2018年高考数学一轮复习 39 空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 文

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专题39空间点、直线、平面之间的位置关系

考情解读

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理;

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

重点知识梳理

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

(4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.空间中两直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(［平行

共面直线田六

<〔相交

.异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a'Ha,b'//b,把a'与6'

所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围：(o,y.

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

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高频考点突破

高频考点一平面基本性质的应用

例1、如图所示，正方体的徵一464〃中，E、尸分别是四和皿的中点.求证:

(1)£、a队、尸四点共面；

⑵四、DF、的三线共点.

证明(1)如图，连接就CD\,46.

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••Z、尸分别是48、的中点，，班“A4L

YAIBIIDIC,：.EFUCDi,

:正、C、功、尸四点共面.

⑵•：EFUCDi,EF<CDif

，Cg与DF必相交，

设交点为P,如图所示.

贝由PEOff,CEU平面4BCD,得PE平面凡8CD

同理尸£平面疝）DMI.

又平面HSCDPl平面ADDiAi=DAf

，P€直线DF、三线共点.

【感悟提升】（1）证明线共面或点共面的常用方法

①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.

②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面。，再证明其余元素确定平面?，最后证明平

面。，力重合.

（2）证明点共线问题的常用方法

①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些

点都在这两个平面的交线上.

②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

【变式探究】如图，平面/应7」平面/及力，四边形/戚与四边形/仇力都是直角梯形，ABAD

=/FAB=90°,BC//ADSLBC=^AD,BE〃AF且BE=fF,G、〃分别为刈、外的中点.

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(1)证明：四边形比如是平行四边形；

(2)C、D、F、£四点是否共面？为什么？

(1)证明由已知尸G=G/,FH=HD,

可得GH^AD.

又3c统%D,统BC.

，四边形8SG为平行四边形.

(2)解G是无4的中点，，与£名央尸G,

...四边形与即G为平行四边形，.

由(1)知.•.班”面，1.E尸与S共面.

又DWFH,：.C、D、尸、E四点共面.

高频考点二判断空间两直线的位置关系

例2、(1)若直线Z和A是异面直线，入在平面a内，4在平面J3内，/是平面a与平面万

的交线，则下列命题正确的是()

A./与4,心都不相交

B.1与h,A都相交

C./至多与人人中的一条相交

D.1至少与上,心中的一条相交

(2)如图，在正方体ABCD-ABaa中，M,川分别是BC、,切的中点，则下列判断错误的是()

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A.胸与CG垂直

B.朗V与“1垂直

C.初V与8〃平行

D.物¥与4A平行

（3）在图中，6、山以〃分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点,

则表示直线绢、，m是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）

答案(1)1)(2)D(3)②④

解析（1）若，与/1,A都不相交，则”Ui,Ulh,：.hllh,这与4和A异面矛盾，至少与mA中的一

条相交.

⑵连接SC,BiDi,则点M是B1C的中点，A的是△BiCDi的中位线，

,.,CCil5iDi,AClBiDi,BDHBiDi,

：.MNA_CC1,MN.AAC,MNUBD.

又..N因与BiDi相交，

二.必与/Bi不平行，故选D.

（3）图①中，直线

图②中，G、H、"三点共面，但描面GVV,

因此直线GH与MV异面；

图③中，连接物，GM//HN,因此"与加洪面；

图④中，G、财、4共面，但肉面6%V,

因此GH与,眦异面.

所以图②④中GH与屈V异面.

【感悟提升】（1）异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格

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的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

②定理：平面外一点A与平面内一点6的连线和平面内不经过点6的直线是异面直线.

(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为

主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.

【变式探究】(1)如图，在正方体/腼-45G〃中，MN分别是必，切的中点，则下列判

断错误的是()

A.MN与CG垂直B.朗V与力。垂直

C.MN与BD平行D.MN与平行

(2)a,b,c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a〃Mb//M,则@〃6或a,

6相交或a,人异面；②若Zxz也a//b,则a〃极③若a_Lc,bA.c,则a〃仇④若aLMb

LM,则a〃4其中正确的为()

A.①④B.②③C.③④D.①②

在△©建中，皿〃£。，故c正确；

•.,CC11平面屋8,_SDc平面/SCO,「.CC11B。，

...MM1CC1,故A正确；

：AC1BD,MNIIBD,：.MN]_AC,故B正确；

•./LSI与异面，MNUBD,

.,.MY与/LBI不可能平行，故选项D错误.

