中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十二空间两个平面(原卷版+解析)

专题四十二空间两个平面思维导图知识要点知识要点位置关系平行的判定及性质1．空间两个平面的位置关系有且只有两种：平行和相交2．两个平面平行的判定及性质(1)两个平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，记作“α∥β”．②判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，用符号表示为⇒α∥β，如图①所示．③平行于同一个平面的两个平面平行，用符号表示为如果α∥γ，β∥γ，那么α∥β，如图②所示．④垂直于同一条直线的两个平面平行，用符号表示为如果l⊥α，l⊥β，那么α∥β，如图③所示．(2)两个平面平行的性质①两个平行平面与第三个平面都相交，那么它们的交线平行，用符号表示为如果α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a∥b，如图④所示．②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，用符号表示为如果α∥β，那么对于任一a⊆α，都有a∥β.③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直另一个平面，用符号表示为如果α∥β，l⊥α，那么l⊥β.④夹在两平行平面间的平行线段相等，用符号表示为如果α∥β，A，C∈α，B，D∈β，且AB∥CD，则AB＝CD，如图⑤所示．⑤一条直线和两个平行平面所成的角相等．⑥过平面外的一点有且只有一个平面和已知平面平行．⑦两平行平面间的距离处处相等，等于公垂线段的长度．3．二面角的平面角(1)定义：过二面角α－l－β的棱l上一点O，分别在两个半平面内引棱l的垂线OA，OB，则∠AOB为二面角的平面角．(2)范围：[0，π]．(3)二面角的平面角的构造①定义法：在棱l上任取一点O，分别在两个半平面内引棱l的垂线OA，OB，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角，如图⑥所示．②棱的垂面法：作一个平面与二面角的棱垂直，与两个半平面分别交于OA，OB，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角，如图⑦所示．③线面垂直法：在一半平面内找一点A，分别作AB垂直于另一平面于点B，AO⊥棱l，再连接BO，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角，如图⑧所示．注：线面垂直法是最常用的构造法．4．两个平面垂直的判定与性质(1)定义：两个平面相交，如果所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号表示为l⊥β，l⊆α⇒α⊥β，如图⑨所示．(3)性质：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示为α⊥β，α∩β＝l，a⊆α，如果a⊥l，则a⊥β，如图⑩所示．典例解析典例解析【例1】下列说法正确的是()A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两条直线平行B．如果两个平面互相平行，那么这两个平面内的所有直线也互相平行C．如果一个平面内的直线垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直D．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任一直线都垂直于另一个平面【变式训练1】α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是()A．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βB．α内不共线的三个点到β的距离相等C．α，β都垂直于平面γD．a，b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β【例2】如图所示，已知D，E，F分别是正△ABC中AB，AC，BC边上的中点，PF⊥平面ABC，PB⊥PC，BE交FD于G.(1)求证：平面PBE⊥平面PFD；(2)求二面角P－BE－C的正切值．【变式训练2】如图所示，在正方体ABCD－中，E，F，G分别是AB，AD，的中点．求证：平面D1EF∥平面BDG.

