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文档简介
难点01反比例函数综合近几年四川中考看,几乎年年会出现反比例函数综合的题目,经常以解答题的形式出现,难度中等偏下,属于各市中考考查的重点,考查主要内容是反比例函数与几何的综合应用,方程与不等式(组)的综合应用。反比例函数的图像与性质;相似的基本模型(以K型图为主);反比例与一次函数联立,一元二次方程的求解,函数与方程思想的应用;相似作辅助线的基本方法【中考真题】1.(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点.(1)求反比例函数的表达式及点的坐标;(2)过点作直线,交反比例函数图象于另一点,连接,当线段被轴分成长度比为的两部分时,求的长;(3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设是第三象限内的反比例函数图象上一点,是平面内一点,当四边形是完美筝形时,求,两点的坐标.2.(2023·四川绵阳·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与反比例函数y=(k<0)的图象在第二象限交于A(﹣3,m),B(n,2)两点.(1)当m=1时,求一次函数的解析式;(2)若点E在x轴上,满足∠AEB=90°,且AE=2﹣m,求反比例函数的解析式.3.(2023·四川绵阳·统考中考真题)如图,一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点,垂直x轴于点,为坐标原点,四边形的面积为38.(1)求反比例函数及一次函数的解析式;(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点,请简要描述使的面积最小时点P的位置(不需证明),并求出点P的坐标和面积的最小值.4.(2023·四川雅安·统考中考真题)已知反比例函数的图象经过点.(1)求该反比例函数的表达式;(2)如图,在反比例函数的图象上点A的右侧取点C,作CH⊥x轴于H,过点A作y轴的垂线AG交直线于点D.①过点A,点C分别作x轴,y轴的垂线,交于B,垂足分别为为F、E,连结OB,BD,求证:O,B,D三点共线;②若,求证:.【模拟题】1.(2023·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,等边在平面直角坐标系中,点B、C在x轴上,点A在y轴的正半轴上,点M在边上,且,将射线绕点O顺时针旋转,交边于点N,双曲线经过点N.(1)若,求k的值.(2)在(1)的条件下,若将直线向左平移m个单位长度,使其与双曲线只有一个公共点,求m的值.2.(2023·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测)如图,直线与反比例函数的图象相交于点A、点,与轴交于点,其中点A的坐标为,点的横坐标为.(1)试确定反比例函数的关系式;(2)直接写出不等式的解集.(3)点是轴上一点,点是坐标平面内一点,以点,,,为顶点的四边形是菱形,请直接写出点的坐标.3.(2023·四川成都·统考二模)已知平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象交于点和点,与轴交于点,与轴交于点.(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式;(2)若在轴上有一异于原点的点,使为等腰三角形,求点的坐标;(3)若将线段沿直线进行对折得到线段,且点始终在直线上,当线段与轴有交点时,求的取值的最大值.4.(2023·四川成都·统考一模)如图,在平面直角坐标系中,四边形为正方形,已知点、,点、在第二象限内.(1)点的坐标_________;(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒,若存在某一时刻,使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上,请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式;(3)在(2)的情况下,问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点,使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.5.