(2)对于①，当a〃眼时，则a与Z?平行、相交或异面，①为真命题.②中，gM,a//b,

则a〃〃或auM,②为假命题.命题③中，a与6相交、平行或异面，③为假命题.由线面垂直

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的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题.

答案(1)1)(2)A

高频考点三求两条异面直线所成的角

例3、(1)如图所示，在正三棱柱4a'—484中，。是〃'的中点，AAt：AB=^2：1,则异面直

线45与川所成的角为.

答案60°

解析取4G的中点区连接5eED,AE,

在RiZkHBLff中，NA8也即为所求，

设A5=l,贝也，ABI=3,BIE=*,

故NAB证=60°.

(2)空间四边形465中，46=切且46与徵所成的角为30°,E、尸分别为8C、4。的中点,

求必与4?所成角的大小.

解如图，取然的中点G,连接£6、FG,则以FG卷D,

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由46=切知EG=FG,

.•.NGM（或它的补角）为町与刈所成的角，NEG尸（或它的补角为与CD所成的角.

二相与CD所成的角为30°,

...NEGF=30°或150°.

由EG=FG知AEMG为等腰三角形，

当/EGF=30°时，NG£尸二75。；

当NEGF=150°时，ZGEF=15°.

故町与刈所成的角为15喊75。.

【感悟提升】（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图

中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.

（2）求异面直线所成角的三个步骤

①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.

②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.

③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求

出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

【变式探究】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1腼-484〃中，14=24?

=2,则异面直线46与1。所成角的余弦值为（）

解析连接因，易证

则N4阳即为异面直线46与44所成的角.

连接4G,由18=1,44=2,

则46=低A、B=BC、=4,

在△外阿中，由余弦定理得

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八5+5-24

cosNA\BC\=尸产=[.

2义弋5乂勺55

答案D

真题感悟

11.[2016r司考新课标1卷】平面a过正方体48048£〃的顶点A,cc〃平面CB\Di,al平

面ABCFm,al平面AB&4i二〃，则勿、〃所成角的正弦值为

(A)B(B)—(C)虫(D)-

2233

【答案】A

【解析】如图，设平面CBQ1n平面ABCD=m',平面。骂口f|平面如用[=献，因为a"平面CBR,

所以攘N*献*则加/所成的角等于加/，所成的角.过与作。产”用C,交&的延长线于点E,连

接CE,则CE为".连接43,过瓦作4K”43,交以】的延长线于点耳，则与耳为“'.连接BD,则

BDllCE,B】KII&B,则冽/所成的角即为AB,BD所成的角，为60。，故加卢所成角的正弦值为当，

选A.

2.12016高考新课标1卷】(本小题满分为12分)如图，在以48,为顶点的五面体中,

面ABEF为正方形"打2FD,ZAFD=90,且二面角。46£与二面角小此〃都是60.

(I)证明：平面4庞凡L平面即B

(II)求二面角比叱/的余弦值.

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【答案】(I)见解析(II)——

【解析】

(I)由已知可得"_L。尸，AFLFE,所以4尸_1_平面及a(7.

又AFU平面ABEF,故平面ABEFJ■平面EFDC.

(II)过普作QGJ.EF,垂足为G,由(I)知1)6_1_平面"即.

以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|丽|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-yyz.

由(I)知/时为二面角普—4F-E的平面角,故/阻=知,则出制=2,|。弓|=3,可得4@40,

5(-3,4.0),E(-3,0.0),D(0,0,6).

由已知，4B//EF,所以48〃平面MDC.

又平面488平面£FDC=OC,故AB"CD,CDHEF.

由班y/AF,可得班_L平面EEDC,所以NCEF为二面角C-BE-F的平面角，

NCEF=60.从而可得。(一2,0,6).

所以EC=(l,0,G),E8=(0,4,0),NC=(—3,—4,6)，/6=(T,0,0).

