难点01反比例函数综合(原卷版+解析)

难点01反比例函数综合近几年四川中考看，几乎年年会出现反比例函数综合的题目，经常以解答题的形式出现，难度中等偏下，属于各市中考考查的重点，考查主要内容是反比例函数与几何的综合应用，方程与不等式（组）的综合应用。反比例函数的图像与性质；相似的基本模型（以K型图为主）；反比例与一次函数联立，一元二次方程的求解，函数与方程思想的应用；相似作辅助线的基本方法【中考真题】1．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．2．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．3．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．4．(2023·四川雅安·统考中考真题）已知反比例函数的图象经过点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．【模拟题】1．(2023·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，等边在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点M在边上，且，将射线绕点O顺时针旋转，交边于点N，双曲线经过点N．(1)若，求k的值．(2)在（1）的条件下，若将直线向左平移m个单位长度，使其与双曲线只有一个公共点，求m的值．2．(2023·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、点，与轴交于点，其中点A的坐标为，点的横坐标为．(1)试确定反比例函数的关系式；(2)直接写出不等式的解集．(3)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标．3．(2023·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．4．(2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．(1)点的坐标_________；(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．5．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，∥x轴交反比例函数于点．(1)求、的值；(2)如图，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作∥，交反比例函数于点若，求的值．(3)如图，在的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似不含全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．(2023·四川广元·统考二模）如图1，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，．(1)求一次函数的解析式及点A的坐标；(2)如图2，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转，得到线段OP，点P恰好在反比例函数的图象上，过点P作，交OA的延长线于点，求k的值．7．(2023·四川成都·校联考模拟预测）如图，一次函数y＝kx＋n的图像经过点和点，与x轴交于点C，反比例函数经过点A和点B，．(1)求反比例函数和直线AB的解析式；(2)点为y轴上一动点，且∠AQB为钝角，求点Q的纵坐标t的取值范围；(3)点D在直线AB上且在第二象限反比例函数图像的上方运动，过点D作x轴、y轴的垂线分别交反比例函数的图像于点F、E，直线EF分别交x轴、y轴于点N、M，设点D的横坐标为s，求的值．8．(2023·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接．(1)求，的值和点坐标；(2)将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积；(3)在第一象限内的双曲线上求一点，使得．9．(2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求反比例函数解析式和B点坐标；(2)如图1，连接OA，P为线段OF上一点，使得，求P点坐标；(3)在反比例函数图象上是否存在一点M（不与A重合），直线AM分别与x轴，y轴交于点C，D两点，使得以A，C，F为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时直线AM的解析式；若不存在，请说明理由．难点01反比例函数综合近几年四川中考看，几乎年年会出现反比例函数综合的题目，经常以解答题的形式出现，难度中等偏下，属于各市中考考查的重点，考查主要内容是反比例函数与几何的综合应用，方程与不等式（组）的综合应用。反比例函数的图像与性质；相似的基本模型（以K型图为主）；反比例与一次函数联立，一元二次方程的求解，函数与方程思想的应用；相似作辅助线的基本方法【中考真题】1．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．答案:(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为(2)或(3)，【详解】（1）解：把点A的坐标代入，得，解得a=1，故点A的坐标为(1,4)，把点A的坐标代入，得k=4，故反比例函数的表达式为，，得，解得，，故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得，解得，故点D的坐标为，，，如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此时点C的坐标为(-2,-2)，，如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得，得，得，解得或(舍去)，故或(舍去)，故此时点C的坐标为，，综上，BC的长为或；（3）解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图∵设，，则又即解得或（舍去）则点设直线的解析式为，将点，解得直线的解析式为设，根据题意，的中点在直线上，则∵则解得或（在直线上，舍去）．综上所述，．2．