2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习2 . 3简单的三角恒等变换基础过关练

2.3简单的三角恒等变换

基础过关练

题组一半角公式

1.（2020山东滨州期末）若tan。三,且a为第一象限角，则sin]=

A.-B.±-C.—D,--

2.（2022江苏南京师大附中期中）若sin。=|,等〈“，则tan3cog=（

3.已知sin（26-]=-?。金（呜），则

V6nV3„V2

4.若tan。=3,则sin2cos2。的值是.

5.若a为钝角，B为锐角，且sina=（,sin?=||,则cosp=.

6.已矢口sin0=^-^-,cos（2<6V兀），贝！Jtan2=.

m+5m+5\2J2--------

题组二和差化积与积化和差公式

7.（2020辽宁沈阳期末）若cos（a4-•cos（a-号>-/则sin2a等于（：

A.-B.--C.-D.--

3333

8.若4+庐120°,则sin4+sin方的最大值是（：

A.1B.V2C.V3D.y

9.（2020湖南岳阳一中期末）若sina+sin£=||,cosa+cos£*，则tang^

的值为（：

11

A.2B,-C.-2D.-

22

10.化简下列各式:

coSi44-cos(120°4-B)+cos(120°-B)

sinB4-sin(120o+i4)-sin(120°-y4)

⑵sinA+2sin3A+sin5A

sin34+2sin5A+sin74

11.在△上中，求证:sin力+sin班sin^4cos^cos|cos|.

题组三三角恒等变换的综合应用

12.(2020河南郑州期末)下列函数是偶函数且最小正周期为:的是(

A.产cosZx-sinNxB.产sin4x

C.尸sin2x+cos2xD.尸cos2x

13.在宛中，a,6,c分别为内角4&C的对边，若cos/cos^sin班sinC,

则的形状为(

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.不能判断

14.(2022吉林省实验中学期中)已知函数F(x)=sin|cos：+si吗

(1)求f(x)的最小正周期;

⑵求/U)在(冶用上的值域.

15.已知函数f(x)=sin@%—^+2cos"%-l.

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合;

⑵若a£(盟),且f(a)=g,求cos2a的值.

能力提升练

题组一三角函数式的求值问题

1.已知tan（冗+a）=，,则cos2a=（）

A.--B.-C.--D.-

252555

2.（2022河南信阳期末）已知a且sin2a+sin'则cos2a=

（）

A.-B.-C.--D.--

5555

3.（多选）若cosa=T，则上雪的值可能为（）

51-tan-

2

A.i1B.2C.-iiD.-2

22

4.sin2200+cos280°+Bsin20°cos80°的值是（）

A.i1B1」1C.-D.1

432

5.已知在△/a'中，给c且庐60°,能否利用log,sin4+log」sin俏T求出力和。

的大小?若能，请求出/和。的大小;若不能，请说明理由.

题组二三角函数式的化简与证明问题

6.已知450°＜。＜540°,贝!J-+；打工cos2a化简的结果是

2222

..a口•a

A.sm-B.-sin-

22

a

C「.cos-aDn.-cos-

22

7.计算sin'E+sin空+sin空+sin型的结果是

16161616

A.-B.—C.-D.-

2224

8.化简：

⑴l+sina+

Vl+cosa-Vl-cosa

1-sina(nVa＜

Vl+cosa+Vl-cosa

(2)3偿一汇吧】+吧(0＜小»

(3)cos2(6+15°)+cos2(。-15°)--cos20.

9.求证:

sina+11^a,1

-=-tan-+-

1+sina+cosa222

⑵tan千tan；2sinx

cosx+cos2x

题组三三角恒等变换的综合应用

10.已知函数/*(x)=sinx(sinx+cosx),则下列说法正确的是

A.F(x)的最小正周期是2Ji

B.f(x)的最大值是企

c.M的图象的一条对称轴是直线产：

4

D/(x)的图象的一个对称中心是(焉)

11.已知函数/(x)=V^sin^2x—匀+2sin:(%g)(x£R).

⑴求函数广(x)的最小正周期；

⑵求使函数f(力取得最大值的X的集合.

12.(2021上海杨浦一模)已知函数f{x}=sinGX+COS3x.

⑴若3=2,求函数f(x)在［0,n］上的零点；

(2)已知3=1,函数g(x)="(x)F+V5cos2x,［o,；］,求函数g(x)的值域.

4J

13.(2020山东烟台期末)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的

值都等于同一个常数.

cos2150+cos215°-V3sin150sin15°;

cos2800+cos2(-50°)-V3sin800sin(-50°);

cos2170°+COS2(-140°)-V3sin170°sin(-140°).

⑴求出这个常数；

⑵结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

答案全解全析

基础过关练

1.B因为a为第一象限角，且tan。三,所以cosa=|,且？是第一或第三象限

角.当孑是第一象限角时,sin"/上詈邛；当孑是第三象限角时,si号

2272522

2.B因为sin^=|,y<^<3Ji,

所以cos<9=-Vl—sin20=--,

5422

所以sin^<0,cos^<0,

匚匚i、［,0sin5t-t.i06cV10

所以tan-=―1=3,则tan-+cos-=3--.

