人教A版选择性必修第一册：第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（易）（学生版+解析版）

第一章空间向量与立体几何单元检测卷（易）

一、单选题

1.（2020•北京昌平一中高二期中）己知,B（-3,l,5）,则网的值为（）

A.4B.4万C.5D.5&

2.（2021•北京市育英学校高二期末）已知向量1=（-1,2,4>,5=（—,并且（_L»,则实数。的值为

（）

11

A.10B.-10C.--D.——

22

3.（2021•浙江）如图，在平行六面体ABCD-ABCD，的棱中，与向量欣模相等的向量

有

A.0个B.3个C.7个D.9个，

4.（2020•全国高三专题练习）已知平面a的一个法向量为历=（1,2,2）,通=（-2,T,T）,

则直线AB与平面a的位置关系为

A.AB!/aB.ABuaC.相交但不垂直D.AB.La

5.（2020•北京师范大学万宁附属中学高二期中）已知万=（1,0,1）,h=（x,l,2）,且£1=3,则向量a与5

的夹角为（）

6.（2021•塔什库尔干塔吉克自治县深塔中学高二期末（理））如图，已知空间四边形OABC,

其对角线为。8,4。,加,"分别是。4,四的中点，点6在线段的上，且使MG=2GN,

用向量0A。反。弓表示向量od为（)

__122

A.OG=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA+-OB+-OC

633233

____9__2__

C.OG=OA+-OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

33233

7.（2021•黑龙江高三一模（文））如图，已知棱长为2的正方体A88-A8CQ,E,F,G

分别为AB,C。,A。的中点，则异面直线AG与所所成角的余弦值为（）

A.0B,C.—D.1

102

8.（2021•全国）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年,

例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖腌指的是四个面均为直角三角形

的三棱锥如图，在堑堵ABC-AMG中，NACB=90，若AB=6，AA,=2,当鳖嚅

A「A8C体积最大时，直线8。与平面A所成角的余弦值为（）

3

厢

3RVior1n2V2

io1033

二、多选题

9.（2021•广东高二期末）已知向量£=（4,-2,T）石=（6,-3,2）,则下列结论不正确的是（）

A.a+S=（10,-5,-2）B.tz-fe=（2,-l,6）

C.a»b=WD.k|=6

10.（2020・全国高二）（多选题）已知直线/过点P（l,0,-l）,平行于向量2=（2,1,1）,平面a过直线/与点"（1,2,3）,

则平面a的法向量可能是（）

A.（1,一4,2）B.（―,—1,—D.(0,-1,1)

11.（2021•揭西县河婆中学高二月考）已知E,「分别是正方体A8CE>-44GR的棱BC和CO的中点,

则（）

A.与BQ是异面直线

B.A。与EF所成角的大小为45°

C.4/与平面所成角的余弦值为:

D.二面角C-£>4-B的余弦值为逅

3

12.（2021•邵阳市第二中学高三月考）如图，菱形A5CO边长为2,NB4Q=60。，E'为边AB的中点.将AADE

沿。E折起，使A到4,且平面平面8CDE,连接48,AC.

则下列结论中正确的是（）

A.BDIA'CB.四面体A'CDE的外接球表面积为87t

C.BC与A'O所成角的余弦值为=D.直线A8与平面ACO所成角的正弦值为逅

44

三、填空题.

13.（2021•上海位育中学高二期中）已知直线/的一个方向向量为1=（1,-2,0）,平面a的一个法向量为

«=（/?/,3,6）,且//3,则加=.

14.（2020•全国高二课时练习）如图所示，在长方体A8CD-4B1C1D1中，AB=BC=2f44=近，E,F分别

是平面AiBiQDi,平面8CQ比的中心，则E,F两点间的距离为

15.（2021•北京高三其他模拟）已知边长为1的正方体428-43。。，M为BC中点，N为平面。CCQ

上的动点，若MNLA。，则三棱锥N-AA,。的体积最大值为.

