高二数学新教材同步教学讲义(人教A版选择性必修第一册)4.4数学归纳法(原卷版+解析)

4．4数学归纳法【题型归纳目录】题型一：对数学归纳法的理解题型二：数学归纳法中的增项问题题型三：证明恒等式题型四：证明不等式题型五：归纳—猜想—证明题型六：用数学归纳法证明整除性问题题型七：用数学归纳法证明几何问题【知识点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法知识点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．2、数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法．它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）．例1．数学归纳法的功能和适用范围（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程．（2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当取第一个值结论正确；（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确2、用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3、用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．知识点三、用数学归纳法证题的类型：1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．5、用数学归纳法证明与数列有关的命题．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．【典型例题】题型一：对数学归纳法的理解例2．(2023·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立例3．(2023·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明：（），在验证时，左端计算所得的式子是（）A． B． C． D．例4．(2023·上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立变式1．(2023·上海市晋元高级中学高二期中）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（

）①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③变式2．(2023·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明等式的过程中，当时等式左边与时的等式左边的差等于（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．题型二：数学归纳法中的增项问题例5．(2023·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（

）A． B． C． D．例6．(2023·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）A． B．C． D．例7．(2023·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明，则从“到”，左边所要添加的项是（）A． B．C． D．变式3．(2023·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（

）A．1 B． C． D．变式4．(2023·江西抚州·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项变式5．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明到时，左边需增加的代数式为（

）A． B．C． D．变式6．(2023·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（

）A． B．C． D．【方法技巧与总结】在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别．题型三：证明恒等式例8．(2023·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．例9．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．例10．(2023·全国·高二课时练习）观察下面三个等式：第1个：，第2个：，第3个：(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；(2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）；(3)用数学归纳法证明你的猜想成立．变式7．(2023·全国·高二课时练习）是否存在常数a、b．使等式（，）对任意正整数n成立？请证明你的结论．变式8．(2023·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．变式9．(2023·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）时，等式的结构．（2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系．题型四：证明不等式例11．(2023·河南南阳·高二期末（理））观察下列不等式：，，，，……．(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．例12．(2023·辽宁实验中学高二期中）已知数列的前n项和满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明不等式：，其中．例13．(2023·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．变式10．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．变式11．(2023·安徽·高二期中（文））证明：不等式，恒成立.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键（1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则．（2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．（3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等．题型五：归纳—猜想—证明例14．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．(1)求，，，并猜想的通项公式；(2)证明（1）中的猜想．例15．(2023·北京·临川学校高二期中）设数列满足，．(1)计算，猜想的通项公式；(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和．例16．(2023·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法加以证明.变式12．(2023·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．变式13．(2023·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．(1)求的值并猜测通项公式；(2)证明上述猜想的通项公式．【方法技巧与总结】（1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．（2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．题型六：用数学归纳法证明整除性问题例17．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.例18．(2023·上海·高二专题练习）证明：当时，能被64整除．例19．(2023·全国·高二课时练习）求证：对任意正整数，都能被整除．变式14．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：能被整除．变式15．(2023·河南·高二阶段练习（理））用两种方法证明：能被49整除．变式16．(2023·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：能被整除.变式17．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除．题型七：用数学归纳法证明几何问题例20．(2023·全国·高二课时练习）如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．例21．(2023·全国·高二课时练习）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．变式18．(2023·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．变式19．(2023·上海·高三专题练习）试证明对任何自然数，每一个正方形都可分成个正方形.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．【同步练习】一、单选题1．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（

）A． B． C． D．2．(2023·四川成都·高二期中（理））用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+14．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（

）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立5．(2023·全国·高二课时练习）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（

）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题6．(2023·全国·高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立7．(2023·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（

）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k8．(2023·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项 C．k项 D．1项二、多选题9．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（

）A．1 B．2 C．3 D．410．(2023·全国·高二课时练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（

）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立11．(2023·江苏·高二课时练习）一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是（

