广东省广州市2023届高三冲刺（一）数学试题（含答案解析）

广东省广州市2023届高三冲刺（一）数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.设集合〃={x|f_4x+320},?/={x|log2x<l},则集合McN=（）

A.（-oo,l]B.（0,1]C.[1,2]D.（-oo,0]

2.已知z=」—走i,且z?+应+b=0,其中。/为实数，IjllJ（）

22

A.。=1,。=0B.a=—l,b=0

C.a=l,b=lD.a=-\,b=-\

3.已知向量a力满足“力=10,且。=（-3,4）,则。在b上的投影向量为（）

A.（-6,8）B.（6,-8）C.1我）D.停一|）

4.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一

个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数

的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一

个大于1的自然数N（N不为素数）能唯一地写成N=p"p?/*（其中P,是素数，

《是正整数，\<i<k,pt<p2<<pj,将上式称为自然数N的标准分解式，且N的

标准分解式中有q+4++《个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可

以组成不同的三位数的个数为（）

A.6B.13C.19D.60

5.已知a,万«0,乃），则“sina+sin力<§"是"sin（a+万）<的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

6.斐波那契数列{q}满足4=出=1,%+a„_2（n>3）,其每一项称为“斐波那契数”.

如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，

推出所+4+⑵是斐波那契数列的第（）项.

“2023

□

n=1n=2n=3n=4n=5

A.2022B.2023C.2024D.2025

7.已知圆台。0的上、下底面半径分别为r,R,高为人平面。经过圆台。0的两条

母线，设々截此圆台所得的截面面积为S,则（)

A.当/iNR—r时,S的最大值为（R+2r）〃

s的最大值为匕业史mJ

B.当时,

2（E）

C.当〃<R-r时,S的最大值为（R+2r）力

s的最大值为］

D.当时,

2(i

2

8.设双曲线-2=l（a>0/〉0）的右焦点为八M（0,3/?）,若直线/与E的右支

CT

交于A,B两点,且尸为的重心，则直线/斜率的取值范围为（）

A.,6。(6,+8)B.市0(5/3,+oo)

)

C.卜巴-闷D-疝-D.卜8,一闷可-倔-

二、多选题

9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它

反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的

子女总数.为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率》以及女性平均受教育

年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据（x,,y,zj（i=l,2,,10）绘

制了散点图，并得到经验回归方程2=7.54+0.33xJ=2.88-0.41x,对应的决定系数分

别为耳，用,则（）

试卷第2页，共6页

2012年2016年2018年2022年2

.0

.8

.611

14

<1O

^2

艇1

9

州

=

代

理8

.0

、

1

17

6

68

人均GDP/万元

A.人均GDP和女性平均受教育年限正相关

B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关

C.<R；

D.未来三年总和生育率将继续降低

10.在棱长为1的正方体ABCD-4AG。中，点N分别是棱AR,的中点，则（）

2

A.异面直线与CN所成角的余弦值为《

B.MCt1D.N

C.点N到平面的距离为。

D.平面MNC截正方体所得的截面是五边形

11.已知曲线C是平面内到定点尸（0,1）和定直线/：y=T的距离之和等于4的点的轨迹,

若尸（%,%）在曲线C上，则下列结论正确的是（）

A.曲线C关于x轴对称

B.曲线C上任意一点到原点的距离都不超过后

C.曲线C及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

D.点到点01,-5和点F（0,l）的距离之和最小为£

12.已知1,4,a2,an,2为等差数列，记5“=4+%++凡，T„=ata2La„,

则（）

A.2为常数B.玩为常数

c.S“随着〃的增大而增大D.4,随着〃的增大而增大

三、填空题

13.已知函数〃x)=5sinx+3cou,则曲线y=〃x)在点与5)处的切线方程为

14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后

遗产“，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间

的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=35m,ZADB=135,

ZBDC=ZDCA=\5,ZACB=120,则A、B两点的距离为m.