16.（2021•全国高二课时练习）已知正方体A3CO-AAG2的棱长为2,点分别是棱BC,CG的

中点，则二面角C—AM—N的余弦值为.若动点尸在正方形BCCg（包括边界）内

运动，且PAII平面AMN,则线段尸4的长度范围是.

17.（2021•全国高二单元测试）如图，在平行六面体ABC。—4与G3中，设通1=

£，通=石，而="，加,乂2分别是的,8。6。的中点，试用2,瓦"表示以下

各向量：

⑴Q；

（2）MP+NC}.

18.(2021•全国高二课时练习)如图，在长方体A8C£)-AB|CQ中，|AB|=4,|明=3,1AAi|=5,N为

棱CC,的中点，分别以所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

(1)求点48,&。，4/6，”的坐标；

(2)求点N的坐标.

19.(2021•海原县第一中学(理))如图在边长是2的正方体4BS-AMG〃中，瓦广分别为AB，

的中点.

(1)求异面直线所与CA所成角的大小.

(2)证明：£F上平面AC。.

20.(2021•全国高二课时练习)如图所示,已知点P在正方体ABCZ)-A'6'C'。'的对角线8D'上,

NPZM=60.

⑴求OP与CC所成角的大小.

(2)求Z5P与平面A47XD所成角的大小.

21.（2021・浙江高二单元测试）己知0AOB,OC两两垂直,。A=OC=3,O8=2,M为OB的中点，点N在AC

上，AN=2NC.

（1）求MN的长：・

BF

（2）若点尸在线段BC上，设完；=九当AP_LMN时，求实数2的值.

22.(2020•安徽淮北市•高二期中(理))如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD，

平面8a9,A8_L平面BCD,AB=2>5.

(1)求证：Aff〃平面MCD；

(2)求平面ACAT与平面BCZ)所成二面角的正弦值.

第一章空间向量与立体几何单元检测卷(易)

一、单选题

1.(2020•北京昌平一中高二期中)已知A0,1,1),8(-3,1,5),则网的值为()

A.4B.4啦C.5D.5应

【答案】B

【详解】

VA(l,l,l),3(-3,1,5),.•.而=(<0,4),二网=J(-4)2+的=4口,

故选：B.

2.(2021•北京市育英学校高二期末)已知向量方=(-1,2,4),b=(x,-l,-2),并且皿,

则实数x的值为()

11

A.10B.-10C.；D.——

22

【答案】B

【详解】

解：：a，

a»b=-x-2-S=0>

解得x=-10.

故选：B.

3.(2023.•浙江)如图，在平行六面体ABCD-ABC。的棱中，与向量瓦不模相等

的向量有

A.0个B.3个C.7个D.9个

【答案】C

【详解】

向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量两模相等的向

量是：大无密，瓦瓦五'，反，访,万万，共7个.故选C.

4.(2020•全国高三专题练习)已知平面a的一个法向量为反=(1,2,2),通=(-2—),

则直线AB与平面a的位置关系为

A.AB/laB.AButzC.相交但不垂直D.ABVa

【答案】D

【详解】

根据已知条件容易得到：AB=.2n-所以而|立；故直线A8与平面a垂直

故选：D

5.(2020・北京师范大学万宁附属中学高二期中)己知々=(1,0,1),b=(x,l,2),且£.万=3，

则向量々与5的夹角为()

A5乃c2兀cnr兀

A.—B.—C.—D.-

6336

【答案】D

【详解】

•••a-b^x+2=3)x=l,^=(1,1,2).

—yCl,b3y/3

：.COS<a,b>=,,,,=—j=-==—

5/2x-7162

又va,B>w[0,;r],

・・a与〃的夹角为故选D.

o

6.（2021•塔什库尔干塔吉克自治县深塔中学高二期末（理））如图，已知空间四边形O43C,

其对角线为OB,AC，M，N分别是O4CB的中点，点G在线段上，且使MG=2GN,用

向量OA,O8,0C表示向量丽为()

I__9__7__

A.OG=-OA^-OB+-OCB.OG=-OA+-OB+-OC

633233

—.—»?—.2—.