(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模)如图,在平面直角坐标系中,直线经过点,与轴正半轴交于点,与反比例函数交于点,且,∥x轴交反比例函数于点.(1)求、的值;(2)如图,若点为线段上一点,设的横坐标为,过点作∥,交反比例函数于点若,求的值.(3)如图,在的条件下,连接并延长,交轴于点,连接,在直线上方是否存在点,使得与相似不含全等?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.6.(2023·四川广元·统考二模)如图1,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A,.(1)求一次函数的解析式及点A的坐标;(2)如图2,连接OA,将线段OA绕点O逆时针旋转,得到线段OP,点P恰好在反比例函数的图象上,过点P作,交OA的延长线于点,求k的值.7.(2023·四川成都·校联考模拟预测)如图,一次函数y=kx+n的图像经过点和点,与x轴交于点C,反比例函数经过点A和点B,.(1)求反比例函数和直线AB的解析式;(2)点为y轴上一动点,且∠AQB为钝角,求点Q的纵坐标t的取值范围;(3)点D在直线AB上且在第二象限反比例函数图像的上方运动,过点D作x轴、y轴的垂线分别交反比例函数的图像于点F、E,直线EF分别交x轴、y轴于点N、M,设点D的横坐标为s,求的值.8.(2023·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测)如图,已知一次函数与反比例函数的图象相交于,两点,过点作轴于点,连接.(1)求,的值和点坐标;(2)将沿轴向右平移,对应得到,当反比例函数图象经过的中点时,求的面积;(3)在第一象限内的双曲线上求一点,使得.9.(2023·四川成都·统考二模)如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于F,E两点,与反比例函数的图象交于点和点B.(1)求反比例函数解析式和B点坐标;(2)如图1,连接OA,P为线段OF上一点,使得,求P点坐标;(3)在反比例函数图象上是否存在一点M(不与A重合),直线AM分别与x轴,y轴交于点C,D两点,使得以A,C,F为顶点的三角形与相似,若存在,请求出此时直线AM的解析式;若不存在,请说明理由.难点01反比例函数综合近几年四川中考看,几乎年年会出现反比例函数综合的题目,经常以解答题的形式出现,难度中等偏下,属于各市中考考查的重点,考查主要内容是反比例函数与几何的综合应用,方程与不等式(组)的综合应用。反比例函数的图像与性质;相似的基本模型(以K型图为主);反比例与一次函数联立,一元二次方程的求解,函数与方程思想的应用;相似作辅助线的基本方法【中考真题】1.(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点.(1)求反比例函数的表达式及点的坐标;(2)过点作直线,交反比例函数图象于另一点,连接,当线段被轴分成长度比为的两部分时,求的长;(3)我们把有两个内角是直角,且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设是第三象限内的反比例函数图象上一点,是平面内一点,当四边形是完美筝形时,求,两点的坐标.答案:(1)反比例函数的表达式为,点的坐标为(2)或(3),【详解】(1)解:把点A的坐标代入,得,解得a=1,故点A的坐标为(1,4),把点A的坐标代入,得k=4,故反比例函数的表达式为,,得,解得,,故点A的坐标为(1,4),点的坐标为;(2)解:设直线AC的解析式为y=kx+b,点C的坐标为,直线AC与y轴的交点为点D,把点A、C的坐标分别代入y=kx+b,得,解得,故点D的坐标为,,,如图:当AD:CD=1:2时,连接BC,得,得,得,解得或(舍去),故或(舍去),故此时点C的坐标为(-2,-2),,如图:当CD:AD=1:2时,连接BC,得,得,得,解得或(舍去),故或(舍去),故此时点C的坐标为,,综上,BC的长为或;(3)解:如图,过点作,交的另一支于点,过点作轴的平行线,过点作轴的垂线,交于点,作交于点,设交于点,如图∵设,,则又即解得或(舍去)则点设直线的解析式为,将点,解得直线的解析式为设,根据题意,的中点在直线上,则∵则解得或(在直线上,舍去).综上所述,.2.