高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)17指数函数的图象和性质的常考点方法总结(原卷版+解析)

常考题型17指数函数的图象和性质的常考点方法总结必备知识必备知识1.任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称；2.当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势。3.指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。4.指数函数的图象与性质函数(a>0且a≠1)图象a>10<a<1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐上升当x逐渐增大时，图象逐渐下降性质定义域R值域(0，+∞)单调性单调递增单调递减函数值变化规律当x=0时，y=1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1方法指导方法指导一、指数型函数的图象问题1.图象的识别(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，观察选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)解指数型函数图象问题，一般从指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较；二、指数函数的性质的应用1.利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是先看能否化成同底数幂，能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小，不能化成同底数幂的，一般引入“1”等中间量比较大小；2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；3.指数函数性质的综合应用，其方法是首先研究指数型函数的性质，再利用其性质求解。题型探究一题型探究一探究一：指数函数的图像判断函数的图象大致是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可。【变式练习】1．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．2．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．探究二：求指数函数的值域设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可。【变式练习】1．已知函数，，则函数的值域为（

）．A． B． C． D．2．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．探究三：指数函数的单调性问题设函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解。【变式练习】1．若实数，满足，则（

）A． B．C． D．2．已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．探究四：指数函数的最值问题对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论。【变式练习】1．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．函数在区间上最小值是（

）A．1 B．3 C．6 D．9题型突破训练题型突破训练一、单选题1．设，则a，b，c的大小关系（

）A． B． C． D．2．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．3．已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．4．若，则下列选项错误的是（

）A． B． C． D．5．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（

）A． B．C． D．8．函数的值域是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，函数，则函数的值不可能为（

）A．0 B． C．2 D．410．下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．图象关于点成中心对称C．的最大值为D．幂函数在上为减函数，则的值为111．已知函数（，且），则下列结论正确的是（

）A．函数恒过定点B．函数的值域为C．函数在区间上单调递增D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是12．下列函数中，对任意，，，满足条件的有（

）．A． B．C． D．三、填空题13．已知，，则__________.14．函数的定义域为_______.15．奇函数在区间上单调递减，则不等式的解集为______.16．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.四、解答题17．设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．(1)求k和a的值；(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；(3)函数，，求的值域．18．已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，不需要证明；(3)解关于的不等式：.19．已知函数（是自然对数的底数）.(1)讨论的单调性；(2)是否存在实数a使得的图象关于点（0，1）对称？若存在，请求出实数a，若不存在，请说明理由.20．已知函数.若为奇函数.(1)求实数m的值；(2)判断函数在上的单调性，并给予证明；(3)若成立，求实数t的取值范围.21．已知函数．(1)若对任意，不等式恒成立，求的最小值；(2)对于函数，若，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围．22．已知实数，且函数，，，，，当时，的最小值记为.(1)若，求函数的单调递减区间；(2)，，，求实数m的取值范围.常考题型17指数函数的图象和性质的常考点方法总结必备知识必备知识1.任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称；2.当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势。3.指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。4.指数函数的图象与性质函数(a>0且a≠1)图象a>10<a<1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐上升当x逐渐增大时，图象逐渐下降性质定义域R值域(0，+∞)单调性单调递增单调递减函数值变化规律当x=0时，y=1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1方法指导方法指导一、指数型函数的图象问题1.图象的识别(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，观察选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)解指数型函数图象问题，一般从指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较；二、指数函数的性质的应用1.利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是先看能否化成同底数幂，能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小，不能化成同底数幂的，一般引入“1”等中间量比较大小；2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；3.指数函数性质的综合应用，其方法是首先研究指数型函数的性质，再利用其性质求解。题型探究一题型探究一探究一：指数函数的图像判断函数的图象大致是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：先根据函数的奇偶性排除B，再根据时函数值的符号排除D，最后结合趋近于时函数值的范围求解即可。答案：C【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，因为当时，，所以当时，，时，，故排除D，当趋近于时，由于指数呈爆炸型增长，故函数值趋近于，故排除A选项，故选：C【变式练习】1．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．答案：C【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故排除D，由于，故当时，，故排除AB，故选：C2．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】解：因为的定义域为R，，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D；当趋近于时，趋近于，趋近于，趋近于0，但是比增长速度快得多，所以趋近于0，故排除A．故选：B.探究二：求指数函数的值域设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，.那么函数的值域是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根据条件先判断函数f（x）的奇偶性和求值范围，然后讨论和的取值范围，结合的定义进行求解即可。答案：B【详解】因为，所以，则是奇函数，，因为，所以，则，则，即的值域为，①若，由，则，所以②若，由，则，所以③若，则，所以.综上所述，函数的值域为.故选：B.【变式练习】1．已知函数，，则函数的值域为（