C.OG=OA+-OB+-OCD.OG=-OA+-OB+-OC

33233

【答案】A

【详解】

.一一.2-2.1-

OG=OM+MG=OM+-MN=-ON+-OM.

333

因为仞,N分别为OA,CB的中点,

所以丽=；弧丽=；（而+反），

所以而=；（诙+诙）+』砺=，诙+；而+；反.

故选：A.

7.（2021•黑龙江高三一模（文））如图，已知棱长为2的正方体A8CO-AAGA,E,F,G

分别为A8,CR,A。的中点，则异面直线4。与行所成角的余弦值为（）

A.0B.C.—D.1

102

【答案】A

【详解】

B

如图分别以。4QC,。马所在的宜线为x,y,z轴建立：空间直角坐标系,

则A（2,0,2）、G（l,0,0）、£（2,1,0）、F（0,1,1）,

所以而=（-1,0,-2）,EF=（-2,0,1）,

设异面直线A,G与EF所成角为。，

|A,G-EF|_|(-i)x(-2)-2xl|

则cos6==0,

故选：A

8.（2021•全国）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多

年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；整嚅指的是四个面均为直

角三角形的三棱锥如图，在堑堵A8C-481G中，NACB=90。，若AB=立,A4i=2,当

鳖臊4-A8c体积最大时，直线BiC与平面ABB14所成角的余弦值为（）

A.亚B.C.1D.迪

101033

【答案】A

【详解】

解：在堑堵A8C-481Q中，ZACB=90°,AB=6,A4i=2,当鳖膈4-A8c体积最大

时，AC=BC=1,

以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CCi为z轴，建立空间直角坐标系,

81(0,1,2),C(0,0,0),A(1,0,0),8(0,1,0),

麻=(0,-1,-2),丽=(1,-1,0),函=(0,0,2)

设平面A8814的法向量G=(x,y,z),

n-BA=x-y=0_

则〈_____,取x=L得〃=(1,1,0),

/?•BB[=2z=G

设宜线与平面AB814所成角为I5,

BCn1_1

则sin0=x

5/5x5/2-5/10

所以8$。=曲

10

・・・直线B1C与平面A8814所成角的余弦值为噜.

故选：A.

二、多选题

9.（2021•广东高二期末）已知向量£=（4,-2T）出=（6,-3,2）,则下列结论不正确的是（）

A.a+S=(10,-5,-2)B.a-5=(2,-l,6)

C.a^b=10D.|<z|=6

【答案】BC

【详解】

解：•••向量a=(4,-2,-4)J=(6,-3,2),

«+5=(10,-5,-2),故A正确：

a-b=(-2,1,-6),故B错误；

苕-5=24+6-8=22,故C错误；

|a|=V16+4+16=6,故Z)正确.

故选：BC.

10.(2020•全国高二)(多选题)已知直线/过点尸(1,0,-1),平行于向量£=(2,1,1),平面

"过直线/与点2,3),则平面a的法向量可能是()

A.(1,—4,2)B.(―,—1,—)C.(—―,1,——)D.(0,—1,1)

【答案】ABC

【详解】

解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量£=(2』/)，和向量两，

而(1,2,3)-(1,0-1)=(0,2,4),

选项A,(2,1,1>(1,T,2)=O,(O,2,4)-(1,T,2)=O满足垂直，故正确；

选项B,(2,1,1)七-1，3=0，(0,2,4).(：,-1二)=0满足垂直，故正确；

选项C,(2,1,1).(-！，1,-3=0,(0,2,4).(-1,一1)=0满足垂直,故正确；

4242

选项D,(2,1,1>(0,-1,1)=0,但(0,2,4>(0,-1,1)片0,故错误.