设"=(x,y,z)是平面8CE的法向量，则

nEC=Q\x+y[iz=0

V，即〈，

n-EB=014y=0

所以可取〃=0,0,-6).

mAC=0

设机是平面Z5C£)的法向量，则＜，

m-AB=0

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、nm2M

同理可取加=(0,6,4).则cos(7i,/n)=^-=

19

故二面角E-BC-A的余弦值为-2®.

19

3.[2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线AC与8。交于点0,

A8=5,AC=6,点£,户分别在上，AE=CF=-,EF交BD于点H.招ADEF

4

沿EF折到\D'EF位置，OD'=M.

(I)证明：D〃_L平面A8CO；

(II)求二面角B—O'A—C的正弦值.

D'

【答案】(I)详见解析；(II)名竺.

25

【解析】

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4尸「尸

(I)由已知得4C_LAD,AD=CD,又由XE=CF得空•,故4cREF.

ADCD

因此即_LHD,从而即_L。月.由KB=5,AC=6^DO=BQ=7.452-AO2=4.

CHi

由斯得空='=士.所以。H=l,D,H=DH=3.

DOAD4

于是D'H2+OH2=32+l2=10=O'。?，

故DHJ.皈.

又D'H工EF,而OHnEF=H,

所以。平面ABC。.

(H)如图，以笈为坐标原点，访的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H-孙z,则H(O,O：O),

4T-LO),5(0-5.0),C(3-1.0),D",Q3),AB=(3,-4,0),就=(6,0,0),而=(31,3).

mAB=0f3x,-4y.=0

设＞»=(毛,山,21)是平面加少的法向量，则｛，即。-八，所以可取施=(4,3,-5).

mAD'=Q[3冯+必+34=°

,、n-AC=Q[6x,=0,、

设〃=(丐,为/2)是平面XCD'的法向量，则｛--，即。，人,所以可取加=(0,-3,1).

nAD'=Q[3x1+y1+321=0

于是8«.,">=廉=£府=挈'疝<1〃>=奢.因此二面角5-1)'幺—'的正弦值

是理

25

1.12015高考四川，理181一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,

在正方体中，设8c的中点为M,G”的中点为N

(1)请将字母居G,”标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)

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(2)证明：直线MN//平面3DH

(3)求二面角4-EG-M的余弦值.

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【解析】（D点F、G、H的位置如图所示.

（2）连结BD,设。为BD的中点，

因为M、N分别是BC、GH的中点,

所以OM//CD,且。M=，C。，

2

NH//CD,且NH=、CD,

2

所以OM//NHQM=NH,

所以肱VHO是平行四边形，

从而肱V//0”，

又平面604，OHu平面BDH,

所以MN//平面BDH.

（3）连结AC,过M作MP_LAC于P.

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G

在正方形CD-即GH■中，AC//EG,

所以MP_LEG.

过P作尸K_LEG于K,连结KM,

所以EG_L平面FKiM,

从而视LEG.

所以NPKM是二面角A-EG-M的平面角.

设犯=2,贝ijaf=L尸K=2,

桓

在KmCWP中，产材=Wsin45°=2.

2

在於后拓Q中，KM=^PK2+PM2=—.

2

所以8sN产网r=(^=2^.

KM3

即二面角A-EG-M的余弦值为迪.

3

(另外，也可利用空间坐标系求解)

2.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四

棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席.如图，在阳马P-ABCD中,

侧棱阳，底面A8C£>,且PD=C£>,过棱PC的中点E,作交尸3于点F,连接

DE,DF,BD,BE.

(I)证明：尸8,平面DEF.试判断四面体D3EF是否为鳖膈，若是，写出其每个面的直角

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（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（II）若面OEF与面A8C。所成二面角的大小为色，求生的值.

【答案】（I）详见解析；（H）—.

2

【解析】（解法1）（I）因为田上底面里⑵，所以

由底面疑CD为长方形，有BCLCD,而PDnCD=。，

所以BC上平面PCD.而DEu平面PCD,所以BCLDE.

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE_LPC.

而PCf|3C=C,所以工平面PBC.而PSu平面P5C,所以PB±DE.

又PBLEF,DE[}EF=E,所以总J_平面D呼.