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k＜0）的图象在第二象限交于A（﹣3，m），B（n，2）两点．（1）当m＝1时，求一次函数的解析式；（2）若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，求反比例函数的解析式．答案:（1）；（2）．【详解】解：（1）当时，点，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；点在反比例函数图象上，，，设直线的解析式为，则，，直线的解析式为；（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于，交于，则四边形是矩形，，，，，，，，在和中，，，，，，点，在反比例函数的图象上，，，，，，，，，，，，，在中，，，根据勾股定理得，，，，，反比例函数的解析式为．3．(2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直x轴于点，为坐标原点，四边形的面积为38．(1)求反比例函数及一次函数的解析式；(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点P的位置（不需证明），并求出点P的坐标和面积的最小值．答案:(1)，；(2)，．【详解】（1）解：∵在上，∴，即反比例函数解析式为：，设，∵四边形的面积为38．∴，整理得：，解得：（舍去），，∴，将和代入可得：解得：，∴一次函数解析式为：．（2）解：平移一次函数到第三象限，与在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短，的面积最小，设平移后的一次函数解析式为：，联立可得：，整理得：，∵有唯一交点P，∴，解得：或（舍去），将代入得：，解得：经检验：是分式方程的根，∴，连接PM，PN，过点P作的延长线交于点B，作交于点C，则：，∵，，，∴，，，∴．4．(2023·四川雅安·统考中考真题）已知反比例函数的图象经过点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．答案:（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，∴该反比例函数的表达式为；（2）①设点C（），则B（2，），D（），∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，∴∠EBO=∠DBC，∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，∵，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，又∵∠AKO为△AKD的外角，∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，∵AD∥OH，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．【模拟题】1．(2023·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，等边在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点M在边上，且，将射线绕点O顺时针旋转，交边于点N，双曲线经过点N．(1)若，求k的值．(2)在（1）的条件下，若将直线向左平移m个单位长度，使其与双曲线只有一个公共点，求m的值．答案:(1)；(2)【详解】（1）解：（1）如图①，过点N作轴于点D，∵，∴，∵是等边三角形，，∴∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，，∴点N的坐标为，∴．（2）如图②，将直线向左平移m个单位长度至直线，与x轴交于点E，则，∵，，设直线的解析式为：，则：，解得：，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，由可得，∵直线与双曲线只有一个公共点，∴，解得，（舍去），∴直线的解析式为，由，解得，∴，∴．2．(2023·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A、点，与轴交于点，其中点A的坐标为，点的横坐标为．(1)试确定反比例函数的关系式；(2)直接写出不等式的解集．(3)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标．答案:(1)(2)或(3)点的坐标为或【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得：，反比例函数的关系式为；（2）解：∵点的横坐标为，，，由图象可知，不等式的解集为或；（3）解：当以为一边时，如图所示：把，分别代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴直线与y轴交点坐标为：，设点，则，，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴点，∴轴，∵菱形的对角线垂直平分，∴，∴轴，∴；当以为一条对角线时，如图，设点，则，，∵，∴，即，解得：，∴，菱形的对角线与互相平分，∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：，∴点的坐标为：；综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或．3．(2023·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．答案:(1)反比例函数的表达式为，直线的解析式为(2)为等腰三角形时，点的坐标为或或(3)当线段与轴有交点时，的取值的最大值为【详解】（1）反比例函数的图象经过点和点，，，，反比例函数的表达式为，设直线的解析式为，，，，解得：，直线的解析式为；（2）设，则，，，为等腰三角形，或或，当时，，，解得：，；当时，，，，此方程无解；当时，，，解得：，，或；综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或；（3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图，设直线的解析式为，点的坐标为，，即．直线的解析式为点始终在直线上，直线与直线垂直．．．，由于，因此直线可设为．点的坐标为，，即．直线解析式为．当时，则有．点的坐标为．