故选：ABC

11.(2021•揭西县河婆中学高二月考)已知E,f分别是正方体ABCD-A8CQ的棱BC

和的中点，则()

A.4。与4A是异面直线

B.与所所成角的大小为45°

C.4尸与平面旦EB所成角的余弦值为:

D.二面角的余弦值为逅

3

【答案】AD

【详解】

对选项A,由图知：A。与是异面直线，故A正确;

以。为原点，DA,DC,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体边长为2,

对选项B,

x

0(0,0,0),A(2,0,2),E(l,2,0),尸(0,1,0),

所以丽=(-2,0,-2),EF=(-l,-l,0),

设A。与所所成角为。，

|A万丽|21

则2阿可ET5'

乂因为0,<6»490,所以6=60，故B错误.

对选项C,由题知：平面BES的法向量为反，

因为皮=（0,2,0）,乖=（一2,1,-2）,

设4尸与平面用E8所成角为。，

则sin6=〔"A4巴函=2SV9=]3cos"也3,故C错误;

对选项D,=（2,2,0）,BBy=（0,0,2）,

设平面n的法向量而=Q,y,z3

m-DlBl=2XI+2y,=0令占=1得：=(l,-l,o)，

m•BB[=2zj=

_uuu

设平面。4c的法向量”=(w，%,Z2),B,C=(-2,0,-2)

n-DB=2X+2y=0

则tt22令%=1得〃=,

n-BtC=-2X2-2Z2=0

设二面角C-D^-B的平面角为0,

八mn2V6

则8®丽

又因为。为锐角，所以cos0=45，故D正确.

3

故选：AD

12.（2021•邵阳市第二中学高三月考）如图，菱形ABCD边长为2,^BAD=60°,E为边AB

的中点.将“4DE沿。E折起，使A到A,且平面4Z）E_L平面BC3E,连接AB,A'C.

A

Ar

则下列结论中正确的是（）

A.BD±ArCB.四面体4a%的外接球表面积为8兀

3

C.8c与A7）所成角的余弦值为:D.直线48与平面4c。所成角的正弦值为

4

如

4

【答案】BCD

【详解】

由题知，为正三角形，DEJ.AB,将AADE沿。E折起，使A到4,且平面4。£_1_平

面5CDE,则£B,ED,E4'两两垂直，以E点坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

对于A,8(1,0,0),£)(0,6,0),4(0,0,1),C(2,疯0),访=(-l,G,0)，A：C=(2,后-1)，

则面＞=-2+3=1H0，故与A'C不垂直，故A错误；

对于B,取CE的中点F,联结DF,乂DELDC,

则尸E=尸。=尸C=1CE='=立，

222

过F作尸0_1_平面CDE,四面体ACDE的外接球球心。在F。」：，作OM_L4E,

设Of=x,OD=OA'=R,在RtQFD,用AOM4'中，

有R2=(^-)2+x2=(亭y+(i-x)2,解得x=g,R=应，

故四面体A8E的外接球表面积为4HR2=81,故B正确;

对于c,BC=(1,^,0)•屋。=(0,石,-1)，设8c与A'£)所成角为。，

—»->

BCA'D33

则cos6=-^-----=故C正确；

BCA'D2x24

对于D,A'Z=(l,0,-l)，A?C=(2,73,-1)'A,》=(0,6,一1)，

设平面A'CD的法向量；=（x,y,z）

n-A'C=2x+\/3y-z=0

则取z=△>

万X7万=6y-z=0

则1=(0,1,我>

—>Tn^BY

Ijlljcos<n,A'B>=

2x04，

故直线A'8与平面AC。所成角的正弦值为直，D正确;

4

故选：BCD

三、填空题

13.（2021•上海位育中学高二期中）已知直线/的一个方向向量为2=（1,-2,0）,平面a的

一个法向量为弁=（九3,6）,且〃/a,则/=.