）A．该命题对于时命题成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与取值无关D．以上答案都不对12．(2023·全国·高二课时练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数三、填空题13．(2023·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成立．14．(2023·全国·高二课时练习）平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，则它们的交点数最多为______．15．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为______．16．(2023·全国·高二课时练习）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为Tn，若Sn+2Tn＝1，则数列中最接近2019的是第____项．四、解答题17．(2023·天津市红桥区教师发展中心高二期中（理））已知数列满足.(1)写出，并推测的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．18．(2023·江苏·高二课时练习）图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，它可以形成近似的等角螺线．记，，，的长度所组成的数列为．写出数列的通项公式．19．(2023·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.20．(2023·江苏·高二课时练习）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.21．(2023·全国·高二专题练习）已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．22．(2023·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．(1)当时，试比较与1的大小；(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．4．4数学归纳法【题型归纳目录】题型一：对数学归纳法的理解题型二：数学归纳法中的增项问题题型三：证明恒等式题型四：证明不等式题型五：归纳—猜想—证明题型六：用数学归纳法证明整除性问题题型七：用数学归纳法证明几何问题【知识点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1、数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法知识点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．2、数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法．它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础．但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性．在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据．但没有第一步就失去了递推的基础．只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论．其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）．例1．数学归纳法的功能和适用范围（1）数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程．（2）数学归纳法一般被用于证明某些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明．知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当取第一个值结论正确；（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确2、用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3、用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由到的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由到的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由到的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从时分离出时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．知识点三、用数学归纳法证题的类型：1、用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2、用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧．3、用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等．4、用数学归纳法证明与正整数有关的不等式．用数学归纳法证明一些与有关的不等式时，推导“”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．5、用数学归纳法证明与数列有关的命题．由有限个特殊事例进行归纳、猜想，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．【典型例题】题型一：对数学归纳法的理解例2．(2023·上海·高二专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立 B．时不等式成立C．时不等式成立 D．时不等式成立答案：B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．例3．(2023·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明：（），在验证时，左端计算所得的式子是（）A． B． C． D．答案：C【解析】用数学归纳法证明：，在验证时，把当代入，左端．故选：C．例4．(2023·上海市松江区第四中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证：时，若已假设（且k为偶数）时等式成立，则还需要再证（

）A．时等式成立 B．时等式成立C．时等式成立 D．时等式成立答案：B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．变式1．(2023·上海市晋元高级中学高二期中）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题对一切正整数n都成立的是（

）①成立，且对任意正整数k，“当时，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且对任意正整数k，“成立”可以推出“成立”③成立，且对任意正整数，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③答案：D【解析】对于①，对任意正整数k，“当时，均成立，则当时，成立，故①可证明某个命题对一切正整数n都成立；对于②，因为，均成立，成立，则当为奇数时，成立，当为偶数数时，成立，所以②可以证明某个命题对一切正整数n都成立；对于③，因为成立，对任意正整数，成立，所以也成立，又成立，成立，则也成立，所以③可以证明某个命题对一切正整数n都成立.故选：D.变式2．(2023·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明等式的过程中，当时等式左边与时的等式左边的差等于（

）A． B．C． D．答案：C【解析】当时，等式左边，当时，等式左边，故当时等式左边与时的等式左边的差为.故选:C.【方法技巧与总结】即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．题型二：数学归纳法中的增项问题例5．(2023·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】当时，不等式左边等于，当时，不等式左边等于当时，不等式的左边比时增加.故选：D例6．(2023·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）A． B．C． D．答案：D【解析】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.例7．(2023·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明，则从“到”，左边所要添加的项是（）A． B．C． D．答案：D【解析】当n＝k时，等式的左边为，当n＝k+1时，等式的左边为，故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．故选：D．变式3．(2023·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（

）A．1 B． C． D．答案：B【解析】当时，等式为，当时，，增加的项数为,故选:B.变式4．(2023·江西抚州·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项答案：D【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D变式5．(2023·陕西·绥德中学高二阶段练习（理））用数学归纳法证明到时，左边需增加的代数式为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为，故选：C变式6．(2023·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（