【例3】如图所示，已知D，E分别是AB，AC边上的中点，∠ACB是直角，把△ABC沿DE折成直二面角A－DE－C，连接AB，分别取BC，AB边上的中点为F，G.(1)求证：平面GFD∥平面ACE；(2)求二面角A－BC－D的大小．【变式训练3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角A－BC－P的大小．【例4】如图所示，ABC－是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，P是的中点，O是△ABC的中心．求证：(1)平面⊥平面；(2)OP∥平面.【变式训练4】如图所示，在直三棱柱ABC－中，E，F分别是，的中点，点D在上，⊥.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面⊥平面.高考链接高考链接1．下列命题中错误的是()A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C．若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直2．(四川省2018年对口升学考试试题)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线．给出下列三个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若α∥β，l∥α，m∥β，则l∥m；③若l∥m，l∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3

3．(四川省2015年对口升学考试试题)如图，直三棱柱ABC－的侧棱长为，底面Rt△ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝，D为BC的中点．(1)证明：AD⊥平面；(2)求二面角－AD－C的大小．4.(四川省2016年对口升学考试试题)如图，AD为圆柱OO′的母线，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上，且BC＝AC.(1)证明：BC⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－C的大小．同步精练同步精练选择题1．设p：平面α内有两条直线平行于平面β，q：α∥β，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列命题中正确的个数有()①垂直于三角形的两边所在的直线必垂直于第三边所在直线；②如果一条直线垂直于平面内一条斜线的射影，那么该直线垂直于这条斜线；③如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题正确的是()A．分别在两个平行平面内的两条直线是异面直线B．分别通过两条平行直线的两个平面平行C．分别在两个平行平面内的两条直线平行D．分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面4．河堤斜面与水平面成60°的二面角，堤面上有一条直道CD，它与水平线AB的夹角为30°，沿这条直线从堤脚向上行走10米时，人升高了()A．2.5米B．5.5米C．7米D．7.5米5.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β有()A.只能作一个B.至少一个C.不存在D.至多一个填空题6．60°的二面角的一个平面内有一点，它到另一个面的距离为15，则它到棱的距离为________．7．已知在120°二面角α－l－β内有一个点P，到二面角的两个面的垂线PA，PB长均为8，则两垂足A，B间的距离为_______8．若正三棱锥的底面边长为2，且侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该三棱锥的高是________．9．正方体ABCD－中，二面角C1－AB－C的平面角等于_______．解答题10．如图所示，已知P是边长为a的正△ABC外的一点，PC⊥平面ABC，PC＝a，求二面角P－AB－C的大小．11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，DC＝3，AB＝6，M为PA的中点．求证：DM∥平面PBC.12．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，求a的取值范围．13．如图①，在平面六边形ABFCDE中，四边形ABCD是矩形，且AE＝DE，BF＝CF，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△ADE，△BCF翻折成如图②的空间几何体ABCDEF.(1)证明：平面EMN⊥平面ABCD；平面FMN⊥平面ABCD.专题四十二空间两个平面思维导图知识要点知识要点位置关系平行的判定及性质1．空间两个平面的位置关系有且只有两种：平行和相交2．两个平面平行的判定及性质(1)两个平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，记作“α∥β”．②判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，用符号表示为⇒α∥β，如图①所示．③平行于同一个平面的两个平面平行，用符号表示为如果α∥γ，β∥γ，那么α∥β，如图②所示．④垂直于同一条直线的两个平面平行，用符号表示为如果l⊥α，l⊥β，那么α∥β，如图③所示．(2)两个平面平行的性质①两个平行平面与第三个平面都相交，那么它们的交线平行，用符号表示为如果α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a∥b，如图④所示．②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，用符号表示为如果α∥β，那么对于任一a⊆α，都有a∥β.③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直另一个平面，用符号表示为如果α∥β，l⊥α，那么l⊥β.④夹在两平行平面间的平行线段相等，用符号表示为如果α∥β，A，C∈α，B，D∈β，且AB∥CD，则AB＝CD，如图⑤所示．⑤一条直线和两个平行平面所成的角相等．⑥过平面外的一点有且只有一个平面和已知平面平行．⑦两平行平面间的距离处处相等，等于公垂线段的长度．3．