【答案】6

【详解】

•：lHa,Fl直线/的一个方向向量为）=（1,-2,0）,平面a的一个法向量为”=（见3,6）,

:.d-fi=0<即lxm+（-2）x3+0x6=0,

解得：m=6.

故答案为：6

14.（2020•全国高二课时练习）如图所示，在长方体A8CD-4B1GO1中，A8=BC=2,A4

=及，E,F分别是平面481GD1,平面8CG81的中心，则E,F两点间的距离为.

【答案】近

2

【详解】

解析：以。为原点，或比，西的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,

可得41,1,a）,小,2,日

所以可'=0,1-^,所以府|=卜+（_曰）2=乎

所以|田=迈

2

故答案为：显

2

15.（2021•北京高三其他模拟）已知边长为1的正方体ABCD-AgG",M为BC中点,

N为平面CCCQ上的动点，若MN^AC,则三棱锥N-44,。的体积最大值为.

【答案。

【详解】

以。为原点，分别以DA,DC,DR为x,y,z轴建立空间直角坐标系:

则A（l,O,l）,C（O,l,O）,M（g,l,O）,设N（0,a,b）,04441,04A41,

所以,乙=（1,0,1）,丽=（-；,”1力），

因为丽_1_/，

-----------11

所以MN-AC=—+a—1一人=0,即〃一/?=—,

22

1

=

2-

1

2-。

11

H。

所以KX5X<

D=3-MD-一6-61当a=18=5等号成立,

所以三棱锥N-AA。的体积最大值为1

0

故答案为：t

16.（2021•全国高二课时练习）已知正方体A8CD-AqCQ|的棱长为2,点M,N分别

是棱BC,CC,的中点，则二面角C—4W—N的余弦值为.若动点尸在

正方形BCC4（包括边界）内运动，且Q4JI平面AMN,则线段班的长度范围

是_____________________.

【答案］|苧，百

【详解】

解：延长A/W至Q,使得CQ_LAQ,连接NQ,如图,

由于ABCD-AiBiCiDi为正方体,

正方体中有CG平面A8CO，AQu平面A8C3,所以CC|_LA。，即CNJ.AQ,

CQCCN=C,CQ,CNu平面NCQ,所以4Q_L平面NCQ,

又NQu平面NCQ,所以NQJ.AQ,

所以NNQC为二面角C-AM-N的平面角,

而sinZCMQ=sinNAMB=冬=铠=-j—=；,故CQ=2CM=二

CMAM在/714575y/5

3

NQ=飞'

cosZ/V(2C=—=-.

NQ3

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(m,2,n)(0<m,n<2),A(2,

0,0),M(l,2,0),N(0,2,1),4(2,0,2),

则而=(-1,2,0),丽=(-2,2,1),4P=(加一2,2,〃一2),设平面AMN的一个法向量为

v-AM=-x+2y=0

D=(x,y,z),

v•AN=-2x+2y+z=0

故可取吊=(2,1,2),

又P4II平面八MN,

・'./AjP-v=2(/n-2)+2+2(n-2)=2(m+/?-3)=0»

「・点P的轨迹为经过84，81cl中点的线段，

根据对称性可知，当点P在两个中点时，|B4l|nm=^/FW=石，当点P在两个中点连线段

的中点时，|出舄=

故选段P4的长度范围是1当，石

故答案为：y>.

四、解答题

17.(2021•全国高二单元测试)如图，在平行六面体ABC。-4与G"中，设而1=3,AB

=b，AD=o^，〃。分别是从1台仁勒已的中点，试用表示以下各

向量：

⑴而；

(2)MP+NCi-

-]--3-1-3-

【答案】(1)。H—h+C；(2)——b-\C.