15.在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为M+y2-8x+l5=0,若直线y=H-2上至

少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆C有公共点，则％的最小值为

16.己知函数/(x)=alnx-2x(aK0),若不等式x"22e2"(x)+e2»cos(/(x))对x>0恒

成立，则实数。的取值范围为.

四、解答题

17.若函数/(x)=cos(0x-^J->/§cos(<yx+5),其中@>0.

(1)若0=2,求/(看)；

上没有零点，求。的取值范围.

18.记数列｛q｝的前"项和为5“，％=1,.给出下列两个条件：条件①：数列｛4｝

和数列电+4｝均为等比数列；条件②：2"q+2-%+…+2%="%.试在上面的两个条件

中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两间的解答：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记正项数列｛%｝的前〃项和为7.，仇=4，%=%，41,="凡',求立(-1)'%].

1=1

19.己知四棱锥的底面A8CO是棱长为2的菱形，ZBAD=60°,PD=6

若NPDC=NPDB,且尸。与平面488所成的角为45。，E为AD的中点，点F在线

试卷第4页，共6页

段PA上，且PC〃平面3ER

(2)求平面网阳与平面BEF夹角的余弦值.

20.甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛

中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种.

(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的

分布列和数学期望；

(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5,受心理因素影响，从第二次开始，每次成功

的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增

加0」；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少01.

(i)求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；

(ii)求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率.

2

21.已知圆O：/+y2=5,椭圆「:土+y2=［的左右焦点为耳,马,如图尸为圆上任意一

4

点，过户分别作椭圆两条切线切椭圆于AB两点.

(1)若直线小的斜率为2,求直线心的斜率：

(2)作PQ2A3于点。，判断点尸在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果

存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.

22.设函数〃司:号+6，其中aeR.

(1)讨论/(x)的单调性;

⑵若〃x）存在两个极值点，设极大值点为m,为为/（X）的零点，求证：Xo-x,>ln2.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M、N,再由集合的交集

运算可得选项.

【详解】解：由4X+3N0得(X-1)(X-3)N0,解得xWl或X23,所以集合

M={X|X2-4X+3>0}=(^»,1][3,+00),

由log2*41得logzXWbgz2,解得0<x42,所以集合"=5|1(想2》41}=(0,2],

所以历N=(O,l],

故选：B.

2.A

【分析】根据题意，由条件可得Z?工，然后结合复数的运算，即可得到结果.

【详解】因为Z4-3i,则z2=&-q]=一：一鼻，小+男

22[22)2222

又因为z?+次+Z?=0,BP---—i+a—+—i+0=0

化简可得:-----\-b

22

----------卜b=0ci_1

即22，解得,八

1n8=0

4-1=0I

故选:A

3.C

【分析】向量a在向量〃上的投影向量的定义计算即可.

【详解】解：因为向量8=(-3,4),且夕匕=10,那么W=J(-3『+42=5,

hah(-34)

所以向量a在向量〃上的投影向量为同cos(d,B>

R=K5

故选：c.

4.C

[分析]首先根据N的标准分解式得到360=23X32X5,然后根据这6个素数的特点进行分

答案第1页，共20页

类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解.

【详解】根据N的标准分解式可得360=2酿32*5，

故从2,2,2,3,3,5这6个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：

①选取3个2,可以组成1个三位数；

②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成C；xC；=9个不同的三位数；

③选取1个2后，再选2个3,可以组成=3个不同的三位数；

④选取2,3,5,可以组成A；=6个不同的三位数.所以从120的标准分解式中任取3个素

数，一共可以组成1+9+3+6=19个不同的三位数.

故选：C.

5.A

7T1

【详解】当。=夕=3,sina=sin尸=1,sina+sin/=2,sin(a+/?)=0<-,所以后不能推前，

又sin(a+尸)=sinacos分+cosasin〃vsina+sin分，所以前推后成立，所以是充分不必要条

件，故选A.

6.C

2023

【分析】利用斐波那契数列递推公式可得=%+吗+-为+4，再求出2d即可求解判断

M=l

作答.