由DE_L平面P5C,依平面DW,可知四面体劭曲的四个面都是直角三角形，

即四面体即即其四个面的直角分别为口即，ZDEF,"B,ZDFB.

（II）如图1,在面阳C内，延长5c与迎交于点G,则DG是平面D即'与平面越CD

的交线.由（I）知，用工平面。如，所以即上DG.

故NBDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设PQ=OC=1,BC=A,有=Jl+22,

冗

在RtZ\9中，由DF_LPB,得NDPF=NFDB=—,

3

则tan—=tanZ.DPF==Jl+4?=\f3,解得A=>/2.

3PD

所以变=1=也.

BCA2

故当面QEF与面A38所成二面角的大小为二时，—=^.

3BC2

（解法2）

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(1)如图2,以。为原点，射线D4,r>C,OP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

设PD=DC=1,BC=2,则女0,0,0),邛［O),C(O,LO),丽=(尤工-1),点E是汽7的中点,

所以型另)，就=(0,另)，

于是丽-9=0,即P3_LDE.

又已知加_LP5,而DEnW=E,所以P3JL平面DEV.

因而={p,L-L),DEPC=Q,贝ijDE_LPC,所以DE_L平面P3C.

由DE_L平面PBC,P3_1_平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体即即是一个鳖麻，其四个面的直角分别为ZDE"N即B,ZDF3.

第19题解答图1第19题解答图2

(II)由平丽1BCD,所以。尸=(0,0,1)是平面ABC。的一个法向量；

由(I)知，P3，平面DEF,所以8P=(-九-1,1)是平面OEF的一个法向量.

若面OEF与面A5CO所成二面角的大小为二,

3

71BPDP

则cos—=

3\BP\-\DP\互+22

解得2=夜.所以型=_1=也.

BCA.2

故当面〃即与面A88所成二面角的大小为四时，—.

3BC2

3.12015高考广东，理18】如图2,三角形PDC所在的平面与长方形A8CO所在的平面垂

直，PD=PC=4,AB=6,8c=3.点E是8边的中点，点尸、G分别在线段A3、BC

上，且"=2阳，CG=2GB.

(1)证明：PE工FG；

(2)求二面角P-C的正切值；

(3)求直线以与直线FG所成角的余弦值.

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V79一

【答案】（1）见解析；（2）3.（3）25.

【解析】（1）证明：：叨=且点E为CO的中点，

/.PE±DC,又平面PDC，平面ABCD,且平面POC平面ABCD=CE>,PEu平面

PDC

/.PEJ•平面MCD,又尸Gu平面43cD,

:.PEYFG.

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(2)解：由(1)如PE1平面ABCD,「.PElAD,

又「CDIAD且PEACD=E,

二.ADl平面PDC,

又「PDc：平面PDC,.'.AD1PD,

又•「AD1CD,，NPDC为二面角P-AD-C的平面角,

在RtAPDE中，由勾股定理可得：

2222

PE=VPD-DE=A/4-3=VT,

PGV7

.*.tanZPDC=DG=3•

(3)如下图所示，连接AC,

AFCG2

•：AF-2FB,CG-2GB即FBGB,

•••AC//FGf

：.4XC为直线引与直线FG所成角或其补角，

在Aft4c中，PA=y/PD2+AD2=5,AC=JAD?+CD?=3亚,

9A/5

，直线胡与直线FG所成角的余弦值为25.

1.（2014•辽宁卷）已知如〃表示两条不同直线，。表示平面.下列说法正确的是（）

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A.若m//a,n//a,则m//n

B.若加_L。，〃ua,则/

C.若加J_a、勿_L〃，则n//a

D.若mHa,/Z7±7?,则〃_LQ

【答案】B

【解析】由题可知，若冽"a,nila,则冽与〃平行、相交或异面，所以A错误；若/nla,nca,则冽In,

故B正确；若m]_n,则或〃ca,故C错误.若用“a,ml.n,贝""a或n_La或H与a相交,

故D错误.

2.(2014•福建卷)在平面四边形四或中，四=放=31,ABLBD,CD1BD.'将丛ABD沿BD

折起，使得平面4劭1•平面比》,如图1-5所示.

(1)求证：ABA.CD-,

(2)若."为/〃中点，求直线与平面劭％1所成角的正弦值.