二面角的平面角(1)定义：过二面角α－l－β的棱l上一点O，分别在两个半平面内引棱l的垂线OA，OB，则∠AOB为二面角的平面角．(2)范围：[0，π]．(3)二面角的平面角的构造①定义法：在棱l上任取一点O，分别在两个半平面内引棱l的垂线OA，OB，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角，如图⑥所示．②棱的垂面法：作一个平面与二面角的棱垂直，与两个半平面分别交于OA，OB，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角，如图⑦所示．③线面垂直法：在一半平面内找一点A，分别作AB垂直于另一平面于点B，AO⊥棱l，再连接BO，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角，如图⑧所示．注：线面垂直法是最常用的构造法．4．两个平面垂直的判定与性质(1)定义：两个平面相交，如果所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号表示为l⊥β，l⊆α⇒α⊥β，如图⑨所示．(3)性质：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示为α⊥β，α∩β＝l，a⊆α，如果a⊥l，则a⊥β，如图⑩所示．典例解析典例解析【例1】下列说法正确的是(C)A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两条直线平行B．如果两个平面互相平行，那么这两个平面内的所有直线也互相平行C．如果一个平面内的直线垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直D．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任一直线都垂直于另一个平面【思路点拨】灵活地运用两个平面间的平行和垂直的判定与性质进行解题．【变式训练1】α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是(D)A．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βB．α内不共线的三个点到β的距离相等C．α，β都垂直于平面γD．a，b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β【提示】A．a，b必须是两条相交直线；B.α，β两平面相交时，在α同侧有两点，另一侧有一点，三点到β的距离相等时，不能推出α∥β；C.两平面也可能相交．【例2】如图所示，已知D，E，F分别是正△ABC中AB，AC，BC边上的中点，PF⊥平面ABC，PB⊥PC，BE交FD于G.(1)求证：平面PBE⊥平面PFD；(2)求二面角P－BE－C的正切值．答案：(1)证明：∵PF⊥平面ABC，PF⊆平面PFD，∴平面PFD⊥平面ABC，在正△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴BE⊥AC，DFAC，∴BE⊥FD.∵平面PFD∩平面ABC＝FD，BE⊆平面ABC，∴BE⊥平面PFD.又BE⊆平面PBE，∴平面PBE⊥平面PFD.(2)解：∵PF⊥平面ABC，FG⊥BE.∴∠PGF是二面角P－BE－C的平面角．∵PB⊥PC，BF＝CF，∴PF＝BC，FG＝FD，FD＝AC.∵AC＝BC，∴tan∠PGF＝＝2，即二面角P－BE－C的正切值为2.【思路点拨】证明面面垂直往往转化为线面垂直，而线面垂直又转化为线线垂直；求二面角的关键在于利用线面垂直关系准确找到二面角的平面角，再转化为平面解直角三角形问题．【变式训练2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1证明：∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD，又EF⊈面BDG，BD⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG，∵D1GEB，∴四边形D1GBE为平行四边形，D又D1E=平面BDG，GB⊂平面BDG，∴D1E∥平面BDG，EF∩D∴平面D1【例3】如图所示，已知D，E分别是AB，AC边上的中点，∠ACB是直角，把△ABC沿DE折成直二面角A－DE－C，连接AB，分别取BC，AB边上的中点为F，G.(1)求证：平面GFD∥平面ACE；(2)求二面角A－BC－D的大小．答案：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DEBC.∵BF＝CF，∴DEFC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DF∥CE.∵CE⊆平面ACE，∴DF∥平面ACE.又AG＝BG，BF＝CF，∴GF∥AC.∵AC⊆平面ACE，∴GF∥平面ACE.∵DF∩GF＝F，∴平面GFD∥平面ACE.【思路点拨】对于平面图形翻折时，应注意翻折前后各元素(直线、线段、角等)之间的关系是否发生变化．证明面面平行的基本方法：通过线线平行证线面平行，再证面面平行．答案：解：∵∠ACB是直角，DE∥BC，∴AE⊥DE.∵二面角A－DE－C是直二面角，∴AE⊥平面BCD，∴∠ACE是二面角A－BC－D的平面角．∵AE＝CE，∴tan∠ACE＝＝1，∴∠ACE＝45°，即二面角A－BC－D的大小为45°.【思路点拨】对于平面图形翻折时，应注意翻折前后各元素(直线、线段、角等)之间的关系是否发生变化．证明面面平行的基本方法：通过线线平行证线面平行，再证面面平行．【变式训练3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角A－BC－P的大小．(1)证明：连接BD，由条件知，△ABD为等边三角形且G为AD的中点，∴BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连接PG，∵PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG，PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(3)解：∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB，又BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG为二面角A—BC—P的平面角，在Rt△PBG中，PG＝BG，∴∠PBG＝45°.