(2023·四川绵阳·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数的图象与反比例函数y=(k<0)的图象在第二象限交于A(﹣3,m),B(n,2)两点.(1)当m=1时,求一次函数的解析式;(2)若点E在x轴上,满足∠AEB=90°,且AE=2﹣m,求反比例函数的解析式.答案:(1);(2).【详解】解:(1)当时,点,点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为;点在反比例函数图象上,,,设直线的解析式为,则,,直线的解析式为;(2)如图,过点作轴于,过点作轴于,过点作于,交于,则四边形是矩形,,,,,,,,在和中,,,,,,点,在反比例函数的图象上,,,,,,,,,,,,,在中,,,根据勾股定理得,,,,,反比例函数的解析式为.3.(2023·四川绵阳·统考中考真题)如图,一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点,垂直x轴于点,为坐标原点,四边形的面积为38.(1)求反比例函数及一次函数的解析式;(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点,请简要描述使的面积最小时点P的位置(不需证明),并求出点P的坐标和面积的最小值.答案:(1),;(2),.【详解】(1)解:∵在上,∴,即反比例函数解析式为:,设,∵四边形的面积为38.∴,整理得:,解得:(舍去),,∴,将和代入可得:解得:,∴一次函数解析式为:.(2)解:平移一次函数到第三象限,与在第三象限有唯一交点P,此时P到MN的距离最短,的面积最小,设平移后的一次函数解析式为:,联立可得:,整理得:,∵有唯一交点P,∴,解得:或(舍去),将代入得:,解得:经检验:是分式方程的根,∴,连接PM,PN,过点P作的延长线交于点B,作交于点C,则:,∵,,,∴,,,∴.4.(2023·四川雅安·统考中考真题)已知反比例函数的图象经过点.(1)求该反比例函数的表达式;(2)如图,在反比例函数的图象上点A的右侧取点C,作CH⊥x轴于H,过点A作y轴的垂线AG交直线于点D.①过点A,点C分别作x轴,y轴的垂线,交于B,垂足分别为为F、E,连结OB,BD,求证:O,B,D三点共线;②若,求证:.答案:(1)反比例函数的表达式为;(2)①证明见详解;②证明见详解.【详解】解:(1)∵反比例函数的图象经过点,∴,∴该反比例函数的表达式为;(2)①设点C(),则B(2,),D(),∴OE=,BE=2,CD=3-,BC=,∴tan∠EBO=,tan∠DBC=,∴∠EBO=∠DBC,∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°,∴点O,点B,点D三点共线;②设AC与OD交于K,∵AD⊥y轴,CB⊥y轴,∴AD∥BC∥x轴,∵AF⊥x轴,DH⊥x轴,∴AB∥DC,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AF⊥x轴,AD∥x轴,∴AF⊥AD,∴∠BAD=90°,∴四边形ABCD为矩形,∴∠KAD=∠KDA,KA=KC=,∵,∴AO=AK,∴∠AOD=∠AKO,又∵∠AKO为△AKD的外角,∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK,∵AD∥OH,∴∠DOH=∠ADK,∴∠AOD=2∠DOH.【模拟题】1.(2023·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测)如图,等边在平面直角坐标系中,点B、C在x轴上,点A在y轴的正半轴上,点M在边上,且,将射线绕点O顺时针旋转,交边于点N,双曲线经过点N.(1)若,求k的值.(2)在(1)的条件下,若将直线向左平移m个单位长度,使其与双曲线只有一个公共点,求m的值.答案:(1);(2)【详解】(1)解:(1)如图①,过点N作轴于点D,∵,∴,∵是等边三角形,,∴∴,,又∵,∴,∵,∴,∴,又∵,∴,∴,即,∴,∵,∴,∴,,∴点N的坐标为,∴.(2)如图②,将直线向左平移m个单位长度至直线,与x轴交于点E,则,∵,,设直线的解析式为:,则:,解得:,∴直线的解析式为,设直线的解析式为,由可得,∵直线与双曲线只有一个公共点,∴,解得,(舍去),∴直线的解析式为,由,解得,∴,∴.2.