【详解】依题意,a]=a2=l,an+2=an+i+a„,有。川=a^2-a„,

于是4+1=4用(4,+2-4)=4+2%+|-(+0，而=%4，

2023

因此Z"〃=生”1+(〃302—)+(包〃3一〃3“2)++(〃2024°2023—〃2023〃2022)=。2024。2023»

〃=1

。2023

222

所以可+对++诙叱是斐波那契数列的第2024项.

〃2023

故选：C

7.D

【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分。NR-A•和〃讨论即可.

【详解】如图,将圆台。。补成圆锥PO.

答案第2页，共20页

设圆台。。的母线长为/，则/=/+(R-r)2,等腰梯形ABC。为过两母线的截面.

设PC=x,ZAP8=0,由(=告，得工=片，

Rx+lR-r

则S=SPAB-SpcD=1[U+O2-.x2]sin(?=-^-^-/2sin。，

2L」2(/?-r)

当/?2R-r时，6»<90°，当sin。最大，即截面为轴截面时面积最大,

则S的最大值为g(2R+2r)/i=(R+r)/z.

当/i<R-r时,。>90°，当sin8=l时，截面面积最大，

22

R+r/(/?+r)[/j+(/?-r)]

则S的最大值为

2(/?-r)―)

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到

S=R^rl2sin0,然后再分/iNR—，•和/?</?-/•讨论即可•

2(7?-r)

8.C

[分析]根据重心性质得出A8中点。的坐标，根据直线/与E的右支交于A,B两点可知点D

在右支内部，

将。的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线/的斜率

与a,4c之间等式关系，

由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线/的斜率与

a,0,c之间等式关系，

即可得斜率的取值范围，解出即可.

【详解】设。为A8的中点，根据重心性质可得=2/7)，

因为F(c,0),M(0,3b),则〃仁T)'

因为直线/与E的右支交于A,8两点，所以点。在双曲线右支内部，

答案第3页，共20页

9c9b/H

故有丁彳、［,解得£＞如，

万一丁＞1a3

当直线/斜率不存在时，A8的中点。在x轴上,

故M,££＞三点不共线，不符合题意舍，

设直线/斜率为砥B，设4(&乂),8(%2，%)，

所以占+々=3。，%+%=-3方，

，2城

正

因为AB在双曲线上，所以、2=1

%=1

X2官

a~

2222

两式相减可得：♦二垢=)，二%一，

a-b1

股(%-%)(内+玉)(%-%)(%+)2)

a2~b2，

即有型针=3Mx，-必)成立,

ab~

即有如=-与,因为“,£48不共线，

a

即3=一4片如=-亚，即C2r3/，即exG，

ac

所以E的离心率的取值范围为(半,6］。(6+e),

3

y-3J(3,+°°),

【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中

答案第4页，共20页

点和直线斜率有关问题的思路有：

（1）设出点的坐标4（5,y）,3仁,％）;

（2）根据中点坐标建立等式：为+々，%+%;

（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形：

（4）将西+七，%+%及上=息二互代入等式中即可得出关系

X\~X2

9.AB

【分析】根据回归方程判断A,写出女性平均受教育年限z和总和生育率，的关系式，从而

判断B,根据散点图的拟合效果判断C,由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持

续降低，从而判断D.

【详解】由回归方程2=7.54+O.33x可知，人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正

确；

因为z=7.54+0.33xJ=2.88-0.4lx,可得女性平均受教育年限工和总和生育率》的关系式

为＞=2.88-0.41x2-754,所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；

-0.33

由散点图可知I,回归方程2=7.54+0.33x相对3=288-0.41x拟合效果更好，所以用＞收,故

C错误；

根据回归方程3=2.88-0.41X预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降

低，故D错误.

故选:AB

10.ABD

【分析】根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线角、点到平面距离判

断ABC；作出截面判断D作答.