的中点坐标为即，点在直线上，．解得：．故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为．4．(2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内．(1)点的坐标_________；(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．答案:(1)(﹣3，1)(2)，(3)存在，或或【详解】（1）过点B，D作BH⊥x轴，DG⊥x轴交于点H，G，∵点A（-6，0），D（-7，3），∴OA=6，OG=7，DG=3，∴AG=OG-OA=1．∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，∴∠GDA=∠BAH．又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，∴△DGA≌△AHB，∴DG=AH=3，BH=AG=1，∴点B的坐标是（-3，1）；（2）由（1），得点B（-3，1），D（-7，3），∴运动t秒时，点，．设反比例函数的关系式为，∵点，在反比例函数图象上，∴，解得，k=6，∴反比例函数的关系式为；（3）存在，理由：由（2）知，点，，，∴，，反比例函数关系式为，设点Q，点P（0，s）．以点PQ四个点为顶点的四边形是平行四边形，∴①当PQ与是对角线时，∴，，解得，，∴，；②当与是对角线时，∴，，解得，，∴，；③当与是对角线时，∴，，解得，，∴，．综上所述：或或．5．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，∥x轴交反比例函数于点．(1)求、的值；(2)如图，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作∥，交反比例函数于点若，求的值．(3)如图，在的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似不含全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案:(1)3，18(2)(3)存在，或或或【详解】（1）作轴于，如图：，，∽，直线经过点，，解得，直线解析式为：，，，，，点坐标为，将点坐标代入，得．（2）轴，点的纵坐标为，代入，得，点坐标为，将点横坐标代入，得，点纵坐标为，代入，得，点坐标为，，，解方程得或舍，．（3）存在，理由如下：如图，过点作轴于点，由(2)知，，直线的解析式为：，，，，：，．，．Ⅰ、当时，如图所示，设与交于点，由知，轴，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，解得；；，直线的解析式为：；①若∽，则：：，不符合题意，舍去；②若∽，：：，即：：，解得，设，，解得，负值舍去，；Ⅱ、当时，①若∽，如图，，：：，，即点在上，：：，，，，直线的解析式为：；②若∽，：：，即：：，解得，设，，解得，负值舍去，；Ⅲ、当时，，直线的解析式为：；①若∽，则：：，不符合题意，舍去；②若∽，如图，：：，即：：，解得，设，，解得，正值舍去，；综上，符合题意的点的坐标为：或或或6．(2023·四川广元·统考二模）如图1，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，．(1)求一次函数的解析式及点A的坐标；(2)如图2，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转，得到线段OP，点P恰好在反比例函数的图象上，过点P作，交OA的延长线于点，求k的值．答案:(1)；A的坐标为(2)-16【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，∴．解得．∴．将代入一次函数中得．解得．∴一次函数的解析式为．联立一次函数解析式和反比例函数解析式得解得或∵，∴点A的坐标为．（2）解：如下图所示，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥PG交直线PG于点H，交y轴于点Q，设点．∴OG=-m，PG=n．∵线段OA绕点O逆时针旋转，得到线段OP，∴∠AOP=45°．∵PE⊥OP，∴∠OPE=90°．∴∠PEO=180°-∠OPE-∠AOP=45°，∠HPE+∠GPO=180°-∠OPE=90°．∴∠AOP=∠PEO．∴PE=OP．∵PG⊥x轴，EH⊥PG，∴∠EHP=∠PGO=90°．∴∠HPE+∠HEP=90°．∴∠HEP=∠GPO．∴．∴，．∴HG=PG+PH=n-m．∴．∴HQ=-m，OQ=n-m．∴QE=EH-HQ=m+n．∴．∵，∴解得∴点P的坐标为．将点P的坐标代入反比例函数，得．∴k的值为-16．7．(2023·四川成都·校联考模拟预测）如图，一次函数y＝kx＋n的图像经过点和点，与x轴交于点C，反比例函数经过点A和点B，．(1)求反比例函数和直线AB的解析式；(2)点为y轴上一动点，且∠AQB为钝角，求点Q的纵坐标t的取值范围；(3)点D在直线AB上且在第二象限反比例函数图像的上方运动，过点D作x轴、y轴的垂线分别交反比例函数的图像于点F、E，直线EF分别交x轴、y轴于点N、M，设点D的横坐标为s，求的值．答案:(1)，(2)，且(3)解析：（1）过A点作AP⊥x轴于点P，连接AO，如图，∵A点坐标为(a,3)，∴AP=3，在Rt△AOP中，sin∠AOC=，∴AO=5，∴根据勾股定理有：，∴a=-4，即A点坐标为(-4,3)，∵A点在上，∴，则有，则反比例函数解析式为：，∵B点(b,-6)在上，∴，即B点坐标为(2,-6)，∵A点、B点在直线，∴有：，解得，即直线AB的解析式为：；（2）连接AQ、BQ，如图，令x=0，可得y=-3，则直线AB与y轴的交点坐标为(0,-3)，当AQ⊥BQ时，在Rt△ABQ中，利用勾股定理有，∵A点坐标为(-4,3)，B点坐标为(2,-6)，Q点坐标(0,t)，∴，，，∴，化简得：，解得，，当t=-3时，A、Q、B三点共线，故∠AQB无法为钝角∴，∴可知当，且时，构成的∠AQB为钝角；（3）∵D点在直线AB上，且横坐标为s，且D点在第二象限的反比例函数图像上方，∴即D点在A点上方，∴令x=s，得，则D点坐标为，且s＜-4，∵DG⊥x轴，DH⊥y轴，∴F点的横坐标为s，E点的纵坐标为：，∵F点在反比例函数上，∴令x=s，得，则F点的坐标为：，∵E点在反比例函数上，∴令y=，得，解得，则E点的坐标为：，设直线EF的解析式为：，∴代入E、F坐标有：，解得：，∴直线EF的解析式为：，∴当x=0时，，即M