【例4】如图所示，ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱C(1)平面⊥平面；(2)OP∥平面.答案：证明：(1)如图所示，取的中点E，连接DE，连接CO并延长交AB于点F，则F是AB的中点，且CF⊥AB.连接EF，则CF∥DE.由题意，知＝AD，∴DE⊥.又CF⊥AB，∴DE⊥AB.∴DE⊥平面.又DE⊆平面，∴平面⊥平面.【思路点拨】(1)转化为证明平面AB1D内的直线DE⊥平面；答案：(2)如图所示，连接PF，PC.∵P，F分别为，BA中点，∴PF∥，PC∥.∴平面CPF∥平面.又∵OP⊆平面PFC，∴OP∥平面.【思路点拨】(2)转化为证明过OP的平面平行于平面.【变式训练4】如图所示，在直三棱柱ABC－中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，⊥.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面⊥平面.证明：(1)因为E，F分别是，的中点，所以EF∥BC，又EF平面ABC，BC⊆平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为直三棱柱ABC—所以⊥平面，⊥.又⊥，所以⊥平面.又⊆平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面.高考链接高考链接1．下列命题中错误的是(C)A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直C．若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直2．(四川省2018年对口升学考试试题)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线．给出下列三个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若α∥β，l∥α，m∥β，则l∥m；③若l∥m，l∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的个数是(B)A．0 B．1 C．2 D．3【提示】①垂直于同一平面的两直线互相平行；②如图可知，两直线不一定平行；③两平面可能相交．3．(四川省2015年对口升学考试试题)如图，直三棱柱ABC－的侧棱长为，底面Rt△ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝，D为BC的中点．(1)证明：AD⊥平面；(2)求二面角－AD－C的大小．(1)证明：在直三棱柱ABC—中，⊥平面ABC，∴⊥AD，∵底面Rt△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面.(2)解：∵AD⊥平面，∴AD⊥，又AD⊥BC，∴二面角—AD—C的平面角为∠，在Rt△中，＝,CD＝BC＝1，∴tan∠＝∴∠＝60°，即二面角—AD—C为60°.4.(四川省2016年对口升学考试试题)如图，AD为圆柱OO′的母线，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上，且BC＝AC.(1)证明：BC⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－C的大小．(1)证明：在圆柱OO′中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，又在圆O中，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACD.(2)解：∵AD⊥平面ABC∴AD⊥AC，∴二面角BADC的平面角为∠BAC，∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∠CAB＝45°∴二面角B—AD—C的大小为45°同步精练同步精练选择题1．设p：平面α内有两条直线平行于平面β，q：α∥β，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．下列命题中正确的个数有(B)①垂直于三角形的两边所在的直线必垂直于第三边所在直线；②如果一条直线垂直于平面内一条斜线的射影，那么该直线垂直于这条斜线；③如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【提示】①③正确．3．下列命题正确的是(D)A．分别在两个平行平面内的两条直线是异面直线B．分别通过两条平行直线的两个平面平行C．分别在两个平行平面内的两条直线平行D．分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面【提示】主要考查面面平行的判定和性质．4．河堤斜面与水平面成60°的二面角，堤面上有一条直道CD，它与水平线AB的夹角为30°，沿这条直线从堤脚向上行走10米时，人升高了(D)A．2.5米B．5.5米C．7米D．7.5米【提示】这是立体几何应用问题，难点是需要将实际问题转化为数学问题．如图所示，二面角α-AB-β为60°，作DE⊥AB，DO⊥平面β，即二面角的平面角∠DEO＝60°，已知∠DCA＝30°，CD＝10，求D到平面β的距离，即DO＝DEsin∠DEO，解直角三角形可得DE＝5，DO＝7.5.5.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的β有(D)A.只能作一个B.至少一个C.不存在D.至多一个【提示】当a与α相交时,β不存在,当a与α平行时,存在一个β,使得α∥β填空题6．60°的二面角的一个平面内有一点，它到另一个面的距离为15，则它到棱的距离为________．7．已知在120°二面角α－l－β内有一个点P，到二面角的两个面的垂线PA，PB长均为8，则两垂足A，B间的距离为___8_____【提示】利用“棱的垂面法”找出二面角的平面角．8．若正三棱锥的底面边长为2，且侧面与底面所成二面角的大小为60°，则该三棱锥的高是___1_____．【提示】作出三棱锥的侧面与底面所成二面角的平面角，解直角三角形．9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于_45°_______．【提示】根据二面角的平面角的定义，画图后求解．