【详解】在棱长为1的正方体A88-A耳中，建立如图所示的空间直角坐标系，

答案第5页，共20页

a

M(

则0(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,1),G(0,1,1),D](0,0,l),M(-,0,l),N(l,-,0),

92

对于A,£>M=(-,0,l),C^=(l,--,0),cos<DM,C?V)=2=-,

22J5J55

-------X--------

22

9

所以异面直线MD与CN所成角的余弦值为二，A正确；

对于B,Mg=(—g,l,0)，AN=(l,g,-l),有MC「RN=Q,所以MCJRN,B正确;

对于C,D4,=(1,0,V),DC]=(0,1,1),设平面4G。的法向量〃=(x,y,z),

n-DA.=x+z=0i

则〈，令z=-l,得〃=(1,1,一1),而QN=(l，x，0),

n-DC}=y+z=02

1+1厂

所以点N到平面AG。的距离d=l〃+N|_2,V3,C错误；

-访一万

对于D,延长CN交ZM的延长线于E,直线EM交AA于p,交DD,的延长线于F,连接CF

交CQ于Q,如图，

答案第6页，共20页

连接MQ,NP,于是五边形CNPMQ是平面MNC截正方体所得的截面，D正确.

故选：ABD

11.BC

【分析】由题意得到曲线C的解析式，画出图象，由图直观判断即可.

【详解】设M(x,y)是曲线C上任意一点，由于M(x,y)到定点尸(0,1)和定直线/:y=7的距离

之和等于4.

所以Jx2+(y-l)2+|y+l|=4,当yNT时，J/+(汽_])2=37,

即x2+(y-I)2=y2-6y+9,化简得：y=2-yX2(-l<y<2),

如图，对于A,显然图象不关于x轴对称，故A错误；

y=2-^(-l<y<2),当y=-l时,解得A(26,-1),

点A到原点的距离最大为：/2扬2+(-1)2=75,故B正确；

由图可知曲线C及其内部共包含了19个整点，故C正确；

如图：点G到尸(0,1)与到直线/：y=-l的距离之和为4,

点P(%,%)到点,-|卜口点尸(0,1)的距离之和最小值为：4-|0G|<4,所以选项D错误.

故选：BC.

12.ACD

3

【分析】根据等差数列的求和公式可得S〃=5〃，进而可判断AC,构造函数

/(x)=lnx-(l-进而判断7；的单调性，即可判断BD.

答案第7页，共20页

【详解】由于1,%,。2,…，2为等差数列，所以

c(l+2)(n+2)

5〃=4+生++%=1+4+/++%+2-3=-------------

S3

对于A,方?所以A正确，

3

对于C,S„=jn,5“随着”的增大而增大，故正确,

对于B,1,,2,公差为1=」一,所以4=〃+2几+3几+〃+l_2〃+l

〃+1n+\n+\

__n+2〃+3〃+42〃+l(w+2)(/?+3)(2/7+1)

因此lt看=华24=”--=.......-.......

口+2)(〃+3)(2〃+1)_或"+2)5+3)(2〃+1)

江不为常数，故B错误,

=4(〃+1)"714-1

(〃+2)(〃+3)(2〃+1)(〃+3)(〃+4)(2/7+3)

对于D,1，所以

(”+1)”5+2)”“

("+3)5+4)伽+3)乂5+1)”_(2"+2)(2"+3)(〃+1)"_2(2〃+3)(〃+1)"‘

T„(〃+2广’("+2)(〃+3)(2/2+1)(N+2)("+2)”“(〃+2)(〃+2)"“

令f(x)=lnx-|,(0<x<l),则r(x)=：-5=?<0,在0<x<l恒成立，所以

/(x)>/(1)=0,即(I>x>0),

M+1

n+\I=(/1+l)lnn+\>(e)1〃+1

因此In一党=-1，所以I>e-'

w+2n+2〃+2

2=生@竺七＞也型十2(2/74-3)>2(2〃+3)_4n+6

T,（“+2）（”+2户（〃+2）e(n+2)3(几+2)3/t+6

所以故T.随着"的增大而增大，D正确,

故选：ACD

13.6x+2y-37t-10=0

【分析】根据题意，求导可得了'（X）,再由直线的点斜式即可得到结果.