）．A． B． C． D．答案：B【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B2．已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是，因存在实数，使得，则，因此，，解得，所以的取值范围是.故选：B探究三：指数函数的单调性问题设函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：证明函数是偶函数，在是是增函数，然后由奇偶性、单调性转化求解。答案：A【详解】的定义域是，，是偶函数，时，设，，，，从而，所以，即，是增函数，不等式化为，所以，，解得．故选：A.【变式练习】1．若实数，满足，则（

）A． B．C． D．答案：C【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．因为，所以，即，所以，所以．故选：C．2．已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为，，由，得因为单调递减，所以单调递减，又时，在上单调递减；所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：A探究四：指数函数的最值问题对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论。答案：A【详解】因为是定义在上的“倒戈函数，存在满足，，，构造函数，，令，，在单调递增，在单调递减，所以取得最大值0，或取得最小值，，，，故选：A．【变式练习】1．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：A【详解】解：因为，，且为偶函数，为奇函数所以所以，即因为，所以，.因为当时，所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立，令，由于函数在单调递增，所以根据复合函数单调性得在单调递增，所以，所以当时，恒成立时，.所以的最小值为.故选：A2．函数在区间上最小值是（

）A．1 B．3 C．6 D．9答案：B【详解】∵在上单调递增，∴.故选：B.题型突破训练题型突破训练一、单选题1．设，则a，b，c的大小关系（

）A． B． C． D．答案：A【详解】因在上单调递增，则,得.因在上单调递减，则，得.则.故选：A2．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．答案：B【详解】，得，，即.故选：B3．已知函数满足对，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．答案：C【详解】由题意得在上单调递增，则，解得，故选：C4．若，则下列选项错误的是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】因为，则；A.，则，，，A正确；B.在上单调递增，当时，，B正确；C.当时，，C错误；D.当时，，D正确；故选：C.5．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】即在上有解.根据题意，为定义域上的“有点奇函数”，即在上有解.即在上有解.即在上有解.即在上有解.设（当且仅当时等号成立）也即在上有解.即在上有解.，当且仅当,即时等号成立.所以实数m的取值范围是故选：B6．已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：函数满足对任意，都有成立，则函数在上单调递增，所以，解得.故选：B.7．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】函数的定义域是，，为偶函数，排除CD选项，，排除B，故选：A．8．函数的值域是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】解：因为，所以，设，因为，令==，令,则，所以，因为，由对勾函数的性质可得，所以，所以，所以以，即函数的值域为.故选：A.二、多选题9．已知函数，函数，则函数的值不可能为（

）A．0 B． C．2 D．4答案：AB【详解】∵当时，为单调递增函数，∴，又∵当时，为单调递减函数，∴，∴综上可知，函数的最小值为2，故选：AB．10．下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．图象关于点成中心对称C．的最大值为D．幂函数在上为减函数，则的值为1答案：BD【详解】A选项，函数的定义域为，所以对于函数，有，即的定义域是，A选项错误.B选项，，所以图象关于点成中心对称，B选项正确.C选项，，所以，即的最小值为，C选项错误.D选项，是幂函数，所以，解得或，当时，，在上递减，当时，，在上递增，所以D选项正确.故选：BD11．已知函数（，且），则下列结论正确的是（

）A．函数恒过定点B．函数的值域为C．函数在区间上单调递增D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是答案：BC【详解】解：已知函数（，且），则对于A，，函数恒过定点，故A错误；对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确；对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示：当时不合题意；时，需要，即，故D错误；故选：BC.12．下列函数中，对任意，，，满足条件的有（

）．A． B．C． D．答案：ABD【详解】由题意可知，在上是下凸函数，由指数函数的图像和性质可知，AB正确；由幂函数的图像和性质可知，C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知，，则__________.答案：【详解】，，设，在上递增，而，所以，则.故答案为：14．函数的定义域为_______.答案：【详解】由已知得，解得即函数的定义域为故答案为：15．奇函数在区间上单调递减，则不等式的解集为______.答案：【详解】解：奇函数在区间上单调递减，则，所以在区间上单调递减，于是可得在上单调递减由不等式，得，又函数在上单调递增所以，即不等式得解集为.故答案为：.16．已知函数（），若函数在的最小值为，则实数的值为________.答案：【详解】令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.故答案为：.四、解答题17．设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．(1)求k和a的值；(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；(3)函数，，求的值域．答案：(1)，(2)增函数，或(3)【详解】（1）∵是定义域为上的奇函数，∴，得．此时，，，即是R上的奇函数．∵，∴，即，∴或（舍去）故，（2）明显地，为增函数，则只需，，∴或．（3）∴，令，由（2），易知在上为增函数，∴，∴当时，有最大值；当时，有最小值，∴的值域是．18．已知是定义域为的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，不需要证明；(3)解关于的不等式：.答案：(1)；(2)单调递增；(3).【详解】（1）令，则，，又为奇函数，所以，所以.（2）在上单调递增.（3），由为奇函数可得，因为在上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为.19．已知函数（是自然对数的底数）.(1)讨论的单调性；