2COS-2210

2

3.BVsin(20

cos(264-9=COS(26—4-1)=-sin(26—

•・•叱(0,»・・•壁(冷)，

COS2

sin(6+(^13)-^J故选g

4.答案|

c2tan02x33c〃,l-tan201-324

解析因为tan。=3,所以$523=----T-=——COS2'=

l+tan201+325l+tan201+325

所以sin20-CQS2^=|

5.答案等

65

解析根据题意，得cosa=q,cos8*

因此cos("£)=cosacos£+sinasin£=(—|)义露x1|二||,

因为关a<n,0<£$,所以0<"£<Ji,所以0<?q,故

1+11-7瘀

COSa-p_/l+cos(a-/5)_

2J2265

6.答案5

解析由sin2"cos?。=1,得(叱I)+(匕省

\?n+57\m+5/=1,

解得ZZFO或m=8.

当ZZFO时,sin0<Q,不符合关”无，，犷0舍去;

当炉8时,sin占二卷,cos。=常,符合题意.

e1-COS0唉5

tan-=-

2sinO

13

7.C因为cos(a+；)cos(a-乎＞］义LeosIa+^+”亨+cos(a+-IT—a+

4xLcos(2a-=)+cosn」4(sin2"1)二号所以sin2a三.

8.Csin^sin庐2sin等cosr=Bcos等当且仅当在尻6。。时，等号

成立，:.sinA+sin6的最大值为VI

9.A由已知得2sing^cos^|^=!|,2cosg^cos与星总两式相除得tang^=拶=2.

13

10.解析(1)原式=coSi4+2cosl20°cosB

sinB+2cosl20°sinX

.A+B.A—B

cosA-cosB-2sin—sin--A+B

sinB-sinA2cos——sin——乙

22

(2)原式:(sin4+sin54)+2sin3/

(sin3i44-sin7i4)+2sin57l

_2sin3Acos24+2sin3A

2sin54cos24+2sin54

_2sin34(cos24+I)_sin34

2sin54(cos24+1)sin54

n.证明由A+B+(=\^。，得680°-⑷而，即|=90°-早,

cos§=cos(90。—^^=sin^-,

sin4+sin班sinC

=2sin等cos"+sinG4+8)

=2csi.n-4+-B-cos-A-—-B+2csi.n-A-+-Bcos-A-+-B

2222

（

=2csi.n-A-+-Bcos-A--B--F,cos——A+B\

2\22J

=2cos-•2cos-•cosf-

22\2/

ABC

=4Acos-cos-cos-,

222

BPsin/+sin班sin6^=4cos-cos-cos-.

222

12.AA中，易知函数J^cos24^-sin24^=cos8x是偶函数,最小正周期为故

84

A正确；

B中，易知函数片sin4x是奇函数,最小正周期为广三,故B错误；

42

C中，易知函数片sin2x+cos2A=V^sin（2%+；）是非奇非偶函数,最小正周期为

詈〜故C错误；

D中，易知函数产cos2x是偶函数,最小正周期为皆=j故D错误.

故选A.

13.C由cos班cos俏sinasinC得

CJB+C•B+CB-C

2cos---cosB-—-C-=c2sm---cos---,

2222

易且左知口cos---WO八,.•.si.n-B-+-C-_cos-B-+-C,

222

2喈=「・0"+60,.・.0＜等4

，•号三,."+瓮,.・.樗

...△/%为直角三角形.

方法技巧和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变

形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才

能直接运用和差化积公式,如果是一正弦与一余弦的和或差,可先用诱导公式化

成同名函数后,再运用和差化积公式.

14.解析（1）V/＞（A）=sin-cos-+sin2-=-sinX+1C0SX：="（sinx-

222222

cosx）\+,1-=——A/2si.n/x——TT\+-1,

22\472

的最小正周期为2n.

⑵由何-工,得『卡（-工引

Wsin（%—

（吟

...-1---V2W^—V2sin.x——）+-Wl,

22V4/2

F（x）在（―盟］上的值域为［1,1］.

15.解析（1）f（x）=sin（2%—：）+2cos

=sin2XCOS2-COS2xsin2+cos2x

66

=­sin2x+工cos2尸sin（2%+?）.

22\6/

所以当2x+$2A北+?,届Z,即x=kJi+pkQZ时，F（x）皿=1,

626

相应的x的取值集合为"尸"+W〃金zl.

⑵由（1）知/"（a）=sin（2a+£）=1.

由》吗得乎2a+X，

42366

所以cos（2a+力-|.