【详解】由题意可得，/'(x)=5cosx-3sinx,则k=/e)=0-3=-3

由直线的点斜式可得尸5=-31最

，化简可得6x+2y-37T-10=0.

故答案为：6x+2y-37t-10=0

14.35石

答案第8页，共20页

【分析】根据己知的边和角，在△88中，由正弦定理解得8。，在△453中，由余弦定

理得A8.

【详解】因为NA£>B=135，ZBDC=ZDCA=\5，所以N4DC=150，ZDAC=ZDCA=\5,

所以AD=C£)=35,

又因为N4C3=120，所以/BCD=135,NC8£)=30，

BD35

在△BC。中，由正弦定理得,即五一J,解得BD=35夜，

sinNBCDsinNCBD

~22

在△ABO中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,

^AB2=352+(35V2)?-2x35x35V2x一孝)，解得4B=356m.

故答案为：356

15.—/—0.75

4

【分析】求出圆C的圆心、半径，并设出动圆圆心坐标，利用两圆有公共点的条件，建立不

等式求解作答.

【详解】圆C：。-4)2+〉2=1的圆心(：(4,0),半径r=l,

以直线丫="一2上的点「(飞，七-劣为圆心，3为半径的圆与圆C有公共点，贝IJIPC区4,

于是加%-4)2+(线-2产<4,整理得/2+1)片-4(A+2)x0+4<0,

依题意，不等式(犷+1)*-4(k+2)x0+440有解，则A=16(Z+2)2-16(公+1R0,解得

3

所以攵的最小值为

4

故答案为：—：3

4

答案第9页，共20页

【分析】将不等式等价转化，构造函数g(/)=e，-2/-cos/,并探讨其性质，再利用导数分

类讨论f=/(x)的值域即可求解作答.

【详解】

4-2/(x)>cos[/(x)]=-2/(x)-cos[/(x)]20oe/,x,-2/(x)-cos[/(x)]>0,

e

令r=/(x),贝ijg(r)=e'-2f-cosr,g'(f)=e'-2+sinr,设/2(t)=e'-2+sinr,则

h\t)=e'+cost,

当TO时,e'41,sinYl,且等号不同时成立，则g'(f)<0恒成立，

当，>0时，e'>l,cos/N-l,则〃'(。>0恒成立，则g'⑺在(0,+8)上单调递增，

又因为g'(0)=-l,g'(D=e—2+sinl>0,因此存在小e(0,1),使得g'&)=0,

当0</<%时，g'Q)<0,当时,g'Q)>0,

所以函数gQ)在(为/)上单调递减，在&,+8)上单调递增，

又g(0)=0,作出函数g⑺的图像如下：

y♦

答案第10页，共20页

函数/(x)=alnx-2x(a*0)定义域为(0,+s),求导得/口)=凹一2=03,

XX

①当a<0时，/(*)<0,函数/(x)的单调递减区间为。”)，

当0<x<l时，y=alnx的取值集合为(0,+oo),而y=-2x取值集合为(-2,0),

因此函数fM在(0,1)上的值域包含(0,行)，

当x21时，y=〃lnx的取值集合为(-8,0],而y=-2x取值集合为(y>,-2),

因此函数Ax)在[1,+oo)上无最小值，从而函数,3的值域为R,即r=/(x)wR,g(f0)<0,

不合题意，

②当”>0时，由:*)<0得x>3，由f'(x)<0得0<x4，函数/(x)在呜)上单调递增，

在多,+8)上单调递减，

f(X)max=吗)=。呜-“，当0<_¥41时，丫=如X的取值集合为(-8,0]，

而)，=-2》取值集合为(-2,0],因此函数/XX)在(0』上的值域包含(F,0],

此时函数/(X)的值域为(YO,a\n^-a],即f=f(x)e(-00,a\n^-a],

当aln^-aWO时，即当0<“V2e时，g。)*。恒成立，符合题意，

当aln]-a>0时，即当a>2e时，/,=minj«lny-a,/01,结合图象可知，g(fJ<0,不合

题意，

所以实数。的取值范围为(0,2e].

