2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.3.1等比数列的概念(精练)(原卷版+解析)

4.3.1等比数列的概念（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．2．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．3．(2023·河南·三模（理））在等比数列中，，，则(

)A．80 B．242 C． D．2444．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．5．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（

）A． B．C． D．6．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（

）A．10 B．25 C．5 D．157．(2023·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·湖北十堰·三模）已知函数，则(

)A．，，成等差数列 B．，，成等差数列C．，，成等比数列 D．，，成等比数列10．(2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得三、填空题11．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．12．(2023·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.四、解答题13．(2023·重庆长寿·高二期末）已知等差数列满足，前4项和．(1)求的通项公式；(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．14．(2023·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．B能力提升15．(2023·吉林长春·模拟预测（文））已知数列中，，．(1)证明：数列为等比数列；16．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)写出该数列的前项；(2)求数列的通项公式.C综合素养17．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，18．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．4.3.1等比数列的概念（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．答案：D【详解】解：因为等比数列的公比，所以．故选：D2．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．3 D．答案：D【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：，解得．故选：D3．(2023·河南·三模（理））在等比数列中，，，则(

)A．80 B．242 C． D．244答案：B【详解】等比数列的公比，∴，∴．故选：B．4．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B5．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（

）A． B．C． D．答案：C【详解】令，则，又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，所以，得．故选：C．6．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（

）A．10 B．25 C．5 D．15答案：C【详解】因为是等比数列，，所以，即，因为，所以.故选：C7．(2023·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．答案：D【详解】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.故选：D8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为数列的前项和满足，所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；当时，.，解得：.设，解得：，可得：，所以是公比为，首项的等比数列，所以，所以.经检验，对n=1也成立.若存在，使得，则数列不单调.只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.当时，单调递增，不符合题意；当时，单调递减，不符合题意；而.综上所述：.故选：A二、多选题9．(2023·湖北十堰·三模）已知函数，则(

)A．，，成等差数列 B．，，成等差数列C．，，成等比数列 D．，，成等比数列答案：ABD【详解】A：，，则，由等差中项的应用知，成等差数列，所以A正确；B：，，，则，由等差中项的应用知，成等差数列，所以B正确；C：，，则，，成等差数列，又，所以C错误；D：，，，则，由等比中项的应用知，成等比数列，所以D正确.故选：ABD.10．(2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得答案：AC【详解】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确.对B，C，由等比数列的性质，，故，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，，故，故D错误.故选：AC三、填空题11．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．答案：【详解】∵，即，则又∵，即，则∵，则，∴，则∴故答案为：．12．(2023·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.答案：4【详解】因为①，所以当时，解得又②，两式①②相减可得，即，而a1-6=5不为零，所以，即，所以是以5为首项，2为公比的等比数列，所以，即，因为，所以，所以，且，解得k=4，故答案为：4四、解答题13．(2023·重庆长寿·高二期末）已知等差数列满足，前4项和．(1)求的通项公式；(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．答案：(1)(2)或(1)设等差数列首项为，公差为d．∵∴解得：∴等差数列通项公式(2)设等比数列首项为，公比为q∵∴解得：即或∴等比数列通项公式或14．(2023·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．答案：2，4，8，12或，，，【详解】设四个数依次为、、、．则，解得或．故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，．B能力提升15．(2023·吉林长春·模拟预测（文））已知数列中，，．(1)证明：数列为等比数列；答案：(1)证明见解析(1)证明：因为，，所以，又，即，所以是以为首项，为公比的等比数列；16．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.(1)写出该数列的前项；(2)求数列的通项公式.答案：(1)，，，，(2)（1），，，，.（2）由得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，.C综合素养17．(2023·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，答案：(1)(2)是，第45项（1）设数列的公比为，则，得，所以；（2）设等差数列的公差为，,,则，所以因为，所以是数列中第45项18．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．(1)求证：