(2023·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测)如图,直线与反比例函数的图象相交于点A、点,与轴交于点,其中点A的坐标为,点的横坐标为.(1)试确定反比例函数的关系式;(2)直接写出不等式的解集.(3)点是轴上一点,点是坐标平面内一点,以点,,,为顶点的四边形是菱形,请直接写出点的坐标.答案:(1)(2)或(3)点的坐标为或【详解】(1)解:将点A的坐标代入反比例函数中得:,反比例函数的关系式为;(2)解:∵点的横坐标为,,,由图象可知,不等式的解集为或;(3)解:当以为一边时,如图所示:把,分别代入得:,解得:,∴,把代入得:,∴直线与y轴交点坐标为:,设点,则,,∵,∴,即,解得:或(舍去),∴点,∴轴,∵菱形的对角线垂直平分,∴,∴轴,∴;当以为一条对角线时,如图,设点,则,,∵,∴,即,解得:,∴,菱形的对角线与互相平分,∴根据中点坐标公式可得,与交点的坐标为:,∴点的坐标为:;综上,以点,,,为顶点的四边形是菱形,点的坐标为或.3.(2023·四川成都·统考二模)已知平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象交于点和点,与轴交于点,与轴交于点.(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式;(2)若在轴上有一异于原点的点,使为等腰三角形,求点的坐标;(3)若将线段沿直线进行对折得到线段,且点始终在直线上,当线段与轴有交点时,求的取值的最大值.答案:(1)反比例函数的表达式为,直线的解析式为(2)为等腰三角形时,点的坐标为或或(3)当线段与轴有交点时,的取值的最大值为【详解】(1)反比例函数的图象经过点和点,,,,反比例函数的表达式为,设直线的解析式为,,,,解得:,直线的解析式为;(2)设,则,,,为等腰三角形,或或,当时,,,解得:,;当时,,,,此方程无解;当时,,,解得:,,或;综上所述,为等腰三角形时,点的坐标为或或;(3)当点落到轴上时,的取值的最大,如图,设直线的解析式为,点的坐标为,,即.直线的解析式为点始终在直线上,直线与直线垂直...,由于,因此直线可设为.点的坐标为,,即.直线解析式为.当时,则有.点的坐标为.的中点坐标为即,点在直线上,.解得:.故当线段与轴有交点时,的取值的最大值为.4.(2023·四川成都·统考一模)如图,在平面直角坐标系中,四边形为正方形,已知点、,点、在第二象限内.(1)点的坐标_________;(2)将正方形以每秒2个单位的速度沿轴向右平移秒,若存在某一时刻,使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上,请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式;(3)在(2)的情况下,问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点,使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)(﹣3,1)(2),(3)存在,或或【详解】(1)过点B,D作BH⊥x轴,DG⊥x轴交于点H,G,∵点A(-6,0),D(-7,3),∴OA=6,OG=7,DG=3,∴AG=OG-OA=1.∵∠DAG+∠BAH=90°,∠DAG+∠GDA=90°,∴∠GDA=∠BAH.又∠DGA=∠AHB=90°,AD=AB,∴△DGA≌△AHB,∴DG=AH=3,BH=AG=1,∴点B的坐标是(-3,1);(2)由(1),得点B(-3,1),D(-7,3),∴运动t秒时,点,.设反比例函数的关系式为,∵点,在反比例函数图象上,∴,解得,k=6,∴反比例函数的关系式为;(3)存在,理由:由(2)知,点,,,∴,,反比例函数关系式为,设点Q,点P(0,s).以点PQ四个点为顶点的四边形是平行四边形,∴①当PQ与是对角线时,∴,,解得,,∴,;②当与是对角线时,∴,,解得,,∴,;③当与是对角线时,∴,,解得,,∴,.综上所述:或或.5.(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模)如图,在平面直角坐标系中,直线经过点,与轴正半轴交于点,与反比例函数交于点,且,∥x轴交反比例函数于点.(1)求、的值;(2)如图,若点为线段上一点,设的横坐标为,过点作∥,交反比例函数于点若,求的值.(3)如图,在的条件下,连接并延长,交轴于点,连接,在直线上方是否存在点,使得与相似不含全等?