故答案为：(0,2e]

【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，

用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.

17.⑴水一夜

2

⑵但1卜][r,i，5s'一

【分析】(1)先根据三角恒等变换公式化简函数，再代入求值即可；

(2)整体换元，结合正弦函数图象列不等式，分类求解即可.

【详解】(1)因为〃x)=cos"+^u)-瓜os"+")

答案第II页，共20页

71

=sinCOX+—：OSCOX+—=2sincox--

12I12I4

当切=2,所以〃X)=21

7T7t.71H71.7T

所以/2sin2sin—cos——cos—sin—

3~4I3434

\[GV2>/6—V2

=2------------=--------------.

I442

兀

(2)由(1)知/(x)=2sin(DX——

4

式①7C7169

业71nn,7171

当W时，T——<cox——<------

4424

上无零点,

兀①兀、，

--------->kit

44

则,kwZ,

-------------<(fc+l)7t

24

解得4k+1<ty<2k+5,%wZ,

53

则4女+lW2k+士，i^k<-f

24

又出〉0,

当女=0时,1<a><—,

2

-3<69<—,即0</wL

当左=一1时,

22

当Z<—2时,口<0舍去.

5

综上：。的取值范围为［0,a=h-.

2

18.⑴勺=2'T

(2)8万+8〃

【分析】(1)选择条件①：先由｛S“+aJ为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数

列｛为｝的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；

1

选择条件②：先由2"。,+1"'a2+…+2a“=na,M得出2"a,+2"a2H----1-2_an_t=2(/7—(n>2),

两式做减即可得出«„+1=2fl,,(«>2),再验证〃=1时即可利用等比数列通项公式得出答案；

答案第12页，共20页

(2)通过44=2也川得出47；T=〃I也,(〃22),两式相减结合已知即可得出

配「%=4(〃22),即数列圾｝的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列,将

七［(-1)'她转化即可得出答案.

1=1

【详解】(1)选条件①：

数列母+4｝为等比数列，

，(邑+4)~=(E+4)($3+4)，

-

即(24+<2,)=2at(2a,+%+%),

4=1,且设等比数列｛%｝的公比为9，

二.(2+4)2=2(2+q+/),

解得q=2或g=0(舍)，

.•“叱=2"\

选条件②：

nl

2"4+2~a2+•­•+2an=naa+i-①,

2"一'4+2"-242H---F2a=(〃-1)4,(“22),

B-l2

Bp2"al+2a2+-+2a„_l=2(n-l)an(n>2)②,

由①@两式相减得：2a“=n%-2c心2),

即。"+1=2。,,(〃22),

令2*%+2*1a?+…+2a„=中〃=1得出生=也符合上式，

故数列｛%｝为首项4=1,公比4=2的等比数列，

则为=。01=2，1,

(2)由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列｛。,,｝为首项4=1,公比4=2的等比

数列,即为=2"\

则4=。2=2,4=%=4,

答案第13页，共20页

4T,=b;b*③，

，4加=心我(〃22)④，

由③④两式相减得：4(7；-T,l_l)=bll-bn+l-bn_i-b„(«>2),

即曲超,-(%-口)(〃22),

数列圾｝为正项数列，

则%-%=4(〃22),

则数列｛4｝的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，

:=4寸(-1)幻=4(-7；+4乜+7；+-&_+&),

i=\i=l

即X[(-1)^A+1]=4(®+%+d++%),

f=l

数列｛%｝前2n项中的全部偶数项之和为：4〃+咋“、4=2〃2+2〃，

则七[(-1)'姐川]=8/+8”.

»=|

19.⑴;；

(2)y.

【分析】(1)连接AC,80,利用线面平行的性质结合三角形重心及菱形性质求解作答.

(2)取8c中点”，利用给定条件探求PM_L平面ABC。，再建立空间直角坐标系，利用

空间向量求解作答.