图1-5

【解析】解：⑴证明：：平面力做_L平面BCD,平面力劭0平面BCD^BD,ABa平面ABD,ABVBD,

二4aL平面BCD.

又以七平面BCD,：.ABLCD.

(2)过点8在平面腼内作BEYBD.

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由(1)知H51平面BCD,BEu平面BCD,BDu平面BCD,：.AB]_BE,AB]_BD.

以5为坐标原点，分别以防，取威的方向为x轴，>轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系仗口图所示).

依题意，得3(0,0,0),C(l,1,0),即，1,0),>4(0,0,1),«。

则就=(1,1,0),加(0,3,疝=(0,1,-1).

设平面MBC的法向量H=(XO,川，

次+*=

nBC=Q,0>

则品+耳=0>

取为=1,得平面,监。的一个法向量〃=(1,-1,1).

设直线力〃与平面.,戚所成角为

.I—II,SU由D迅

则milsin6a*=Icos",o{AD,)>=--------二一=之二

㈤•\AD\6

即直线4〃与平面屈％所成角的正弦值为坐

3.(2014•新课标全国卷II)直三棱柱/跖45G中，Z^C4=90°,M,N分别是45,4G

的中点，BC=CA=Ca,则8"与心V所成角的余弦值为()

1R2,典口亚

105102

【答案】C

【解析】如图，3为BC的中点.由于A/,N分别是/由】，/1G的中点，故A£V〃BiCi且故

XfN^BE,所以四边形河物为平行四边形，所以期统所以直线的泄所成的角即为超戈氏嵋

村所成的角.设BE,则历仁基.邛，所以M3=yi7j=¥=N：E,点4出手，

4.(2014•四川卷)三棱锥4-99及其侧视图、俯视图如图1-4所示.设M,N分别为线段

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AD,的中点，尸为线段欧上的点，且mL陀

(1)证明：。是线段优的中点；

(2)求二面角力-便-材的余弦值.

【解析】解：(1)如图所示，取劭的中点。，连接/。，CO.

由侧视图及俯视图知，XABD,△版为正三角形，

所以4。_1孙OCVBD.

因为/。，oct平面/oc,且aonoc=。，

所以区D1平面40C.

又因为/Cu平面NOC,所以BD1/C.

取60的中点H,连接加，PH.

又M,MH分别为线段3，AB,S。的中点，所以川助，NHIIAO,

因为4。1即，所以血LBD

因为即，所以泗1BD.

因为NH,即u平面NHP,且NHHNP=N,所以如1平面NHP.

又因为HPu平面MTP,所以BD1HP.

又OCVBD,平面BCD,OCu平面BCD,所以IIP//OC.

因为〃为6。的中点，所以户为纪的中点.

⑵方法一：如图所示，作AQL/C于Q,连接匐

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A

•,\\Q

由⑴知，NP//AC,所以AQL.A火

因为他LAP,所以乙必图为二面角4-朋-必的一个平面角.

由（1）知，&ABD,△时为边长为2的正三角形，所以4g%=小.

由俯视图可知，4。，平面6az

因为加z平面及力，所以力0_LOC,因此在等腰直角△加C中，4C=#.

作BR工AC于R

因为在△49C中，AB=BC,所以A为力。的中点,

因为在平面49C内，A0L/C,BRA.AC,

所以NQ〃BR.

又因为M为的中点，所以0为4?的中点,

所以,T年

同理，可得，加=率.

故△，楙。为等腰三角形，

所以在等腰△助图中,

MNBD

24yio

cosZ.MNQ=—^

AQ而=5,

故二面角4-质-材的余弦值是亚.

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方法二：由俯视图及(1)可知，乂。1平面BCD.

因为OC,QSu平面BCD,所以4010C,AOA.OB.

又。C1QB,所以直线04,OB,0C两两垂直.

如图所示，以。为坐标原点，以OB,0C,0A的方向为x轴，丁轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系。

-xyz.

则他0,由),J(l,0,0),Q0,60),双一1,0,0).