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)3,18(2)(3)存在,或或或【详解】(1)作轴于,如图:,,∽,直线经过点,,解得,直线解析式为:,,,,,点坐标为,将点坐标代入,得.(2)轴,点的纵坐标为,代入,得,点坐标为,将点横坐标代入,得,点纵坐标为,代入,得,点坐标为,,,解方程得或舍,.(3)存在,理由如下:如图,过点作轴于点,由(2)知,,直线的解析式为:,,,,:,.,.Ⅰ、当时,如图所示,设与交于点,由知,轴,,,,设,则,在中,由勾股定理可得,,解得;;,直线的解析式为:;①若∽,则::,不符合题意,舍去;②若∽,::,即::,解得,设,,解得,负值舍去,;Ⅱ、当时,①若∽,如图,,::,,即点在上,::,,,,直线的解析式为:;②若∽,::,即::,解得,设,,解得,负值舍去,;Ⅲ、当时,,直线的解析式为:;①若∽,则::,不符合题意,舍去;②若∽,如图,::,即::,解得,设,,解得,正值舍去,;综上,符合题意的点的坐标为:或或或6.(2023·四川广元·统考二模)如图1,反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A,.(1)求一次函数的解析式及点A的坐标;(2)如图2,连接OA,将线段OA绕点O逆时针旋转,得到线段OP,点P恰好在反比例函数的图象上,过点P作,交OA的延长线于点,求k的值.答案:(1);A的坐标为(2)-16【详解】(1)解:∵点在反比例函数的图象上,∴.解得.∴.将代入一次函数中得.解得.∴一次函数的解析式为.联立一次函数解析式和反比例函数解析式得解得或∵,∴点A的坐标为.(2)解:如下图所示,过点P作PG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥PG交直线PG于点H,交y轴于点Q,设点.∴OG=-m,PG=n.∵线段OA绕点O逆时针旋转,得到线段OP,∴∠AOP=45°.∵PE⊥OP,∴∠OPE=90°.∴∠PEO=180°-∠OPE-∠AOP=45°,∠HPE+∠GPO=180°-∠OPE=90°.∴∠AOP=∠PEO.∴PE=OP.∵PG⊥x轴,EH⊥PG,∴∠EHP=∠PGO=90°.∴∠HPE+∠HEP=90°.∴∠HEP=∠GPO.∴.∴,.∴HG=PG+PH=n-m.∴.∴HQ=-m,OQ=n-m.∴QE=EH-HQ=m+n.∴.∵,∴解得∴点P的坐标为.将点P的坐标代入反比例函数,得.∴k的值为-16.7.(2023·四川成都·校联考模拟预测)如图,一次函数y=kx+n的图像经过点和点,与x轴交于点C,反比例函数经过点A和点B,.(1)求反比例函数和直线AB的解析式;(2)点为y轴上一动点,且∠AQB为钝角,求点Q的纵坐标t的取值范围;(3)点D在直线AB上且在第二象限反比例函数图像的上方运动,过点D作x轴、y轴的垂线分别交反比例函数的图像于点F、E,直线EF分别交x轴、y轴于点N、M,设点D的横坐标为s,求的值.答案:(1),(2),且(3)解析:(1)过A点作AP⊥x轴于点P,连接AO,如图,∵A点坐标为(a,3),∴AP=3,在Rt△AOP中,sin∠AOC=,∴AO=5,∴根据勾股定理有:,∴a=-4,即A点坐标为(-4,3),∵A点在上,∴,则有,则反比例函数解析式为:,∵B点(b,-6)在上,∴,即B点坐标为(2,-6),∵A点、B点在直线,∴有:,解得,即直线AB的解析式为:;(2)连接AQ、BQ,如图,令x=0,可得y=-3,则直线AB与y轴的交点坐标为(0,-3),当AQ⊥BQ时,在Rt△ABQ中,利用勾股定理有,∵A点坐标为(-4,3),B点坐标为(2,-6),Q点坐标(0,t),∴,,,∴,化简得:,解得,,当t=-3时,A、Q、B三点共线,故∠AQB无法为钝角∴,∴可知当,且时,构成的∠AQB为钝角;(3)∵D点在直线AB上,且横坐标为s,且D点在第二象限的反比例函数图像上方,∴即D点在A点上方,∴令x=s,得,则D点坐标为,且s<-4,∵DG⊥x轴,DH⊥y轴,∴F点的横坐标为s,E点的纵坐标为:,∵F点在反比例函数上,∴令x=s,得,则F点的坐标为:,∵E点在反比例函数上,∴令y=,得,解得,则E点的坐标为:,设直线EF的解析式为:,∴代入E、F坐标有:,解得:,∴直线EF的解析式为:,∴当x=0时,,即M
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