【详解】(1)连接4clBE=O,连接BDcAC=G,由菱形A8C3知G是8力,AC中点，而

E为AD的中点，

21

则。为的重心，AO=-AG=-AC,

因为PC//平面8防，平面PAC平面BEF=0F,PCu平面PAC,因此F0//PC,

答案第14页，共20页

p

(2)菱形A8C£>中，由NBCD=60，知△OCB为等边三角形，有DC=DB,又

NPDC=/PDB,

则尸。3POC,即有P3=PC,取8c的中点”，连接PM,DM,则BC±PM,BCLDM,

而PMcDM=M,且两相交直线在平面内，于是BC1平面向仍，而BCu平面ABCQ,

有平面PMD_L平面ABCD,

在平面PAQ内过P做/¥7_LDM于点V,平面PA〃)平面A8C£>=DW,

从而P〃_L平面ABC。，NP£月是PD与平面A5C。所成的角，则/「£)〃=45,

因为P£>=",则==又DM=上,因此H与M重合，

以“为坐标原点，为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

P(0,0,73),B(0,1,0),A(y/3,2,0),D(y/3,0,0),E(y/3,1,0),尸8=(0,1,一百)，

叫Q=(笔一答,则尸(竽g亭,丽=(笔界)，丽=(可)©,

m-BE=乖＞x、=0

设平面8所的法向量m=a，y,zj,则＜…731，令4=T,得

m.EF=--x]+-y]+—z]=0

)n=(0,底-1),

储屈=氐=0广

设平面尸踮的法向量〃=(x,Mz),则彳一,令z=l,得〃=(0,疯1),

小P8=y—j3z=0

答案第15页，共20页

73x73-1x11

于是cos〈m,ri）=m〃

1加11川2x2~2

所以求平面PBE与平面BEF夹角的余弦值为g.

3

20.(1)分布列见解析，

⑵(i)0.4；(ii)0.62.

【分析】⑴由已知得X~8(3,；1,然后列出相应分布列即可.

(2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可.

【详解】(1)由题意得，X~B(3,£|,则P(X=k)=C(g](l-；)1其中％=0,1,2,3,

则X的分布列为：

13

则E（X）=3X/=5

(2)设事件4为“乙在第，次挑战中成功"，其中i=1,2,3.

(i)设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则8=4%+无义,

则P(8)=P(AW)+P(*)=P(A)P%|A)+P(QP(AM)

=0.5x(l-0,6)+(l-0.5)x0.4=0.4.

即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4.

(ii)因为P(4)=P(A4+L4)=P(A)P⑷4)+「闾尸(4同

=0.5x0.6+0.5x0.4=0.5,

且P(FA)=尸(A44+54)=*A44)+网444)

=0.5x0.6x0.7+0.5x0.4x0.5=0.31,

所以网4%)=号察=冒="

答案第16页，共20页

即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62.

21.⑴彳

（2）存在，最大值为巫

5

【分析】（1）设尸（今,几），切线卜%=%（》-为），由点在圆上并联立切线与椭圆方程，根

据△=（）得到关于左的一元二次方程，应用韦达定理得％此=-1,即可得直线总的斜率：

（2）讨论切线尸AP8斜率的存在性，求得尸4尸8的方程为寸■+y/=l,i=l,2,进而易得

直线48为¥+%》=1,写出直线PQ方程并求交点Q,确定椭圆轨迹方程，根据椭圆交点

三角形性质求[的面积最大值.

【详解】（1）设尸（为,几），切线y—则其+¥=5,

X22.

—+y~=1

由，4■得:(1+442片+8%(%-Ax())x+4(%-线)~-4=0,

y-yo=k(x-xa)

由A=0得：(4—XQ+2x0y()k+1—y(j=0,

则式=百言

设切线PA,PB的斜率分别为kt,k2,g=J=T,

又直线R4的斜率为2,则直线总的斜率为

（2）当切线PAPB斜率都存在时，设4&,凶卜5（三,"）,

切线PAPB方程为y_%=%（x-x,）,i=1,2,

由⑴得：（4_浜+2%泌+I_£=O/=I,2（*）

由点A.B在椭圆上，得手+y；=