因为M,"分别为线段40,AB的中点，

又由⑴知，尸为线段BC的中点，

所以0,,于是48=（1,0,一艰），BC={-\,小,

0）,加』（1,0,0）,泌=（0,乎

设平面4回的一个法向量小=(汨加Zi）,

“1_1_力氏[n\•AB=0

由〈得«f即

n\LBC,[/7i•BC=0,

（xi,yi,zi）•（1,0,一小）=0,

、（小，力，zi）•（—1,小,0）=0,

小一=

从而＜

—Xi+/yi=0.

取Zi=l,则x]={5,y=1,所以1,1).

设平面肠快的一个法向量〃2=(如%,Z2),由，

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得‘

血1即,[m-NP=Q,

'(X2>yi>及)・(1>0,0)=0>

即5,如a)(0,空一里=0,

X2=0,

从而忸^冬=0.

取0=1,则以=1,检=0,所以也=（0,1,1）.

(®1,D-(0,1,D

设二面角4-泗-M的大小为仇则88。=券VTo

~5~

故二面角小加-亚的余弦值是芈.

押题专练

i.在下列命题中，不是公理的是（）

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行

B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案A

解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.

2.已知直线a和平面a,8,aC8=1,ada,且a在a,£内的射影分别为直线6

和c,则直线6和c的位置关系是（）

A.相交或平行B.相交或异面

C.平行或异面D.相交、平行或异面

解析依题意，直线6和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.

答案D

3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平

面重合：④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）

A.①B.①④C.②③D.③④

解析显然命题①正确.

由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.

命题③中，两个平面重合或相交，③错.

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三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.

答案B

4.a,b,c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）

A.若直线a,6异面，b,c异面，则a,c异面

B.若直线a,6相交，b,c相交，则a,。相交

C.若allb,则a,b与c所成的角相等

D.若aj_6,bl.c,则a〃c

解析若直线处匕异面，b,c异面，则a,c相交、平行或异面；若©匕相交，b,c相交，则a,c相交、

平行或异面；若al8,81c,则a,c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.

答案C

5.已知正方体48徵一4旦G〃中，E,尸分别为即，CG的中点，那么异面直线4?与〃尸所成角

的余弦值为（）

4325

-民-a--

553D.7

解析连接勿则然〃以；

为异面直线AE与〃厂所成的角.

设正方体棱长为a,

贝DF=^-a,坐a,

偿J+停

/.cosND\FD=------—=------T=------=-

近亚5

2,2a，2。

答案B

6.如图所示，平面a,£,y两两相交，a,b,c为三条交线，且a〃6,则a与c,b与c

的位置关系是一

答案a//b//c

解析'：a//b,aua,垃a,：.b//a.

又Ybe.S,aCB=c,：.b//c.：.a//bllc.

7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面。上，且48〃必，则直线跖与正方体

的六个面所在的平面相交的平面个数为.

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答案4

解析跖与正方体左、右两侧面均平行.所以与厮相交的侧面有4个.

8.在正方体4?勿一45G4中，E,尸分别为棱加”CG的中点，则在空间中与三条直线4",

EF,必都相交的直线有一条.

答案无数

解析方法一在EF上任意取一点M,直线与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点

N,肘取不同的位匿就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点M而直线胸与这3条异面直线都有交

点.如图所示.

方法二在4。上任取一点只过点。与直线跖作一个平面a,因切与平面。不平行，所

以它们相交，设它们交于点0,连接a0，则图与〃必然相交，即图为所求直线.由点P的

任意性，知有无数条直线与三条直线42,EF,5都相交.

9.如图，空间四边形4?四中，E、F、G分别在16、BC、CD上,且满足四：EB=CF：FB=2：1,

CG：GD^Z：1,过氏F、G的平面交4?于点〃

⑴求HD；

(2)求证：EIKFG、劭三线共点.

,、，“AECF

2

⑴解V—EB=7FBB=-EFHAC,

・••仔〃平面而EFu平面EFGH,

平面EFGHC平面ACD=67/,

:.EF〃GH,：.AC//GH.

AHCG

・F===3.・"〃：HD=3：1.

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EF\GII\

（2）证明,/EF//GH,且刀,=可，万=彳，

£7爻。/,.•.四边形067/为梯形.

令EHCFG=P,则PGEH,而fife平面ABD,

又PCFG,平