=8,4(?丐8。相交于。,£为。。易证明A0M8三WED
DE=BM
的一点,过点。作。F_L0E交8c于F,
连接MF
d=JDE2+BF2=QBM?+BF2=MF
而易证,MOF=90°
,MF=yjOM2+OF2
取MF中点”
连接BN、ONBN=1MFON=^MF
MF=BN+ON
在△BON中BN+ON>OB
三点共线取等号「.d的最小值为5
11面积转化法求最值
一本移动的多媒体教材
如图所示,正方形4BCD的边长为1,点P为连接4C,DP
8C上任意•点(可以与8点或C或合),分•.•四边形力8co是正方形,止方形48co的边氏为1
别过8,C,。作射线4P的垂线,垂足分别是
・•・/1B=CD.S正方形488=1
Br,C\D\则88'+CC+DD'的坡大值与最
11
小值的和为—..SAADP_2s正方形.sc/)-2
S4ABP+S»ACP=5△4BC=2s止方形a"电
S△人BP+S3cp+SfDP-1
二+g”•CC+^AP•DDf
=£2•(.BB^CC+DD1)=1
2
则H8'+CC'+DD'=24P
一本移动的多媒体教材
如图所示,正方形4BCD的边长为1,点P为
BC上仔藏•点(可以与B点或C项合).分
别过B,C,D作射线4P的垂线,垂足分别是
B'.C.D',则BB'+CC'+DD'的最大值与最
小值的和为一.
1W4PW2&当P与B重合时,有最大值2:
当尸与C重合时,有最小值企
■■>/2^BB'+CC'+DD'^2
...BB'+CC+DD'的最大值与最小值的和为0+2.
AB
相似转化法求最值
一本移动的多媒体教材[:A
如图,48是00的直役,点C在0。上,。是
。。上的一个动点,且C、D两点位于直径4B
当CD是直径时,DE最长
的两侧.连接CD,过心;C作CE工CD交DB的
延长线了点E.若AC=2,BC=4,则线段;48是直径
DE长的最大值是______「Z.4CS=90°
..AB=7AC»+BC»=2V5
■:eA=ZD,eACB=Z.DCE=90
,•,△/ISC-△DEC
.ABACBn2\/52
DECDDE2遥
••・DE=10
13相似系数化一法求最值
连接。E,在。BI:取。F=g
已知4点坐标为(4,0)、B点坐标为(0,3).。。=
EOF-fDABOE中
2,E为园上动点,则1B£+AE的最小值
乙BOE=Z.EOF
为________u
—OE=—OF=—2
OBOE3
•••△EOFs△BOE
EF22
•••-T77=-•••EF=BE
BE33
24V10
••・-BE+AE=EF+AE>AF=一^—
—本移动的多媒体教材:\
14三角函数系数化一求最值
如图所示.•条堂口的公路]穿过战原,公路边有
由已知巧.没消防。从公路上出。进入草地衍政
•消防站4距离公路5千米的地方仃♦居民点8,
A、8的直线即离是13「米天,居民点8若火.啪间「嗡+整焉(如+仍)
消防员受命欲前往救火,若消防车在公路上的最
7M间i最小.H求(,4+。历)的品小他
快速度是80千米小时.而在草地.卜•的法快速度是40
「米/小时,则消防车在出发后最快经过_____小时
过白A作射线4£•使咫4乂£=30。・1AEJM.
可到达居优点8.(友情捉梅消防车可从公路的任
.'.1DX+Dfl-DM+DB.iB.D.M点火找时N取最小.血*1小里山《战投般小
意位置进入草地行驶.)
HAM11,必DJD'.AtffrHCItfC
WJzCtfD,-ZF4D-30°.tfC-S
B
543510^35V3
13*■1"CD'~5tan308—-y-■BD*―3加―--~••,'AD'AC-CD'-12—-^―
.1•DT=40*sin300=6--
6
A
••.BF«■BD'+/TF=6+岁,t的最小俏为金x(6+竽)*产小时
一本移动的多媒体教材
15轨迹最值
如图所示,在平面直角坐标系中,己知点
4的坐标为(3,4),N点是以点力为圆心,
半径为3的I员I上的任意动点,以。N为直角
边作等腰直角阴形OMN,FL只点在第二
象限内,求4M的最小值及最大值.易得点M是回心为(-4,3)泮径为3的圆上面的点
一本移动的多媒体教材:4
16三动点的垂直三角形
过点P作4B对称点M
如图,在等边V角形4BC中,AB=4.P
过点P作4c对称点N
是BC边上的动点,Q是84边卜.的动点,
贝I],QP=QM,HP=HN
H是4c边卜.的动点,则△PQH的周长的
△的周长为
最小但为.PQH
QP+PH+QH=QM+QH+HM
连接MN
△PQH的周氏的最小值为MN
当点
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