因此cos2a=cos［（2a+：）—£

=cos（2a+：）cos》+sin（2a+^sin^

3^氏4^1-3V3+4

525210

能力提升练

1.A因为tanO+a）三，所以tana=/

116

匚匚、z7

所以iicos2na=_l-tana•-7

1+tan2ai+-25

9

2

2c.B「si.nc2a+.si•n2"-2s-i-na-c-o-s-a+-s-i-n-a=—7

sinza+cos2a10

2tana+tan2a7

所以

tan2a+l10

整理得Stan,a+20tan。-7=0,

因为aW(0,1),所以tana〉0,所以tan*,

1-tan2a

所以cos2。二，故选B.

1+tan2a

.a

sin-x-

aH-----ct,.a

1+tan-cos故cos-+sin-

3.CD,4a.aa.a

1-tan-sin亍cos一一sin-

21------22

C0S2

(cos#si啜(cos%畸

a.a\(a,.a'

cos--sin-Xcos-+sm-

一(cos|+sin|)2

cosz~-sinz-

22

_l+sina

cosa'

4Q

Vcosa=—,Asin。二土一，

55

d3

、“4・1+sina1-71

3cosasina=一=时，-----二—，；

55cosa一一2

5

3

1+

MZ4341+sina7c

当COS。二一一，sinQ=-n时，-----=­r=-2.

55cosa一一

5

4.A原式上亨+丁+李sin100。-sin60。)=l-1(cos40。+

cos20)+C0S10

0T°一乂一cos30。cos100+fcos10。-三

5.解析能求出4和。的大小.

在△力打。中，斤60。，.•.A+CM20°.①

Vlogisin/f+logisinC=~l,sin/sinC=~1.

VsinJsin伐之[cos(从0-cos(4+0],

-1-1

.'.-[cos(A~C)-cos(J+0]=-,

1-1

cos(月-。=-+cos(4+0=-+cos1200=0.

22

易得0°<4-伙180°,

."-己90°.②

由①②，得4=105°,用15°.

6.BV450°<a<540°,：.a是第二象限角,

£Q+cos2a)

原式=

1

——cosa

22

=-(1—cosa)=[--2sin2-=sin-.

yj27222

V450°<a<540°,，225°<-<270

2

/.原式=-si吟.

r-tc•4I,43Ttl•45TT1•471T

7.Csin—+sin—+sin—+sin—

16161616

=si,n4—n+lsi,n4—31T+.s«m4

1616

・

si.n4—TT+,smz—|31l+cos4—371+.cos4—IT

16161616

二(sin茬+cos々)+(sin啜+cos嚼

2

•2^1723TTI2•23TC23Tt

[sin2+32勺-2si咤cos%+1sin—+cos—J-zsin—cos—

16161616

=l-lsin^2x^+l-|sin(2x|H)

l-COSyl-COS乎

=2-------二----生

44

7】¥1+圣3

——---—.

442

8.解析(1)VJI<cz<—,

2224

.a,a'2.aa'2

sin-+cos-5啜『

原式二

-V2cos^-'V2sin^•—V2cos^4~V2sin^

V2a.a\,V2/.a-cos9

-+COS一十—Isin-

222/2V2

/\••.asina•/-«.\.a•

(2n).tan-=--------,..(1+cosa)tan-=sina.

21+cosa2

又Teos(乎-a卜-sinQ,且1-cos"Zsir?*

•r^_ix-sina-sina-2sina2V2sinycos^

••原式RF而T三厂.

/.sin->0,

222

/.原式=-2V^cos«

(3)cos2(0+15°)+cos2(。一15。)一日cos20

1+3[2(6>+15。)+1+3[2(9-15。)]_7^06?g

222

=l+-[cos(28+30。)+cos(2"30°)]--cos20

22

=1+-X2cos29cos300--cos20

22

=1+—cos20--cos29二L

22

2sin苧cos

9.证明⑴•.•左边=2T纪。s2.

zsinjcos-^-cos2^-sin^j

l+sir)2与+cos2/siM号+cos2号

2tan^

l+taM及+1

2tan^1-tan2^

iJ---乙__1-----L

l+tan2^1+tan2^

tan2-+2tan-+l

—__________22________

l+ta吗+2tan/「ta喈

=0L(tanJl

2ta，+2212

=-tan-+-=^ii,

222

，原等式成立.

.3X.X

/、.>,sin—sin-

⑵...左边___2

cos-X

COST2

si.n—3XCOS%--COS3—Xs.inX-sin

2222—

COS—3XcosX-COS—3Xcos-X

2222

sinx_2sinx

嬴?嬴Feos(状)+皿(齐)

2sinx

=右边..•.原等式成立.

cosx+cos2x

10.D'."(x)=sinx(sinx+cosx)=sini亭in2小上答+3in

DV2.7T\1

2A=-sml2%——+-,

2V4/2

对于A,函数的最小正周期告叫故A错误；

对于B,因为TWsin（2x-：卜1,所以函数的最大值为日+也故B错误；

对于C,令+[kGZ,解得尸?+等,MZ,故M的图象的对称轴为直线

产?（右Z）,当产:时,公-影,故C错误；

2844

对于D,将马代