）A． B．C． D．答案：D【解析】当时，左端，那么当时

左端，故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，即，故选：．【方法技巧与总结】在利用归纳假设论证时等式也成立时，应注意分析和时两个等式的差别．题型三：证明恒等式例8．(2023·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．【解析】一般规律：，证明：（1）时，左=右，等式成立；（2）假设时，等式成立，即，则当时，，等式也成立，由（1）（2）得当时等式都成立．例9．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．【解析】证明：①当时，，，等式成立；②假设时，，则时，，即时，等式成立，综合①②可知，（，）．例10．(2023·全国·高二课时练习）观察下面三个等式：第1个：，第2个：，第3个：(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；(2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）；(3)用数学归纳法证明你的猜想成立．【解析】(1)由第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，(2)由（1）可猜想，第个等式：，；(3)数学归纳法证明：当时，，，等式成立；假设时，，．当时，，可得时，，也成立，综上可得，对一切的，均成立．变式7．(2023·全国·高二课时练习）是否存在常数a、b．使等式（，）对任意正整数n成立？请证明你的结论．【解析】时，，时，，解得a＝12，b＝11；存在a＝12，b＝11使等式成立.下用数学归纳法证明：当n＝1时，左式，右式，等式成立；假设当n＝k时等式成立，即，那么当n＝k＋1时，，等式也成立；综上可知，对于，猜测都成立．变式8．(2023·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：（n为正整数）．【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立．②假设当时，等式成立，即，那么当时，．故当时，等式也成立．综上可知等式对任意正整数n都成立．变式9．(2023·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明.【解析】证明：（1）时，左边，右边左边，等式成立；（2）假设时等式成立，即，时，右边==左边，等式成立，综上，对一切正整数，．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：（1）时，等式的结构．（2）到时，两个式子的结构：时的代数式比时的代数式增加（或减少）的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项（最后一个数）与的关系．题型四：证明不等式例11．(2023·河南南阳·高二期末（理））观察下列不等式：，，，，……．(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题；(2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题．【解析】(1)不等式可写为：，，，，所以归纳得到命题：（n为正整数）．(2)证明：①当n＝1时，易知命题成立；②假设当时，命题成立，即．则当时，，即时，命题也成立．由①②可知，．例12．(2023·辽宁实验中学高二期中）已知数列的前n项和满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明不等式：，其中．【解析】(1)由，可得，两式相减得到，得到，两式相减得，得出为等差数列，进而结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）转化为化为，，结合用数学归纳法证明，即可求解.(1)由，可得，两式相减得，即，则，两式相减得，即，所以为等差数列，又因为，解得，又由，可得，所以数列的首项为1，公差为1，所以的通项为．(2)因为，所以原不等式可化为，，以下用数学归纳法证明：①时，显然成立．②假设当时成立，则当时，只需证，只需证，只需证，只需证，取，可得，所以在单调递增，又因为，所以成立，所以成立．综上所述，成立．例13．(2023·全国·高二课时练习）证明不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．【解析】当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即，当n＝k＋1时，，所以当n＝k＋1时，不等式成立．综上，原不等式对任意n∈N*都成立．变式10．(2023·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．【解析】由，得，所以,用数学归纳法证明不等式成立，证明如下：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立．②假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边,,右边．所以当时，不等式也成立．由①②可得不等式对任意的都成立，即原不等式成立．变式11．(2023·安徽·高二期中（文））证明：不等式，恒成立.【解析】当时，成立假设时，不等式成立那么时，，，即时，该不等式也成立综上：不等式，恒成立.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式的四个关键（1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（k为正整数），则．（2）证明不等式的第二步中，从到的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．（3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立，得时成立，主要方法有比较法、放缩法等．题型五：归纳—猜想—证明例14．(2023·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．(1)求，，，并猜想的通项公式；(2)证明（1）中的猜想．【解析】（1）选条件①，由题意可得，同理可得，，猜想()．选条件②，由题意可得，∵，，∴，，∴，同理可得，猜想（）．（2）显然当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即（），当时，由，可得=（），即当时，猜想成立，综上所述，（）．例15．(2023·北京·临川学校高二期中）设数列满足，．(1)计算，猜想的通项公式；(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和．【解析】（1）因为数列满足，，所以，，由此可猜想（2）证明：①当时，显然成立，②假设当时，成立，即，则当时，，所以时也成立，综合①②可得，因为，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以例16．(2023·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法加以证明.【解析】(1)因为且.所以，解得，因为，所以，解得.由，猜想：.(2)①当时，等式成立；②假设当时猜想成立，即那么，当时，由题设，得，，所以，，则.因此，，所以.这就证明了当时命题成立.由①②可知：命题对任何都成立.变式12．(2023·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．【解析】(1)由可得，又，则，，则，猜想；(2)由（1）得，当时，，①当时，猜想显然成立；②假设当时成立，即；当时，，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即.变式13．(2023·广西·桂林市第十九中学高二期中（理））设数列满足．(1)求的值并猜测通项公式；(2)证明上述猜想的通项公式．【解析】(1)由题意得，时，，得，时，，得，故，猜测；(2)证明：当时，，即猜测成立；假设时，猜测成立，即，则时，由，得，所以时也成立，综上可得，成立．【方法技巧与总结】（1）利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．（2）“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．题型六：用数学归纳法证明整除性问题例17．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.【解析】证明：（1）时，，能被7整除，（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），则时，，是正整数，所以能被7整除，所以时，命题成立，综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除．例18．(2023·上海·高二专题练习）证明：当时，能被64整除．【解析】（1）当时，能被64整除．（2）假设当时，能被64整除，则当时，．故也能被64整除．综合（1）（2）可知当时，能被64整除．例19．(2023·全国·高二课时练习）求证：对任意正整数，都能被整除．【解析】证明：当时，，则能被整除，假设当时，能被整除，则当时，即,因为、都能被整除，故能被整除，即能被整除，所以，当时，命题也成立，因此，对任意正整数，都能被整除.变式14．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：能被整除．【解析】当时，，又，能被整除；假设当时，能被整除，即，那么当时，能被整除；综上所述：能被整除.变式15．(2023·河南·高二阶段练习（理））用两种方法证明：能被49整除．【解析】证明：（1）当时，，能被49整除．（2）假设当，能被49整除，那么，当，．因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除．变式16．(2023·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：能被整除.【解析】证明：（1）当时，能被整除，所以结论成立；（2）假设当时结论成立，即能被整除．则当时，，因为能被整除，能被整除，所以，能被整除，即即时结论也成立．由（1）（2）知命题对一切都成立．变式17．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除．【解析】①当时，显然能被整除．②假设当（且为奇数）时命题成立，即能被整除．当时，．又根据假设能被整除∴能被整除．又能被整除，∴能被整除，∴当时命题成立．由①②知，命题成立．【方法技巧与总结】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除．题型七：用数学归纳法证明几何问题例20．(2023·全国·高二课时练习）如图，、、、是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）猜想点的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】（1）设，则依题意，可得，，代入，得，即，所以，，．（2）由（1）可猜想：．下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当时猜想成立，即有，则当时，由得，即，解得（不符合题意，舍去），即当时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即．例21．(2023·全国·高二课时练习）平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这个圆把平面分成了个区域．【解析】当时，1个圆将平面分为2个区域，，显然命题成立，假设当时，个圆将平面分为个区域，当时，第个圆与前k个圆交于2k个点，这2k个点把这个圆分为2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两部分，因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即，即当时，命题成立根据数学归纳法可得：平面内有个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，这个圆把平面分成了个区域.变式18．(2023·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．【解析】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用数学归纳法给出证明：①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1时猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．变式19．(2023·上海·高三专题练习）试证明对任何自然数，每一个正方形都可分成个正方形.【解析】当时，由图知结论成立.