2222

【详解】

解：(1),在平行六面体A8CD-4B1G5中，P是GDi的中点,

AP=X\+A^+D^P=AA^+AD+^D^

=AA+AD+—AB=a+—h+c

*22

(2),・•在平行六面体48CD-4B1C15中,M是44的中点,

，丽=必+而*不+而=与+/+"

又:^=J^+CCx=-BC+A\=-AD+AA^=^c+a

:.MP+NCt=(—a+—^+c)+(—c+«)=—«+—i+—c

222222

18.(2021•全国高二课时练习)如图，在长方体AB8-ABCQ中，|AB|=4,|明=3,

|M|=5，N为棱CG的中点，分别以D4,OC,O〃所在的直线为x轴、y轴、Z轴，建立

空间直角坐标系.

（1）求点AB,c,D，A，4,6，A的坐标;

（2）求点N的坐标.

【答案】（1）A（3,0,0）,3（3,40）,C（0,4,0）,。（0,0,0）,A（3,0,5）,耳（3,4,5）,£（0,4,5）,

小0,0,5）：（2）/vfo,4,1\

【详解】

（1）。为坐标原点，则。（0,0,0）,

i♦点A在x轴的正半轴上，且|明=3,.•.A（3,0,0）,

同理可得:C（0,4,0）,D,（0,0,5）.

,•,点B在坐标平面xOy内，BCLCD,BAYAD,..B（3,4,0）,

同理可得：A（3,0,5）,C,（0,4,5）,

与B的坐标相比，点旦的坐标中只有-z坐标不同，忸闻=|明|=5，，4（3,4,5）.

综上所述:A（3,0,0）,8（3,4,0）,C（0,4,0）,£＞（0,0,0）,A（3,0,5）,耳（3,4,5）,£（0,4,5）,

D,（0,0,5）.

（2）由（1）知：C（0,4,0）,G（O,4,5）,

则CG的中点N为（等,等,等），即N（0,4,|）.

19.（2021•海原县第一中学（理））如图在边长是2的正方体ABCD-AqGR中，E,F

分别为AB,4。的中点.

（1）求异面直线EF与CA所成角的大小.

（2）证明：砂，平面AC。.

【答案】（1）60,;（2）证明见解析.

【详解】

据题意，建立如图坐标系.于是:

0(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,0),£(2,1,0),尸(1,1,1),0,(0,0,2)

EF=(-1,0,1),西=(0,-2,2),DAx=(2,0,2),DC=(0,2,0).

(PP而.西-IxO+Ox(-2)+lx2

(1)COS(e片同时―72x272

2

(配西)=60"

异面宜线EF和CD,所成的角为60°.

(2)而.斯=-lx2+0x0+lx2=0

二乔_L两，即EF±DA,

EFDC=-lx0+0x2+lx0=0,

即_L觉即EFJ_DC.

又£>A,£>cu平面DCAt且cOC=£>

20.(2021•全国高二课时练习)如图所示,已知点P在正方体A6CD-A'B'C'。'的对角线

BD'上,ZPDA=600.

⑴求OP与CC'所成角的大小.

⑵求DP与平面AAD'D所成角的大小.

【答案】(1)45°.(2)30°.

【详解】

⑴如图所示，

B

以D为原点,DA,DC,DD，分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系，

设DA=1.则丽=(1,0,0),页=(0,0,1).连接BD,BU.在平面BBDD中，延长DP交BIT?H.

设丽=(m,m,l)(m>0),

由己知<而，方>=60。,由DH^DA=\DA11DH\cos<DH,而)，可得2m=J2m?+1.解得m=

V2

2，

rrr,一(忘夜］

所以■

-----------x0+"x0+lxlrr

因为cos<DH,CC'>=22________=V£

V2xl-2

所以＜丽，营＞=45°,即DP与CC'所成的角为45。.

(2)平面AAD，D的一个法向量是觉=。1,0),

e>--------五x0+立xl+lxO,

因为cos<DH,DC>=22________=1

1x0-2

所以＜丽，反＞=60°同得DP与