假设对于时结论成立，那么对于，我们可以先将正方形分成个正方形，再将这个正方形中的一个分成4个小正方形，从而得到个正方形，即时结论也成立.从而结论对任何自然数均成立.【方法技巧与总结】用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从个变成（）个时，所证的几何量将增加多少．一般地，证明二步时，常用的方法是加1法，即在原来的基础上，再增加1个，当然我们也可以从（）个中分出1个来，剩下的个利用假设．几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明．【同步练习】一、单选题1．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于，左边,时，左边，比较两式，从而等式左边应添加的式子是，故选：．2．(2023·四川成都·高二期中（理））用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】从到成立时，左边增加的项为，因此增加的项数是，故选：C3．(2023·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1答案：C【解析】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时假设当时不等式成立，左边=则当时，左边=则由递推到时不等式左边增加了：共，故选：C4．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（

）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立答案：C【解析】因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立．故选：C．5．(2023·全国·高二课时练习）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（

）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题答案：B【解析】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立．综上，对任意，等式恒成立，故选：B．6．(2023·全国·高二课时练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（

）A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立答案：D【解析】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选：D.7．(2023·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（

）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k答案：C【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选：C.8．(2023·陕西西安·高二期中（理））利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（

）A．项 B．项 C．k项 D．1项答案：A【解析】由题意，时，不等式左边，最后一项为，时，不等式左边，最后一项为，由变到时，左边增加了项,故选：A．二、多选题9．(2023·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：CD【解析】当时，，不合要求，舍去当时，，不合要求，舍去；当时，，符合题意，当时，，符合题意，下证：当时，成立，当时，成立，假设当时，均有，解得：当时，有，因为，所以成立，由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，故选：CD10．(2023·全国·高二课时练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（

）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立答案：BC【解析】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC11．(2023·江苏·高二课时练习）一个与正整数有关的命题，当时命题成立，且由时命题成立可以推得时命题也成立，则下列说法正确的是（

）A．该命题对于时命题成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与取值无关D．以上答案都不对答案：AB【解析】命题对于时成立，那么它对于也成立，若当时命题成立，则对时命题成立，从而对时命题成立，假设当时命题成立，则当时命题也成立，因此，该命题对于所有的正偶数都成立，当为奇数时，无法确定该命题的真假.故选：AB.12．(2023·全国·高二课时练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（

）A．B．C．凸n边形的内角和为D．凸n边形的对角线条数答案：BC【解析】A：，显然时有，故当n为给定的初始值时命题成立，故不满足要求；B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立，故满足要求；C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题不成立，故满足要求；D：假设当时命题成立，即，当时有，故不满足要求.故选：BC.三、填空题13．(2023·全国·高二课时练习）与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立，那么为了推得时该命题不成立，需已知______时该命题不成